期末押题密卷01卷（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）-2025-2026学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习 （人教A版）

期末押题密卷01卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 一、单选题 1．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 2．已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解. 【详解】由，可得数列是等差数列，公差， 又，. 故选：C. 3．抛物线过点，则的准线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程. 【详解】∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴其准线方程为y＝－1. 故选：B. 4．已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 5．已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【详解】设线段中点，则在圆上运动， ，即． 故选：A 6．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（    ） A．40 B．60 C．32 D．50 【答案】B 【分析】运用等比数列的性质，成等比数列. 【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此． 故选:B. 7．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，连接EC，，取EC的中点P，连接，PA， 在正三棱台中，设，则， 由E，F分别是AB，的中点，得，且， 四边形是平行四边形，，则即为异面直线EF，所成角（或其补角）， 在等腰梯形中，EF为梯形的高，过作于，则， ，，，， 即，，在中，． 因此，所以异面直线EF，所成角的余弦值为.故选：D 8．设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出，由椭圆的定义得，，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值，最后求出椭圆的离心率 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知， 因为过的直线交椭圆于A，B两点， 所以由椭圆的定义知：， 所以， 当轴时，最小，的值最大， 此时为椭圆的通径，由通径公式可得： 所以，解得：，所以，， 故选：A 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是 A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形 即，在直线上，圆心距 计算得到 故答案选AB 10．下列说法正确的有（   ） A．等差数列的前n项和，若，则 B．等比数列，，前n项和 C．数列的前n项和，则是等差数列 D．等差数列公差，若成等比，则公比为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的前n项和的性质计算即可判断A项；求出公比，利用前n项和的公式计算判断B项；先由求得，再由等比数列的定义判断C项；先由条件求得的数量关系，再代入消元求公比判断D项. 【详解】对于A，因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 即，因，代入解得，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为，则，前n项和，故B正确； 对于C，因数列的前n项和，则， 当时，，显然满足，故，又因，故是公比为2的等比数列，故C不正确； 对于D，因成等比，则，即， 整理得，因，则， 此时，，即公比为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BCD 【详解】如图，，直线的斜率，则设直线的方程为， 联立得，得：，解得． 由，得，故A错误； 由于，则，故B正确； 所以，所以，， 又因为在第一象限，故在第四象限， 所以，， 所以， 设过点的切线方程为，代入抛物线方程可得，整理得，由判别式等于0，整理可得，解得， 所以过点的切线方程为，即①， 同理求得过点的切线方程为②，联立①②可得，所以，又， 所以，故C正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 13．已知，求数列 . 【答案】 【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式. 【详解】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以. 故答案为： 14．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】首先画出图形，利用数形结合转化为点也在另一个椭圆上，通过联立方程，即可求解. 【详解】如图，正方形是曲线表示的图形，，，，， 椭圆的焦点分别为，，， 所以，所以点也在以点，为焦点的椭圆上，椭圆方程为， 联立，解得：，则 所以点到轴的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，E为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 【详解】（1）连结交于，连结如下图所示： 因为为正方形，所以是中点． 又为中点，所以． 平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以； 又因为为正方形，所以 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 不妨设，则，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 即，取，可得，即； 故直线与平面所成角正弦值为． （3）设是平面的一个法向量， 则，解得，取，可得， 即可得． 因为， 由图可知二面角是钝二面角， 故二面角的余弦值为. 16．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，为原点，若，求面积的最大值． 【详解】（1）由题可得 ，所以； 所以椭圆C的方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线为，， 联立方程，得到. 则， ， 因为，所以， ，则， 即，即. 代入根与系数的关系得， 化简得到，即， 由弦长公式可得 ， 原点到直线的距离， 所以， 令，则， 则， 令 ，则， 所以当时，有最大值1； 当直线的斜率不存在时，设直线 为 ， 代入椭圆方程得到， 因为，所以，即， 此时面积为， 所以面积的最大值为1. 17．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可; （2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍）， 所以圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 又，所以，解得， 所以直线的方程为或 . 18．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果. （2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，， 得，解得，， 所以，. （2）由（1）知，， 因此当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 19．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①是定值，；② 【分析】（1）点到点的距离与到的距离相等，根据抛物线定义得到方程； （2）①设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，并求出，故，所以； ②表达出的方程，得到过定点，表达出. 【详解】（1）由题可知，点到点的距离与到的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故轨迹方程为. （2）①设， 由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然， ，联立曲线方程并消去可得 ， 则是方程的两根，， 所以，同理 因为，所以，所以；   （2）由①知的方程为： 令，， 所以过定点. ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末押题密卷01卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 一、单选题 1．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 2．已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．抛物线过点，则的准线方程为(    ) A． B． C． D． 4．已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（    ） A．40 B．60 C．32 D．50 7．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是 A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） A．等差数列的前n项和，若，则 B．等比数列，，前n项和 C．数列的前n项和，则是等差数列 D．等差数列公差，若成等比，则公比为 11．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 13．已知，求数列 . 14．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，E为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 16．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，为原点，若，求面积的最大值． 17．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. . 18．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 19．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $