第01讲 平面向量的概念（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

专题01 平面向量的概念 【人教A版】 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注】：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【注】：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1.1】（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【变式1.2】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【变式1.3】（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【题型2 零向量与单位向量】 【例2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式2.1】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·月考）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【变式2.2】（24-25高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课后作业）设非零向量，若，则的取值范围为（    ） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2] 【变式3.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式3.3】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【题型4 相等向量】 【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【变式4.3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【题型5 平行向量（共线向量）】 【例5】（2025高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式5.2】（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【变式5.3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【题型6 用向量关系研究几何图形的性质】 【例6】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【变式6.1】（24-25高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 【变式6.3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    一、单选题 1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 3．（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 4．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 5．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 6．（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 7．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 8．（24-25高一下·广东佛山·月考）在菱形中，，对角线，给出以下结论： ①与是平行向量；    ②与是共线向量； ③        ④    其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 10．（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 11．（2025高一·江苏·专题练习）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 三、填空题 12．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 13．（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 14．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 四、解答题 15．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 17．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 19．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念 【人教A版】 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注】：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【注】：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解题思路】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【解题思路】由向量的概念，可得答案. 【解答过程】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 【变式1.2】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【解题思路】根据向量的定义判定. 【解答过程】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【解题思路】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【解答过程】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【题型2 零向量与单位向量】 【例2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解答过程】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·月考）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解题思路】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【解答过程】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【解题思路】根据零向量的定义和性质即可判断. 【解答过程】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解题思路】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误. 【解答过程】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D. 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课后作业）设非零向量，若，则的取值范围为（    ） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2] 【答案】C 【解题思路】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案. 【解答过程】因为是三个单位向量， 因此，当三个向量同向时，取得最大值为； 当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【解答过程】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为. 【变式3.3】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【题型4 相等向量】 【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【解答过程】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等. 对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以. 对于选项C：与方向不同，所以与不相等. 对于选项D：与方向不同，所以与不相等. 与相等的向量为. 故选：B. 【变式4.1】（2025高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解. 【解答过程】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 【变式4.3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、 、、、、. 【解题思路】根据向量相等的定义直接求解即可. 【解答过程】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、 、、、、. 【题型5 平行向量（共线向量）】 【例5】（2025高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平行向量的定义判断即可. 【解答过程】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【解答过程】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【变式5.3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解； （2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【解答过程】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴. 故与向量相等的向量是，. （2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，. 【题型6 用向量关系研究几何图形的性质】 【例6】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【解题思路】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【解答过程】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【解答过程】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出. 【解答过程】证明：由可知且， 所以四边形为平行四边形， 从而. 又M，N分别是，的中点，于是. 所以且. 所以四边形是平行四边形. 从而. 【变式6.3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】答案见解析 【解题思路】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解答过程】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 一、单选题 1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解题思路】根据向量的概念即可判断. 【解答过程】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解题思路】由向量的概念逐个判断即可； 【解答过程】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 3．（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据单位向量的定义即可判断． 【解答过程】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 4．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【解题思路】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【解答过程】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D. 5．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解答过程】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【解题思路】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【解答过程】由，可知且 ， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 7．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【解答过程】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 8．（24-25高一下·广东佛山·月考）在菱形中，，对角线，给出以下结论： ①与是平行向量；    ②与是共线向量； ③        ④    其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据平行向量（共线向量）的定义即可判断. 【解答过程】对于①，因为和在同一条直线上，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于②，因为四边形是菱形，所以，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于③，在菱形中，对角线，所以为等边三角形，则,所以，正确； 对于④，不平行，所以与不共线，错误. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【解题思路】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【解答过程】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 10．（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【解题思路】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【解答过程】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 11．（2025高一·江苏·专题练习）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【解题思路】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【解答过程】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解题思路】根据向量相等的概念可得结果. 【解答过程】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 13．（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【解题思路】根据且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案. 【解答过程】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120. 14．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【解题思路】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【解答过程】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【解题思路】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【解答过程】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【解答过程】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 17．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据平行向量的定义即可求解； （2）根据相等向量的定义即可证明. 【解答过程】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 19．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【解答过程】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $