精品解析：贵州省遵义市第四初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学测试

遵义市第四初级中学2025-2026年度第一学期期中测试 九年级数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教版七、八年级以及九年级上册第二十一至二十三章知识． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 2. FAST望远镜，位于贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县大窝的喀斯特洼坑中，被誉为“中国天眼”．2025年10月12日，国家天文台发布消息，FAST发现的脉冲星数量达到1152颗．用科学记数法表示1152颗为（ ）颗． A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 方程的根是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 7. 有十八位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，按分数高低选九位同学进入下一轮比赛．小华知道了自己的分数后，还需要知道哪个统计量，就能判断自己能否进入下一轮比赛．（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 方差 D. 平均数 8. 已知二次函数下列说法错误的是（） A. 对称轴为：直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 9. 如图，在菱形中，与交于点，若，，则该菱形的周长是( ) A. 20 B. 24 C. 25 D. 48 10. 已知点和关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2025 11. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算：_______． 14. 如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______秒． 16. 如图，在和中，若，，，，，则_______． 三、解答题（共98分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 先化简，再从四个数中选取一个合适的数代入求值： 19. 已知二次函数． （1）该函数图象与x轴的交点坐标是_______、_______，顶点坐标是_______； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象．（要求至少描出5个格点） 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：（；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，81，82，85，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 95 八年级所抽取学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生2000人，如果七、八年级的学生全部参与问卷调查，请估计七、八年级共有多少名学生的问卷调查成绩不低于90分？ 21. 如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）若，，直接写出的周长：________． 22. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒 （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下．第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？ 23. 【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 24. 如图①，位于贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县与黔西南州贞丰县交界处北盘江花江段、国家级景区花江大峡谷风景区上空的悬索桥——花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥主桥跨径超越贵州北盘江大桥，居山区桥梁跨径世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．小星在国庆期间游览该大桥时，被这座宏伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息由图②所示：该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据帮助小星解决以下问题： （1）求缆索所在抛物线的解析式； （2）花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”3.0版本的代表作，大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 25. 在某次数学兴趣小组活动中，小星同学遇到了如下问题：如图①，在正方形中，，分别是，上的点，且，求的度数． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，如图①所示，即可求出的度数．请同学们根据此想法解决小星同学的问题． （2）【理解应用】如图②，在边长为的正方形中，，分别是，上的点，且，，求的长． （3）【延展应用】如图③，在矩形中，，分别是，上的点，，，且则的长为_______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第四初级中学2025-2026年度第一学期期中测试 九年级数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教版七、八年级以及九年级上册第二十一至二十三章知识． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 所以4的相反数-4． 故选B． 考点：相反数． 2. FAST望远镜，位于贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县大窝的喀斯特洼坑中，被誉为“中国天眼”．2025年10月12日，国家天文台发布消息，FAST发现的脉冲星数量达到1152颗．用科学记数法表示1152颗为（ ）颗． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1152用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴ ∵， ∴的度数是． 故选：A ． 5. 方程的根是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法把原方程化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】原方程可化为：或， 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 6. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 7. 有十八位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，按分数高低选九位同学进入下一轮比赛．小华知道了自己的分数后，还需要知道哪个统计量，就能判断自己能否进入下一轮比赛．（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 方差 D. 平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数的应用，根据总人数18及进入下一轮的人数9，可知需要知道的统计量为中位数． 【详解】解：将18位同学的分数从高到低排序，第9位和第10位的平均数是中位数， 他们的分数互不相同， 9位同学的分数比中位数高，9位同学的分数比中位数低， 按分数高低选九位同学进入下一轮比赛， 小华知道自己的分数和中位数后，才能判断自己能否进入下一轮比赛． 故选：A． 8. 已知二次函数下列说法错误的是（） A. 对称轴为：直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标和开口方向，从而判断各选项的正确性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点，函数有最大值为，无最小值， 故选项C错误，符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项B正确，不符合题意． 故选C． 9. 如图，在菱形中，与交于点，若，，则该菱形的周长是( ) A. 20 B. 24 C. 25 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质；根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ，，，， 故菱形的周长为． 故选：A． 10. 已知点和关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进而求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：由题意， ∴， ∴； 故选B． 11. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与作图、等腰三角形的判定．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．根据作图的过程可以判定是的角平分线；利用等角对等边可以证得的等腰三角形；根据点到的距离与相等即可判断． 【详解】解：由作法得平分， ①正确； ∵， ∴，而平分， ∴， ∴， ∴②正确； 在 中，∵， ∴，又点到的距离与相等， ∴点到的距离是1， ∴③正确； 故选：D． 12. 在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移．通过将两个二次函数化为顶点式，比较顶点坐标的变化来确定平移方式．平移规则为“左加右减，上加下减”． 【详解】解：∵，顶点为； ，顶点为； ∴ 顶点从平移到： 故平移方式为向左平移3个单位，再向下平移3个单位． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项．合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴可得，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 故答案为：． