第14讲 空间直线、平面的平行（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第14讲 空间直线、平面的平行 【人教A版】 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型1 证明线线平行】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）在三棱台中，G，H分别是AB，AC的中点，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【解题思路】根据中位线得到线线平行，结合三棱台的性质得到答案. 【解答过程】如图所示， 因为G，H分别是AB，AC的中点， 所以，又由三棱台的性质得， 所以． 故选：C. 【变式1.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用面面平行的性质推理判断. 【解答过程】在三棱柱中，平面平面，而平面平面， 平面平面，则，在平行四边形中，， 所以. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【解答过程】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【解答过程】如图，连接，则分别为的中点，    故, 由分别是线段的中点，得， 故, 故选：C. 【题型2 等角定理及其应用】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据等角定理，即可得到结论. 【解答过程】的两边与的两边分别平行， 根据等角定理易知或. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）若,,且,则（    ） A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定 【答案】C 【解题思路】根据等角定理即可求得. 【解答过程】根据等角定理,知与相等或互补, 即或. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·上海·月考）空间中，与的两边分别平行，若，则 ． 【答案】或 【解题思路】由空间等角定理即可求解. 【解答过程】由空间等角定理可知 或， 故答案为：或. 【变式2.3】（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据等角定理可得. 【解答过程】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 【题型3 直线与平面平行的判定】 【例3】（24-25高二上·辽宁铁岭·期末）下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A．，， B．， C．，，， D．，，，，，且 【答案】A 【解题思路】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【解答过程】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·湖北·期末）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【解答过程】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【解答过程】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【变式3.3】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【解题思路】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥的体积公式求解即可. 【解答过程】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面， ∵， ∴. 【题型4 平面与平面平行的判定】 【例4】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知直线，平面，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由面面平行的判定定理逐个判断即可. 【解答过程】对于A，若，平面可能平行也可能相交，错误； 对于B，，平面可能平行也可能相交，错误； 对于C，，平面可能平行也可能相交，错误； 对于D, ，面面平行的判定定理，正确， 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】A 【解题思路】根据面面平行的判定定理进行判断即可. 【解答过程】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】要证明两平面平行，所以需要证明一平面内两条相交直线与另一平面平行，即证明平面和平面. 【解答过程】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【变式4.3】（24-25高一下·辽宁·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据棱台的体积公式求解； （2）连接，，利用线面平行的判定定理可证平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明. 【解答过程】（1）由题可知，． 根据棱台的体积公式，可得棱台的体积. （2）如图所示： 连接，因为分别是的中点，则， 又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 模块二 平行关系的相互转化及综合应用 1．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【题型5 线面平行性质定理的应用】 【例5】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案. 【解答过程】因为分别为的中点， 所以, 因为平面,平面平面,平面, 所以, 由平行的传递性可知. 故选：A. 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 【答案】B 【解题思路】根据线面平行的性质定理判断． 【解答过程】显然，设由点和直线确定的平面为，则与相交，设，， 如图，直线是唯一确定且在平面内的直线， 又，所以． 如果过还有一条直线与平行，则，这是不可能的． 所以过点P且平行于的直线只有一条，在平面内． 故选：B.    【变式5.2】（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，即可判断选项. 【解答过程】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以. 故选：B. 【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【解答过程】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面 平面，平面平面，所以，所以． 故选：D．    【题型6 面面平行性质定理的应用】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解答过程】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下：    则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】由，，，则且， 反之，当且时，若，则或与相交， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证： ； 【答案】证明见解析 【解题思路】根据条件可得平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【解答过程】平面平面， 平面. 四边形为正方形， ， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】先通过选取辅助点,在上取一点,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平行的性质，即可得到∥平面. 【解答过程】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 【题型7 平行问题的综合应用】 【例7】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【解答过程】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 【变式7.1】（24-25高一下·河南焦作·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【解答过程】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 【变式7.2】（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【解题思路】（1）根据中位线得到，从而证明出线面平行； （2）证明出四边形为平行四边形，故，所以平面，同理可得平面，证明出面面平行，由面面平行的性质得到线线平行. 【解答过程】（1）因为分别为线段的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 【变式7.3】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【解题思路】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【解答过程】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，． 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州·月考）已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】应用线面平行性质定理及线面位置关系结合充分不必要条件定义判断. 【解答过程】若，则过b作平面与平面交于c，则，又，所以，故，即“”是“”的充分条件； 反过来，若，则当时，满足，但不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【解题思路】根据空间等角定理判断即可. 【解答过程】因为，，且， 所以 或 . 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·月考）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用线面平行的判定和性质即可得出判断. 【解答过程】直线和平面，且， 若，则可能成立，也有可能， 若，又由，此时推不出直线； 所以是的既不充分也不必要条件, 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【解题思路】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解. 【解答过程】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·北京房山·期末）设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可. 【解答过程】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立. 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（24-25高一下·河南·期末）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解题思路】根据面面平行判定定理、线面平行的性质定理及线线、线面、面面关系逐一分析即可. 【解答过程】对于A：根据面面平行判定定理，直线应为相交直线，故A错误； 对于B：直线可能在平面α内，故B错误； 对于C：若，，， 则与β垂直、平行，相交不垂直或，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确． 故选：D． 7．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【解答过程】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A. 8．（24-25高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【解答过程】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·河南南阳·月考）下列语句中，错误的为（    ） A．一条直线和另一条直线平行，它和经过另一条直线的任何平面平行 B．一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的无数直线平行 C．过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条 D．平行于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】ACD 【解题思路】根据线面平行的判定定理及线面平行的性质依次判断即可. 【解答过程】对A．要求直线必须在平面外，当该直线在平面内时，则不满足线面平行，故A错误． 对B．根据线面平行的性质定理可以，这条直线和过该条直线的平面与平面的交线是平行的，所以和无数条直线平行，故B正确； 对C．因为在平面外和平面平行的直线有无数条，所以过平面外一点和这个平面平行的直线也有无数条，故C错误 对D．平行于同一个平面的两条直线不一定平行，也有可能是相交或异面，故D错误. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·青海海南·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，若，则与平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，所以C正确； 对于D中，若，则与平行或相交，所以D错误. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【解题思路】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【解答过程】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C，连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 【答案】或 【解题思路】由等角定理求解即可. 【解答过程】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或. 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为 ． 【答案】3 【解题思路】设与交于点，连接，由题意可得，所以， 又由平面，可得，所以. 【解答过程】设与交于点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以， 由于四边形是棱形，可得，则， 所以，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为：3. 14．（24-25高一下·天津南开·期中）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线．其中判断正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【解题思路】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【解答过程】将平面展开图还原成正方体后，CN与DE是异面直线，而不是平行关系．因为在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，所以①错误． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，②正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，，平面BDM，平面BDM，故平面BDM．同理平面BDM,根据平面与平面平行的判定定理,所以平面平面AFN，③正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，④正确． 故答案为：②③④． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】取的中点，利用平行四边形的判定性质，平行公理推理得证. 【解答过程】在正方体中，取的中点，连接，如图， 由为的中点，得，则四边形为平行四边形， 于是，又， 因此四边形为平行四边形，， 所以. 16．（24-25高二·全国·假期作业）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面.    【答案】证明见解析 【解题思路】取中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，据此可完成证明. 【解答过程】在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是， 又平面，平面，所以平面.    17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【答案】 【解题思路】根据线面平行的性质定理得到，然后利用相似和菱形的性质求比值即可. 【解答过程】解：如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 18．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【解答过程】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 19．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【解答过程】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 空间直线、平面的平行 【人教A版】 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型1 证明线线平行】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）在三棱台中，G，H分别是AB，AC的中点，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【变式1.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【变式1.2】（24-25高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【题型2 等角定理及其应用】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）若,,且,则（    ） A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定 【变式2.2】（25-26高二上·上海·月考）空间中，与的两边分别平行，若，则 ． 【变式2.3】（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则 . 【题型3 直线与平面平行的判定】 【例3】（24-25高二上·辽宁铁岭·期末）下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A．，， B．， C．，，， D．，，，，，且 【变式3.1】（24-25高一下·湖北·期末）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 【变式3.3】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【题型4 平面与平面平行的判定】 【例4】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知直线，平面，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【变式4.3】（24-25高一下·辽宁·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 模块二 平行关系的相互转化及综合应用 1．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【题型5 线面平行性质定理的应用】 【例5】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 【变式5.2】（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【题型6 面面平行性质定理的应用】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.1】（24-25高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证： ； 【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【题型7 平行问题的综合应用】 【例7】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式7.1】（24-25高一下·河南焦作·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【变式7.2】（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【变式7.3】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州·月考）已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（24-25高二上·上海·月考）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 5．（24-25高一下·北京房山·期末）设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一下·河南·期末）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 9．（24-25高一下·河南南阳·月考）下列语句中，错误的为（    ） A．一条直线和另一条直线平行，它和经过另一条直线的任何平面平行 B．一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的无数直线平行 C．过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条 D．平行于同一个平面的两条直线互相平行 10．（24-25高一下·青海海南·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为 ． 14．（24-25高一下·天津南开·期中）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线．其中判断正确的序号是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 16．（24-25高二·全国·假期作业）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面.    17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 18．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 19．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $