1.3直角三角形第1课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、互逆命题与互逆定理，通过古埃及人用13个结绳子画直角的情境导入，衔接直角三角形定义等旧知，以知识回顾、探究活动、练一练为支架，引导学生逐步构建知识体系。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过构造全等证明勾股定理逆定理培养数学思维，结合几何语言表达与互逆命题辨析发展数学语言。采用探究式学习与典例分析，帮助学生提升推理能力与应用意识，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

1.3 直角三角形 第一章 三角形的证明及其应用 第1课时 学 习 目 标 1.掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题；(难点) 2.证明直角三角形的性质定理与判定定理；(重点) 3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立． A B C (1)通常，我们用符号 “ ”表示“直角三角形ABC ” . 知识回顾 (2)如图，直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为直角三角形的 ． 斜边 直角边 直角边 2.直角三角形的表示与构成： 1.直角三角形的定义： 有一个内角是 的三角形叫作直角三角形. Rt△ABC 斜边 直角 直角边 情境引入 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 新知探究 探究一：直角三角形的性质与判定 已知在直角△ABC中，∠C＝90°. 由三角形的内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+∠B=180-∠C=90°. 【总结】定理：直角三角形的两锐角互余. （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 新知探究 （2）如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 已知在△ABC中，∠A+∠B=90°， 结合三角形的内角和定理我们可以得到∠C=180°-（∠A+∠B）=90°， 所以这个三角形是直角三角形. A B C 【总结】定理：有两个角互余的三角形是直角三角形． 新知探究 1.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　 　)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C D 新知探究 探究二：勾股定理及其逆定理的证明 我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理（有关证明过程参见本节“阅读·欣赏”）. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾 弦 股 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. a c b 几何语言： 如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 新知探究 已知：如图①，在△ABC中， AB2+AC2=BC2. 求证：△ABC是直角三角形. A B C ① 在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用测量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流. 分析:要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么?借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗? 新知探究 A B C ① A′ B′ C′ ② 证明：如图②作Rt△A′B′C′, 使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC, 则A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）. ∵AB2+AC2=BC2 , ∴BC2=B′C′2. ∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形. 新知探究 勾股定理的逆定理： 知识归纳 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 几何语言：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对角为直角. 新知探究 2.下列线段a∶b∶c的值，能够组成直角三角形的是（ ）A.3∶4∶6 B.5∶12∶13C.1∶2∶4 D.1∶3∶5 B 新知探究 探究三：互逆命题与互逆定理 (1)观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢?与同伴进行交流。 第一个定理的条件和结论是第二个定理的结论和条件， 第三个定理的条件和结论是第四个定理的结论和条件. 新知探究 (2)观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角，那么他们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。 如果a=b，那么a2=b2； 如果a2=b2，那么a=b。 上面每组中每两个命题的条件和结论也有类似的关系. 上面每组中两个命题的条件和结论有类似的关系吗？与同伴进行交流. 新知探究 互逆命题： 知识归纳 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 新知探究 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 是假命题. 命题：如果两个有理数相等，那么它们的平方相等.是真命题. 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题. 新知探究 互逆定理： 知识归纳 例如本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题. 注意2：不是所有的定理都有逆定理. 新知探究 3.下列说法中,正确的是 (　　)A.每个命题都有逆命题B.假命题的逆命题一定是假命题C.每个定理都有逆定理D.真命题的逆命题一定是真命题 A 典例分析 例1 如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13． （1）求BC长； （2）求图中阴影部分的面积． （1）解：∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3， ∴BC===5， 答：BC长是5； （2）解：∵AB=13，AC=12，BC=5， ∴AC2+BC2=122+52=144+25=169=132=AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， ∴S阴影=S△ACB−S△BDC=BC·AC−BD·CD=×5×12−×4×3=24． 故图中阴影部分的面积为24． 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 例2 典例分析 解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．真命题． (2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．真命题． (3)逆命题：内错角相等．假命题． (4)逆命题：等边三角形有一个角是60°. 真命题． 巩固练习 1．在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠B，则∠B的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．已知△ABC的三边分别为a,b,c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A．b2=a2−c2 B．∠A+∠B=∠C C．a=6,b=8,c=10 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5 3．在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（    ） A．(−4,2) B．(0,4) C．(4,2) D．(−2,2) B D C 5．给出下列四个命题，其中真命题的个数为（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对一一对应； ②一次函数y=3x-2，y随x的增大而增大； ③直角三角形两个锐角互余； ④三角形的一个外角大于任一内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固练习 4．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（     ） A.AB= B．AC=5 C．BC=2 D．∠ACB=30° D C 巩固练习 6.命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是　                         　. 同位角相等,两直线平行 7.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，它是直角三角形，则m的值为______． 2 9.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高AD的长为12 cm，则△ABC的面积为　　 cm2. 126 或66 8.若一个三角形的三边比为,则此三角形是　　　三角形. 直角 巩固练习 10.如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD， 求证：CE⊥EF. 证明：如题图，连结CF，设正方形的边长为4. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4. ∵点E为AB的中点，AF＝AD， ∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3， ∴由勾股定理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25. ∴EF2＋EC2＝FC2， ∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即CE⊥EF. 巩固练习 11.先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,最后指出其中的互逆定理.(1)如果x2>0,那么x>0;(2)长方形是正方形;(3)内错角相等,两直线平行. 解: (1)原命题是假命题.逆命题:如果x>0,那么x2>0. (2)原命题是假命题.逆命题:正方形是长方形. (3)原命题是真命题.逆命题:两直线平行,内错角相等.其逆命题是真命题,它们互为逆定理. 巩固练习 12.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高． (1)求证：∠ACD＝∠B. (2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长． (1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B. (2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴5CD＝3×4， ∴CD＝. 课堂小结 直角三角形1 直角三角形的性质与判定 勾股定理及其逆定理 互逆命题 互逆定理 定理1：直角三角形的两个锐角互余； 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理. 作业布置 1.必做题：习题1.3第1，2，7题。 2.探究性作业：习题1.3第8题。 感谢聆听! $