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______秒． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，飞机停止滑行时，其滑行距离达到最大值，因此本题即求二次函数达到最大值时的取值，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值对应的时间t，即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴当时，滑行距离达到最大值，故所求时间为15秒， 故答案为：15． 16. 如图，在和中，若，，，，，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理；在上截取，，连接、，先得出、是等腰直角三角形，即可得出，，利用勾股定理即可求出、的长，继而求出，再证，得出，再证，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，，连接、， ，， ，， ， 、是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数的混合运算． （1）先计算乘法，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先整理，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 解得． 18. 先化简，再从四个数中选取一个合适的数代入求值： 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件． 先因式分解后化简代数式，最后取使分式有意义的数代入即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 只能取， 当时，原式． 19. 已知二次函数． （1）该函数图象与x轴的交点坐标是_______、_______，顶点坐标是_______； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象．（要求至少描出5个格点） 【答案】（1）、， （2） 列表： x … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 描点，连线，如图所示： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用列表、描点、连线，画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为：； 令，则， 解得或， ∴函数图象与x轴的交点坐标是、， 故答案为：、，； 【小问2详解】 略 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：（；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，81，82，85，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 95 八年级所抽取学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生2000人，如果七、八年级的学生全部参与问卷调查，请估计七、八年级共有多少名学生的问卷调查成绩不低于90分？ 【答案】（1），92，40 （2） 解：八年级学生竞赛成绩较好，理由如下： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数，众数均高于七年级的中位数，故整体上看八年级学生竞赛成绩较好． （3）750名 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平样本估计整体等知识点，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数的定义是解题的关键． （1）根据表格以及众数、中位数的定义可确定a、b的值，先求出C、D的人数，然后结果B组数据求得A组数据的个数，最后再求其所占的百分比即可； （2）根据平均分、中位数，众数进行分析即可解答； （3）用学生总数乘以卷调查成绩不低于90分的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：由八年级C组占，人数为（人）， 八年级D组占，人数为（人）， ∴八年级中位数为C组的第5、6个同学竞赛成绩的平均数即； ∵七年级20名学生的竞赛成绩中92出现次数最多， ∴七年级的众数； 八年级A组人数为（人）， ∴，即． 故答案为：，92，40． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵七年级问卷调查成绩不低于90分的学生有7人，八年级问卷调查成绩不低于90分的学生有8人， ∴两个年级学生的问卷调查成绩不低于90分共人． 答：七、八年级共有750名学生的问卷调查成绩不低于90分． 21. 如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）若，，直接写出的周长：________． 【答案】（1） 补全图形如图： （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由题意直接作图即可； （2）由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则，即可根据“”证明，即可得出结论； （3）由，，得，再证明是等边三角形，则，所以，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即的周长是． 故答案为：． 22. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒 （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下．第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？ 【答案】（1）20% （2）降价6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意假设未知数，构建方程是解题的关键． （1）周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量=增长前的量，列方程求解即可； （2）设每盒降价元，根据利润=（售价-成本）销售量，结合条件列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%． 【小问2详解】 设该口味月饼每盒降价元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当该口味月饼每盒降价6元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元． 23. 【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【解析】 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 24. 如图①，位于贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县与黔西南州贞丰县交界处北盘江花江段、国家级景区花江大峡谷风景区上空的悬索桥——花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥主桥跨径超越贵州北盘江大桥，居山区桥梁跨径世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．小星在国庆期间游览该大桥时，被这座宏伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息由图②所示：该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据帮助小星解决以下问题： （1）求缆索所在抛物线的解析式； （2）花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”3.0版本的代表作，大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 【答案】（1）； （2）①完成更换工作需要准备46米的灯带；②缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是列出二次函数解析式． （1）用待定系数法求函数解析式； （2）①把代入解析式求出y的值即可； ②先求出直线的解析式，再求缆索与该光线的距离，然后由函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴更换工作需要准备灯带长为（米）； 答：完成更换工作需要准备46米的灯带； ②设直线的解析式为, 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∴缆索与该光线的竖直距离 ， ∵， ∴当时，d有最大值，最大值为． ∴缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 25. 在某次数学兴趣小组活动中，小星同学遇到了如下问题：如图①，在正方形中，，分别是，上的点，且，求的度数． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，如图①所示，即可求出的度数．请同学们根据此想法解决小星同学的问题． （2）【理解应用】如图②，在边长为的正方形中，，分别是，上的点，且，，求的长． （3）【延展应用】如图③，在矩形中，，分别是，上的点，，，且则的长为_______ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）证明，推出； （2）利用（1）中结论，利用勾股定理构建方程求解； （3）如图③中，在线段上截取线段，使得，过点作于点交于点．设．利用（2）中结论，再利用相似三角形的性质构建方程求解． 【小问1详解】 解：如图①中，四边形都是正方形， ， 是由顺时针方向旋转得到， ，，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 如图2中，设，则，， ，， ， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 如图③中，在线段上截取线段，使得，过点作于点交于点．设． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 由（2）可知， ，， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $