综合实践最短路径问题讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学最短路径问题，以“两点之间线段最短”公理为基础，通过轴对称、平移工具构建五大模型（将军饮马、异侧两点、角内一点、造桥选址、两定两动）及线段差最大值拓展，形成从公理到模型应用的完整学习支架。 资料特色在于模型化分类对比（如同侧异侧作图方法差异）、口诀化总结（“同侧作对称，异侧直接连”）及严格推理证明，结合牧马饮水、造桥选址等实例培养几何直观与推理能力，课中助力教师系统授课，课后便于学生通过模型对比和例题回顾查漏补缺。

人教版八年级数学 · 综合与实践 · 最短路径问题 · 讲义 综合实践 最短路径问题 讲义 一、知识回顾：两点之间线段最短 1. 基本公理（最短路径的基石） 公理 内容 公理1 两点之间，线段最短 公理2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 最短路径问题的核心思想：将折线转化为直线段，从而利用"两点之间线段最短"求出最小值。 2. 两个重要工具 工具① 轴对称： 利用轴对称的性质（对称点到对称轴上任意一点的距离相等），将不在同一侧的点"搬"到同一侧。 工具② 平移： 利用平移的性质（平移前后线段平行且相等），将固定长度的线段"移走"，使分离的路径连接成一条线段。 一句话概括： 所有最短路径问题的本质都是——化折为直。轴对称和平移只是实现这一目标的两种手段。 二、模型①：两点在直线同侧（将军饮马） 1. 问题提出 【将军饮马问题】 唐代诗人李白《从军行》中有"将军饮马"的典故。如图，将军从营地A出发，到河边l饮马后再返回营地A，问在河边何处饮马，所走路程最短？ 抽象为数学问题：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小（B即A的对称点，或另一营地）。 2. 作法与原理 作法： ① 作点B关于直线l的对称点B'； ② 连接AB'，与直线l相交于点C； ③ 点C即为所求。 原理说明 ∵ B与B'关于l对称，C在l上， ∴ BC = B'C（轴对称性质：对称点到对称轴上任意点距离相等）。 ∴ PA + PB = PA + PB' = AB'。 根据"两点之间线段最短"，AB'是最短距离。 3. 严格证明 证明： 在直线l上任取一点C'（与C不重合），连接AC'、BC'、B'C'。 ∵ B、B'关于l对称，C、C'在l上， ∴ BC = B'C，BC' = B'C'（轴对称性质）。 ∴ AC + BC = AC + B'C = AB'。 在△AB'C'中：AB' < AC' + B'C'（三角形两边之和大于第三边）。 即 AC + BC < AC' + BC'。 ∴ AC + BC 最短。 核心口诀： 同侧作对称，连线交点即所求。 三、模型②：两点在直线异侧 1. 问题与方法 若点A、B位于直线l的异侧，在l上找一点P，使PA+PB最小。 方法： 直接连接AB，与直线l的交点C即为所求。 依据：两点之间，线段最短。 2. 同侧与异侧对比 对比项 同侧 异侧 作图方法 作其中一点的对称点，连对称点与另一点 直接连接两点 依据 轴对称性质+三角形不等式 两点之间线段最短 是否需要对称 需要 不需要 常见错误 忘记作对称直接连线 多此一举作对称 易错提醒： 判断同侧/异侧是第一步！只有同侧才需要作对称。异侧直接连线即可。很多同学"条件反射"见题就对称，这是丢分重灾区。 四、模型③：角内一点到两边距离和最小 1. 问题情境 【牧马饮水问题】 牧民从营地A出发，先到草地边（直线l₁）牧马，再到河边（直线l₂）饮马，最后回到营地A。如何走路程最短？ 抽象：在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，使△ABC周长（AB+BC+CA）最小。 2. 作法与原理 作法： ① 作点A关于直线l₁（OM）的对称点A'； ② 作点A关于直线l₂（ON）的对称点A''； ③ 连接A'A''，交l₁于点B，交l₂于点C； ④ 路线A→B→C→A即为最短路径。 原理 ∵ A与A'关于l₁对称 → AB = A'B； ∵ A与A''关于l₂对称 → AC = A''C； ∴ AB + BC + CA = A'B + BC + A''C = A'A''。 根据"两点之间线段最短"，A'A''是最短距离。 3. 证明（任取对比点） 在l₁上任取B'（≠B），在l₂上任取C'（≠C）， 连接AB'、B'C'、A'C'、AB''、B''C''等。 由对称性：AB' = A'B'，AC' = A''C'。 ∴ AB' + B'C' + C'A = A'B' + B'C' + A''C' > A'A''（三角形不等式/折线>直线）。 ∴ AB+BC+CA < AB'+B'C'+C'A，即周长最小。 五、模型④：造桥选址问题（平移法） 1. 问题情境 村庄A、B在一条河的两岸（河岸l₁∥l₂），现要在河上建一座与河岸垂直的桥MN，使从A到B的路径AM+MN+NB最短。 关键条件：① 桥必须垂直于河岸；② 桥长MN = 河宽（定值）。 2. 核心思路：平移法 因为MN是定值（河宽），所以要使AM+MN+NB最短，只需使AM+NB最短。 但AM和NB分别在两条平行线上，无法直接连接。利用平移：将A沿垂直于河岸方向向下平移一个河宽到A'，则AM = A'N。 问题转化为：连接A'B，交远岸l₂于点N，则A'N+NB最短（两点之间线段最短）。 3. 作法与图解 作法： ① 过点A作AA'⊥l₁，且AA'的长度等于河宽（即A'落在l₂上）； ② 连接A'B，交河岸l₂于点N； ③ 过点N作MN⊥l₁，交l₁于点M； ④ MN即为桥的位置，路线AM+MN+NB最短。 原理证明 由平移：AM = A'N（平移前后对应线段相等），MN = AA' = 河宽（定值）。 ∴ AM + MN + NB = A'N + MN + NB = A'B + MN。 A'B是两点之间线段，故A'N+NB最短 → AM+NB最短 → 总路程最短。 造桥问题三步口诀： ① 平移定点（下移河宽）→ ② 连接对称点与另一点 → ③ 作垂线确定桥位。 六、模型⑤：两定两动（A→l₁→l₂→B） 1. 问题情境 牧民从A地出发，先到草地边（l₁）牧马，再到河边（l₂）饮马，然后回到B处（另一个营地）。如何走路程最短？ 抽象：在l₁上找点M，在l₂上找点N，使AM+MN+NB最小。 2. 作法（两次对称） 作法： ① 作点A关于直线l₁的对称点A'； ② 作点B关于直线l₂的对称点B'； ③ 连接A'B'，交l₁于点M，交l₂于点N； ④ 路线A→M→N→B即为最短路径。 原理 ∵ A与A'关于l₁对称 → AM = A'M； ∵ B与B'关于l₂对称 → BN = B'N； ∴ AM + MN + NB = A'M + MN + B'N = A'B'。 根据"两点之间线段最短"，A'B'最短。 3. 模型③与模型⑤的区别 对比项 模型③（回A） 模型⑤（去B） 起点和终点 同一点A（出发并回到A） A出发，B结束（两个不同点） 对称次数 作A关于两条线的对称点（2次） 作A关于l₁、B关于l₂的对称点（2次） 连接对象 A'与A''相连 A'与B'相连 路径形状 三角形周长最小 折线总长最小 七、拓展：线段差的最大值问题 1. 问题类型 在直线l上找一点P，使|PA-PB|的值最大。 2. 两种情况 情形①：A、B在直线l同侧 方法：延长AB（或BA），与直线l的交点P即为所求。 此时|PA-PB| = AB（最大值）。 原理：在△PAB中，||PA|-|PB|| ≤ AB（三角形两边之差小于第三边），当P、A、B共线时取等号。 情形②：A、B在直线l异侧 方法：先作B关于l的对称点B'，再延长AB'（或B'A），与l的交点P即为所求。 此时|PA-PB| = |PA-PB'| = AB'（最大值）。 和最小 vs 差最大 对比： 求"和最小"→化折为直（连接两点）；求"差最大"→三点共线（延长连线）。一个是"线段最短"，一个是"三角形不等式取等"。 方法体系总览 万能口诀： 同侧作对称，异侧直接连；有桥先平移，双线两次翻；化折为直是核心，两点之间线段最短。 解题标准化五步 步骤 操作内容 第1步 定位要素：区分固定点、动点、动点所在直线（对称轴） 第2步 判断诉求：求"和最小"还是"差最大"？ 第3步 选择工具：同侧→轴对称；有定长→平移；双线→两次对称 第4步 作图确定动点：对称点连线与直线的交点即为所求 第5步 数值计算：用勾股定理/坐标/相似求最短距离 八、典型例题精讲 【例1】角内→两边→回起点（牧马饮水回A） 如图，牧民从A地出发，先到草地边（OM）牧马，再到河边（ON）饮马，最后回到A处。确定最短路径路线。 作法： ① 作点A关于OM的对称点A'； ② 作点A关于ON的对称点A''； ③ 连接A'A''，交OM于点B，交ON于点C。 路线A→B→C→A最短，最短距离=A'A''。 证明： 由对称性：AB=A'B，AC=A''C。 ∴ AB+BC+CA = A'B+BC+A''C = A'A''。 在OM上任取B'≠B，ON上任取C'≠C： AB'+B'C'+C'A = A'B'+B'C'+A''C' > A'A''（两点之间线段最短）。 ∴ AB+BC+CA最短。 【例2】造桥选址应用题 如图，A、B两村庄在一条河的两岸（河岸平行，河宽3km）。要在河上建一座垂直于河岸的桥，使从A村到B村的路程最短。已知A到近岸垂直距离2km，B到远岸垂直距离1km，A、B水平距离5km。求最短路程。 解： ① 作AA'⊥近岸，AA'=河宽=3km，A'在近岸下方（即远岸所在直线上）。 ② 连接A'B，交远岸于点N。 ③ 过N作MN⊥近岸交近岸于M，MN即为桥位。 ④ 计算A'B的长度（即AM+NB的最小值）： 水平方向：A到B的水平距离=5km（A'与A同水平位置）。 竖直方向：A'在远岸上，B在远岸下方1km处，∴ A'B竖直落差=1km。 ∴ A'B = √(5²+1²) = √26 km。 总最短路程 = A'B + MN = √26 + 3 ≈ 8.1 km。 【例3】基础将军饮马（同侧） 如图，直线l同侧有A、B两点，AB=6cm。作B关于l的对称点B'，连接AB'交l于C。若∠ABC=40°，求∠CBB'的度数。 解： ∵ B与B'关于l对称，l是BB'的中垂线。 ∴ CB=CB'（中垂线上点到两端距离相等）。 ∴ ∠CBB' = ∠CB'B。 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C = 180°。 由对称性，∠CB'B = ∠CBB'。 ∵ ∠ABC = 40°，且∠ABC = ∠ABB' + ∠CBB'。 设∠CBB'=x，则∠ABB'=40°-x。 由对称：∠ABB' = ∠AB'B' = 40°-x。 在△AB'B'中：(40°-x)+∠BAB'+(40°-x+x)=180°…… 更简洁：∵ CB=CB'，∠CBB'=∠CB'B。 ∵ l是BB'中垂线，∠1=∠2（对称角相等）。 ∠ABC=40°即∠AB l + ∠lBB' = 40°。 由对称∠lBB'=∠lB'B。 ∴ ∠CBB' = ∠CB'B = 40°。 （∵ B、B'对称，l平分∠BB'B'的外角… 实际∠CBB'=∠ABC=40°） 【例4】菱形中的最短路径 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线BD上有一动点P。求PA+PC的最小值。 解： ∵ 菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC且BD是AC的中垂线。 ∴ A关于BD的对称点是C（菱形对角线性质）。 ∴ PA = PC（BD上任意点到A、C距离相等）。 ∴ PA + PC = 2PA。 要使PA+PC最小，即要使PA最小。 根据"垂线段最短"，当PA⊥BD时PA最小。 即P为BD与AC的交点（菱形对角线交点O）。 设菱形边长为a，则AO = a·sin30° = a/2。 ∴ PA+PC最小值 = 2AO = a。 【例5】线段差最大值 如图，A、B在直线l同侧，AB=8cm。在l上找一点P，使|PA-PB|最大。求最大值。 解： 延长AB，交直线l于点P（选择延长方向与l相交的一侧）。 此时P、A、B三点共线，且B在A、P之间（或A在B、P之间）。 ∴ |PA-PB| = AB = 8cm（最大值）。 原理：在△PAB中，||PA|-|PB|| < AB（三角形不等式），共线时取等号。 【例6】综合：正方形中的将军饮马 正方形ABCD边长为4，E为BC中点，P为BD上动点。求PE+PC的最小值。 解： ∵ 正方形关于BD对称，C关于BD的对称点是A。 ∴ PC = PA（BD上任意点P到C、A距离相等）。 ∴ PE + PC = PE + PA。 问题转化为：在BD上找P使PE+PA最小（A、E在BD同侧）。 作A关于BD的对称点… 但A已在BD上（A是顶点）。 重新分析：A、E在BD同侧，作E关于BD的对称点E'。 E'在CD上（因为E在BC上，关于BD对称映射到CD上）。 由对称：PE = PE'。 ∴ PE+PA = PE'+PA。 当A、P、E'共线时最小，即P为AE'与BD的交点。 AE'长度：A(0,4)，E'是E(2,0)关于BD(y=x)的对称点→E'(0,2)。 ∴ AE' = |4-2| = 2… 需更精确坐标计算。 设A(0,4), B(4,4), C(4,0), D(0,0)，E(4,2)（BC中点）。 BD方程：y = -x + 4。 E关于BD对称点E'：E'(2,0)→关于y=-x+4对称… 简化：由对称性直接得PE+PC最小值 = AE'的长度。 经计算：E'(2,4)（E关于BD的对称点即AB中点）。 A(0,4), E'(2,4)：AE'=2。 ∴ PE+PC最小值 = 2。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $