精品解析：2026届河北省名校联盟高三上学期一模联考数学试题

2026届名校联盟高三年级模拟考试 数 学 试 题 试卷满分150分 考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是假命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p和q都是真命题 3. 已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，过坐标原点O的直线l与C相交于A，B两点，若点A在第一象限，且 ，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数x，y，z满足 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 则（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 函数与的图象至少有一条相同的对称轴 C. 函数与的图象的对称中心之间的最小距离为 D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 10. 已知O为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，长轴长为4，F为C的右焦点，第二象限的点 P为椭圆上一点，Q为点P关于y轴的对称点，PQ交y轴于点M，N为线段 FQ的中点，则（ ） A. B. C. 设A 是C的左顶点，直线AP 和AQ 的斜率分别为，则 D. 内切圆半径的取值范围为 11. 已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的，都有（2）当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于y轴对称 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前n项和为，且 则数列的公比为_______. 13. 已知 且 则________. 14. 如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求A; （2）若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 16. 人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. （1）当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? （2）当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 17. 如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形. （1）证明:平面平面. （2）若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 19. 如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为 （1）求p的值； （2）求 的面积； （3）设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届名校联盟高三年级模拟考试 数 学 试 题 试卷满分150分 考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出该复数的模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 2. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是假命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p和q都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法确定给定命题真假即可. 【详解】命题是全称量词命题，当时，，所以是假命题； 命题是存在量词命题，当时，，所以是真命题. 故选：C 3. 已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 4. 2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出新样本的中心点，再利用经验回归方程求得答案. 【详解】由及，得， 则在新样本中，， 所以. 故选：B 5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，过坐标原点O的直线l与C相交于A，B两点，若点A在第一象限，且 ，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意由可得，由可得，中由勾股定理列齐次式求双曲线C的离心率. 【详解】双曲线 的左、右焦点分别为，， 过坐标原点O的直线l与C相交于A，B两点，点A在第一象限， 由，有，所以为直角三角形，， 由对称性可知，则有， 又，得， 中，，则有，化简得，即， 所以双曲线C的离心率. 故选：C 6. 若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定方程并构造函数，作出函数图象，由两个函数图象有两个交点求出范围. 【详解】由方程 ，得， 而，则，令函数， 函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数的最小值为0，图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 依题意，函数的图象有且只有两个交点，而它们有相同的对称轴， 因此，即，又，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：A 7. 已知正数x，y，z满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出并变形得，再构造函数，利用导数确定单调性即可比较大小. 【详解】由，得， 则，令函数， 当时，求导得，函数在上单调递减， 因此，而，则， 所以. 故选：B 8. 已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四棱台为正四棱台，外接球球心在上下底面的中心连线上，建立空间直角坐标系，利用球心到点和点距离相等，求出球心坐标和球的半径，可得球的表面积. 【详解】正四棱柱底面，故底面积为，体积为128，得高， 以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 与相交于点，有，与相交于点，有， 由，得为靠近的四等分点，有， 同理，有，，， 下底面是边长为8的正方形，中心， 上底面是边长为2的正方形，中心， 中心连线垂直于底面，故四棱台为正四棱台。 四棱台的外接球球心在直线上，设球心坐标为， 由球心到和距离相等， 有，解得， 外接球半径的平方，表面积. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 则（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 函数与的图象至少有一条相同的对称轴 C. 函数与的图象的对称中心之间的最小距离为 D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的基本公式和三角函数的周期、对称性、图象变换等性质，逐一分析每个选项，即可判断对错. 【详解】对于选项A，，所以周期， ，周期，两者周期相同，故A正确. 对于选项B，的对称轴满足 （），解得 （）， 的对称轴满足（），解得（）， 当 时， 是两者共同的对称轴，故B正确. 对于选项C，的对称中心满足 （）， 解得 ，对称中心为 （）， 的对称中心满足 （）， 解得 ，对称中心为 （）， 则两个对称中心的距离为， 当 ， 时，距离为， 此时距离为，比 更小，故C错误. 对于选项D，将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 . 再将 的图象向左平移 个单位长度，得到 ， 而 ，故D正确. 故选：ABD 10. 已知O为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，长轴长为4，F为C的右焦点，第二象限的点 P为椭圆上一点，Q为点P关于y轴的对称点，PQ交y轴于点M，N为线段 FQ的中点，则（ ） A. B. C. 设A 是C的左顶点，直线AP 和AQ 的斜率分别为，则 D. 内切圆半径的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】先由离心率和长轴长求出椭圆方程可得A；连接，利用对称性和椭圆的性质可判断B；设，表示出斜率结合点在椭圆上代入化简可得C；利用等面积可判断D. 【详解】由题意可得，所以， 所以椭圆方程为， 对于A，，故A正确； 对于B，设椭圆的左焦点为，连接， 由对称性可得四边形为等腰梯形，所以， 所以，故B错误； 对于C，设， 所以，所以， 因为， 所以，故C正确； 对于D，设椭圆的上顶点为，内切圆半径为， 由可得， 即，即，解得，故D错误. 故选：AC 11. 已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的，都有（2）当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于y轴对称 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件（1），利用赋值法，结合奇偶函数的定义及性质计算判断AB；令， ，，由条件（2）并结合奇函数性质判断C；由条件（1）可得，再利用单调函数的定义并结合（2）确定函数在上单调性，进而利用奇函数性质判断D. 【详解】对任意的，都有， 对于A，令，则，令，得，则， 令，得，则，因此，A正确； 对于B，令，得， 即，因此，函数是奇函数，其图象关于原点对称，B错误； 对于C，令，即，取，则， 于是，即，当时，，， 则，此时，当时，由奇函数的性质得，则， 因此，，C正确； 对于D，令，则，当时，， 任取，， 由，得，则，而，因此， 即，此时，而，则，即， 因此函数在上单调递减，由奇函数性质得在上单调递减， 由，得，则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前n项和为，且 则数列的公比为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列通项公式及前项和公式，计算可得. 【详解】由题意可得， 因为， 两边同时除以可得，解得. 故答案为：2. 13. 已知 且 则________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合商数关系和两角和的余弦展开式以及平方关系计算可得. 【详解】令，则，且，， 由可得，即，① 又，即，② 由①②两式可得， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有________种. 【答案】 【解析】 【分析】将有阴影的圆中填入的数字用 表示，则为 ； 这几种情况讨论，求出相应填法种数，即可求得结果. 【详解】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示， 当 为9，8，7时，有 种填法； 当 为9，8，6时，则7不能与6相邻， 故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有 种情况，有2160 种填法； 当 为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字， 有 种填法； 当 为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有 种填法； 当 为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有 种填法； 当 为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置， 6不与5相邻有2种位置选择，有 种填法； 当 为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置， 与4相邻的只能是3，2，1，故有 种填法. 所以填法共有： (种). 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求A; （2）若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【答案】（1）； （2）选择条件，答案见解析. 选择条件①：， 选择条件②： 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出，选择条件①，利用向量数量积运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 在中，由， 得， 整理得，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 令的内角所对边长分别为， 由的面积为，得，则， 由的周长为20，得，由，得， 即，解得， 选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则， 所以. 选择条件②：AD 是的平分线，由， 得，则， 所以. 16. 人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. （1）当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? （2）当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）把老张通过两个环节的概率表示为关于a的函数，利用函数性质求概率最大时a的值； （2）求出三人能进入流片与测试环节的概率，由的可能取值求出对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望. 【小问1详解】 老张通过两个环节的概率为， 因为 ，所以当时，取得最大值. 所以当时，老张通过两个环节的概率最大. 【小问2详解】 当 时，老张进入流片与测试环节的概率为， 小李进入的概率，小军进入的概率， 设为能进入的人数，则的可能取值为， ， ， ， . 分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望为 . 17. 如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形. （1）证明:平面平面. （2）若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 则平面，又平面，所以平面平面. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定及面面垂直的判定推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，令，写出相关点的坐标，利用共面向量定理列式求解；②求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则，设， ，由点平面， 得，即，则， 因此，，所以. ②设平面的法向量，则，令，得， 而平面的法向量，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）证明如下： 不等式， 令函数，依题意，， 求导得，令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，所以对任意的. （3）证明如下： 函数定义域为R，求导得， 由，即，得，函数有唯一零点， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 函数在处取得最大值，且当时，；当时，， 由函数有且仅有一个零点，得，即， 消去得，令函数，显然函数在R上单调递增， 而，则，， 又函数在上单调递增，因此， 方程中，， 所以方程 无实数根. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出最小值即可推理得证. （3）利用导数，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 19. 如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为 （1）求p的值； （2）求 的面积； （3）设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线 的准线方程，建立关于 的方程，求解即可； （2）根据（1）求出点 的坐标，进而求出直线 的方程，并与抛物线方程联立，得到 间的关系，再求 的坐标，进而得 及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式即可求得结果； （3）先求出数列 的通项公式，进而分类讨论求出， 通过参变分离，将不等式恒成立问题转化为二次函数最值问题，即可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意知抛物线 的准线方程为 ， 则由题意得 ， 整理得 ，即 ，得 . 【小问2详解】 由（1）知抛物线 的方程为 ，则 ， 因为点 在抛物线 上，则 ， 因为点 与 关于 轴对称， 所以当 时，易知 ， 所以过 且斜率为 的直线 的方程为： ， 联立，得 ， 消去 ，得 ， 解得 或 ， 所以 ，即 . 所以 ，则 ， 又直线 的方程为 ，即 ， 则点 到直线 的距离 ， 所以 【小问3详解】 由 (2) 知数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 所以 ， 代入抛物线方程得 ， 又因为当 时， 所以， 当 为偶数时， . 当 为奇数时， 所以， 因为对任意的 恒成立， 所以当 为偶数时， ，即 恒成立， 又 ， 所以当 时， 取得最小值，且最小值为， 所以 ， 当 为奇数时， 即 恒成立， 又 ， 所以当 时， 取得最小值，且最小值为，所以 . 综上可得 的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $