专题18 将军饮马模型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题18 将军饮马模型目录 A · 重难点题型分类 题型1：将军饮马——“两定一动”…………………………………………… 3 题型2：将军饮马——“两动一定”…………………………………………… 3 题型3：将军饮马——“两定两动”…………………………………………… 4 题型4：将军饮马——“三动点”……………………………………………… 4 题型5：将军饮马——“定点一定长”………………………………………… 5 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 6 知识梳理 1. 将军饮马模型： 名称 图形 已知与结论 将军饮马——“两定一动” A B l P 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 结论：PA+PB的最小值为线段AB的长 A B l P B’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论： PA+PB的最小值为线段AB’的长A B l P B’ A B l P P’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧 结论：当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 A B l P’ P B’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 结论：当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 将军饮马——“两动一定” A P O B P1 N M P2 已知：如图，P为∠AOB内一点 结论：当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 将军饮马——“两定两动” l1 P O l2 Q M N P’ Q’ F E D C A B D’’ D’ 已知：如图，P，Q为角内两定点 结论：当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 将军饮马——“三动点” 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 结论：当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 将军饮马——“定点一定长” M N B A n m A’ 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 结论：AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 A B l N M A’’ A’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论：AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 重难点题型分类 【题型1：将军饮马——“两定一动”】 【例1】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 【变式1-1】M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得的值最大，则这点P（    ） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 【题型2：将军饮马——“两动一定”】 【例1】如图，，点P为内一点，点、分别在、上、当周长最小时，的度数是（  ）      A． B． C． D． 【变式1-1】如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 【题型3：将军饮马——“两定两动”】 【例1】如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【变式1-1】如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型4：将军饮马——“三动点”】 【例1】如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【变式1-1】如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【题型5：将军饮马——“定点一定长”】 【例1】如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 4．（2025·江苏泰州·三模）如图，是等边三角形，，点是一动点，，，交于，连接过点作交于，连接，交相交于当的值最小时，的值为 ． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 三、解答题 8．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 9．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 11．（23-24八年级上·福建福州·期中） 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题18 将军饮马模型目录 A · 重难点题型分类 题型1：将军饮马——“两定一动”…………………………………………… 1 题型2：将军饮马——“两动一定”…………………………………………… 8 题型3：将军饮马——“两定两动”…………………………………………… 15 题型4：将军饮马——“三动点”……………………………………………… 15 题型5：将军饮马——“定点一定长”………………………………………… 15 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 20 知识梳理 1. 将军饮马模型： 名称 图形 已知与结论 将军饮马——“两定一动” A B l P 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 结论：PA+PB的最小值为线段AB的长 A B l P B’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论： PA+PB的最小值为线段AB’的长A B l P B’ A B l P P’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧 结论：当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 A B l P’ P B’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 结论：当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 将军饮马——“两动一定” A P O B P1 N M P2 已知：如图，P为∠AOB内一点 结论：当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 将军饮马——“两定两动” l1 P O l2 Q M N P’ Q’ F E D C A B D’’ D’ 已知：如图，P，Q为角内两定点 结论：当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 将军饮马——“三动点” 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 结论：当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 将军饮马——“定点一定长” M N B A n m A’ 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 结论：AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 A B l N M A’’ A’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论：AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 重难点题型分类 【题型1：将军饮马——“两定一动”】 【例1】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， 点关于的对应点为点， 就是的最小值． 是等边三角形，是边的中点， 是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为， 故选：B． 【变式1-1】M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得的值最大，则这点P（    ） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 【分析】点P，点M，点可构成，根据三角形三边关系分析即可． 【详解】当点P，点M，点N可构成，根据三角形三边关系得： ； 点P与点M重合时，； ∴， 即当点P与点M重合时，的值最大， 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，利用三角形三边关系分析问题是解题的关键． 【题型2：将军饮马——“两动一定”】 【例1】如图，，点P为内一点，点、分别在、上、当周长最小时，的度数是（  ）      A． B． C． D． 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、，交于，交于，的周长最小值等于长，依据等腰△中，， 即可得出． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、，交于，交于，则 ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 等腰△中，， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△中的度数是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式1-1】如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 【分析】作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为△PMN周长的最小值；连接OC，OD，过点O作OH⊥CD，在Rt△OCH中求出HC即可求出CD． 【详解】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小，最小值是DC的长， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=OC=2，CH==2， ∴CD=2CH=4． ∴△PMN周长的最小值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为CD的长是解题的关键． 【题型3：将军饮马——“两定两动”】 【例1】如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3； 故答案为：3 【变式1-1】如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 【题型4：将军饮马——“三动点”】 【例1】如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可； 【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和， 连接交于，交于， 由对称性得， ，， ，，，， ，即△DEF周长的最小值是GH的长， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， 的周长的最小值是； 故答案为： 【变式1-1】如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 【题型5：将军饮马——“定点一定长”】 【例1】如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可． 【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽， 连接，与另一条河岸相交于F，作于点E， 则且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． ∴C选项符合题意， 故选：C． 【变式1-1】如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图：连接，交于点M， 是等腰三角形，点D是边的中点， ，， 是线段的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A，， 此时的周长最小， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键． 作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接，根据轴对称图形的性质得出，再由三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接， ∵， ∴，此时周长最小， 由对称可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，所以，由“直角三角形两锐角互余”可得，所以，由此可得结论． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称最短问题、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活利用轴对称的性质求最值成为解题的关键． 如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，再根据三角形的外角的性质和平角的定义求解即可． 【详解】 解：如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， ，，， ， ， ． 故答案为：． 4．（2025·江苏泰州·三模）如图，是等边三角形，，点是一动点，，，交于，连接过点作交于，连接，交相交于当的值最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短，由全等判断出是本题解题的关键． 先证明和全等，从而得到，再根据垂线段最短得到，从而得到为中位线，进而得出是中点，从而求得． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ，， 和为等边三角形，， ，， ≌， ， ， 垂线段最短， 当且时，最短， 是中点(三线合一)， ∴, ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接， 由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形， ∴， ，当点、P、E共线，且时取等号， 的最小值为， ，， ， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 7．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 三、解答题 8．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点A关于的对称点G、H，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图所示，分别作点A关于的对称点G、H，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 11．（23-24八年级上·福建福州·期中） 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）先根据，得是等腰直角三角形，，过C作轴于E，则，，证明，得到，，最后根据代入计算即可； （2）先过C作轴于E，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，，据此即可得出点C的坐标； （3）作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置，再根据平分得到落在射线上，且，，即可证明，得到，过C作轴于F，当时，C的坐标为，则，，根据，得到，最后求出的最小值是． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 又∵点，点， ∴，， ∴， ∴C的坐标为； （3）解： 如备用图，作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置， ∵平分， ∴射线与射线关于对称. ∵点C与关于对称， ∴落在射线上，且，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 过C作轴于F， 当时，C的坐标为，则，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴的最小值是． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，根据垂线段最短，确定出点M、N的位置是解题的关键． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $