寒假作业10 因式分解（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 因式分解 【知识点1 因式分解】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【知识点2 用提公因式法分解因式】 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【知识点3 用平方差公式分解因式】 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【知识点4 用完全平方公式分解因式】 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 因式分解的定义】 1．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1 C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 【分析】因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积形式，变形方向为从左（多项式）到右（乘积），据此求解即可． 【解答】解：根据因式分解的定义将多项式分解为几个整式的乘积形式逐项分析判断如下： A、左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不符合题意； B、右边为平方和形式，非乘积，不符合题意； C、左边为多项式，右边为（x+3）2，符合因式分解，符合题意； D、左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不符合题意． 故选：C． 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m﹣2）（m+2）+m B．n（a+b）＝na+nb C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 D．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：根据因式分解的意义逐项分析判断如下； A：右边为（m﹣2）（m+2）+m，不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B：左边为n（a+b），是积的形式，右边为na+nb，从左到右的变形过程是整式乘法，故不是因式分解，不符合题意； C：左边为（x+2）（x﹣3），是积的形式，右边为x2﹣x﹣6，是整式乘法，故不是因式分解，不符合题意； D：左边为多项式﹣x2+2x﹣1，右边为﹣（x﹣1）2，是积的形式，故属于因式分解，符合题意； 故选：D． 3．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（a+1）＝a2+a B．2a2+6a+1＝2a（a+3）+1 C．a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3） D． 【分析】利用因式分解的定义分别分析得出即可． 【解答】解：A、a（a+1）＝a2+a，是整式的乘法，故此选项错误； B、等号的右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项错误； C、a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3），是因式分解，故此选项正确； D、等号右边有分式，不符合因式分解的定义，故此选项错误； 故选：C． 【题型2 提公因式法分解因式】 4．分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）． 【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可． 【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a） ＝a2（a+2b）+2ab（a+2b） ＝a（a+2b）（a+2b） ＝a（a+2b）2． 5．把下列各式因式分解： （1）（x﹣y）2+（y﹣x）3； （2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）． 【分析】（1）直接利用提取公因式法提取公因式（x﹣y）2，即可得到答案； （2）直接利用提取公因式法提取公因式a（3x﹣y），即可得到答案． 【解答】解：（1）（x﹣y）2+（y﹣x）3 ＝（x﹣y）2+（y﹣x）2⋅（y﹣x） ＝（x﹣y）2+（x﹣y）2⋅（y﹣x） ＝（x﹣y）2[1+（y﹣x）] ＝（x﹣y）2（1﹣x+y）； （2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x） ＝ab（3x﹣y）﹣ac（3x﹣y）+ad（3x﹣y） ＝a（3x﹣y）（b﹣c+d）． 6．分解因式： （1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． 【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答； （2）利用提公因式法，进行分解即可解答． 【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x） ＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（a+b）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． ＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）] ＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y） ＝﹣2xy（x+y）． 7．因式分解 （1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式； （2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式． 【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3xy2（x﹣y）2； （2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b） ＝3（a﹣b）（x+2y）． 8．把下列各式分解因式： （1）﹣8a3b2+6ab3c； （2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）． 【分析】（1）提取公因式﹣2ab2分解因式即可； （2）提取公因式（x﹣y）分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2ab2（4a2﹣3bc）； （2）原式＝（x﹣y）[x（x﹣y）+y]＝（x﹣y）（x2﹣xy+y）． 【题型3 公式法分解因式】 9．因式分解：81a4﹣16． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（9a2）2﹣42 ＝（9a2+4）（9a2﹣4） ＝（9a2+4）（3a+2）（3a﹣2）． 10．分解因式：（5m2﹣2n2）2﹣（2m2﹣5n2）2． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：（5m2﹣2n2）2﹣（2m2﹣5n2）2 ＝[（5m2﹣2n2）+（2m2﹣5n2）][（5m2﹣2n2）﹣（2m2﹣5n2）] ＝（7m2﹣7n2）（3m2+3n2） ＝21（m﹣n）（m+n）（m2+n2）． 11．因式分解 （1）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2； （2）x4﹣8x2y2+16y4． 【分析】（1）先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2 ＝（x2﹣2y+1﹣2y）（x2﹣2y﹣1+2y） ＝（x2﹣4y+1）（x2﹣1） ＝（x2﹣4y+1）（x﹣1）（x+1）； （2）x4﹣8x2y2+16y4 ＝（x2﹣4y2）2 ＝[（x+2y）（x﹣2y）]2 ＝（x+2y）2（x﹣2y）2． 12．因式分解 （1）（m2+4）2﹣16m2 （2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81 【分析】（1）先根据平方差公式，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据将x2+6x看作一个整体，再根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（m2+4+4m）（m2+4﹣4m） ＝（m+2）2（m﹣2）2； （2）设m＝x2+6x，则 原式＝m2+18m+81 ＝（m+9）2 ＝（x2+6x+9）2 ＝（x+3）4． 13．将下列多项式进行因式分解： （1）81（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （2）． 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先进行多项式乘多项式的运算，化简后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝[9（a+b）+2（a﹣b）][9（a+b）﹣2（a﹣b）2] ＝（9a+9b+2a﹣2b）（9a+9b﹣2a+2b） ＝（11a+7b）（7a+11b）； （2）原式 ． 【题型4 提公因式法与公式法综合分解因式】 14．分解因式：x4（m﹣2）+（2﹣m）y4． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝（m﹣2）（x4﹣y4） ＝（m﹣2）（x2﹣y2）（x2+y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）（x2+y2）． 15．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）． 【分析】首先提取（a﹣b）进而利用平方差公式以及提取公因式法分解因式即可． 【解答】解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a） ＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]， ＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]， ＝（a﹣b）（8a2﹣8b2）， ＝8（a﹣b）（a2﹣b2）， ＝8（a﹣b）2（a+b）． 16．分解因式： （1）a3﹣4a2b+4ab2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式． 【解答】解：（1）a3﹣4a2b+4ab2 ＝a（a2﹣4ab+4b2） ＝a（a﹣2b）2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x） ＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y） ＝（x﹣y）2（x+y）． 17．因式分解： （1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）； （2）﹣a3+2a2b﹣ab2． 【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝m2（a﹣b）﹣4n2（a﹣b） ＝（a﹣b）（m2﹣4n2） ＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）； （2）原式＝﹣a（a2﹣2ab+b2） ＝﹣a（a﹣b）2． 18．因式分解： （1）﹣x3﹣2x2﹣x； （2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）． 【分析】（1）先提公因式﹣x，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解； （2）先提公因式（a﹣1），然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【解答】解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x ＝﹣x（x2+2x+1） ＝﹣x（x+1）2； （2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a） ＝x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1） ＝（a﹣1）（x2﹣y2） ＝（a﹣1）（x+y）（x﹣y）． 【题型5 分组分解法分解因式】 19．分解因式：2x2y﹣6xy+2x2﹣6x． 【分析】前两项结合，后两项结合，再连续提公因式即可分解因式． 【解答】解：2x2y﹣6xy+2x2﹣6x ＝（2x2y﹣6xy）+（2x2﹣6x） ＝2xy（x﹣3）+2x（x﹣3） ＝2x（x﹣3）（y+1）． 20．因式分解：4y2+25x2﹣1﹣4y4． 【分析】先将原式变形为25x2﹣（4y4﹣4y2+1），再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【解答】解：4y2+25x2﹣1﹣4y4 ＝25x2﹣（4y4﹣4y2+1） ＝25x2﹣（2y2﹣1）2 ＝（5x+2y2﹣1）（5x﹣2y2+1）． 21．分解因式：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2． 【分析】首先将前三项分解因式进而利用十字相乘法分解因式得出即可． 【解答】解：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2 ＝（x﹣5y）（x+2y）+x+9y﹣2 ＝（x﹣5y+2）（x+2y﹣1）． 22．因式分解：． 【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 23．因式分解：． 【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【题型6 十字相乘法分解因式】 24．【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3． Ⅰ．次项系数2＝1×2． Ⅱ．常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和” ①1×3+2×（﹣1）＝1，②1×（﹣1）+2×3＝5， ③1×（﹣3）+2×1＝﹣1，④1×1+2×（﹣3）＝﹣5． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数﹣1， 即（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3， 则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）x2﹣5x+6； （2）3x2+2x﹣8． 【分析】（1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣2）（x﹣3）； （2）3x2+2x﹣8 ＝（3x﹣4）（x+2）． 25．阅读下列材料： 将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项：⇒7x﹣5x＝2x． ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）x2+5x+4； （2）x2﹣6x﹣7； （3）x2﹣6x+8； （4）2x2+x﹣6． 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； （4）根据十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝（x+1）（x+4）， （2）原式＝（x+1）（x﹣7）， （3）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）， （4）2x2+x﹣6＝（2x﹣3）（x+2）． 【题型7 因式分解的应用】 26．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab﹣ac+b2﹣bc＝（ab﹣ac）+（b2﹣bc）＝a（b﹣c）+b（b﹣c）＝　 　 ． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①m2+5n﹣mn﹣5m＝　 　 ． ②x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）①②利用分组分解法进行因式分解即可． （3）将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即可． 【解答】解：（1）ab﹣ac+b2﹣bc＝（ab﹣ac）+（b2﹣bc）＝a（b﹣c）+b（b﹣c）＝（a+b）（b﹣c）； 故答案为：（a+b）（b﹣c）； （2）①m2+5n﹣mn﹣5m ＝（m2﹣mn）﹣（5m﹣5n） ＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n） ＝（m﹣n）（m﹣5）； 故答案为：（m﹣n）（m﹣5）； ②x2﹣2x+1﹣y2 ＝（x﹣1）2﹣y2 ＝（x﹣y﹣1）（x+y﹣1）， 故答案为：（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）； （3）由题意得a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0， ∴a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 27．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件． ①用配方法分解因式：a2+8a+15 解：原式＝a2+8a+16﹣1＝（a+4）2﹣1＝（a+4+1）（a+4﹣1）＝（a+5）（a+3） ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数．即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣6x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2+12x+48变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+12x+48的最小值； （3）若M＝6a2+10a+7，N＝5a2+6a（为任意实数），试比较M与N的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）把48拆成36+12，再利用完全平方公式变形为（x+m）2+n的形式，求出答案即可； （3）求出M﹣N的值，并变形为（a+m）2+n的形式，进行判断即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 故答案为：9，3； （2）x2+12x+48 ＝x2+12x+36+12 ＝（x+6）2+12， ∵（x+6）2≥0， ∴x2+12x+48的最小值为12； （3）M＞N，理由如下： ∵M＝6a2+10a+7，N＝5a2+6a， ∴M﹣N ＝6a2+10a+7﹣（5a2+6a） ＝6a2+10a+7﹣5a2﹣6a ＝a2+4a+7 ＝（a2+4a+4）+3 ＝（a+2）2+3＞0， ∴M＞N． 28．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4； （3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解； （3）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+9﹣9+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）设A＝x﹣y， （x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4 ＝A2﹣4A+4 ＝（A﹣2）2 ∴（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4＝（x﹣y﹣2）2； （3）△ABC是等腰三角形．理由如下： a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9+c2﹣4c+4＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0， 得，a＝2，b＝3，c＝2． ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 29．仔细阅读材料，回答下列问题：数学兴趣小组在计算多项式乘法时，（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，发现中间多项都可以消掉，进而得到（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），再进行深入研究后发现，如果将b3转化为（﹣b）3，就会得到a3﹣b3＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]，整理得a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． （1）请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：x3+8＝　 　 ； ②填空：（3m﹣2）（　 　 ）＝27m3﹣8； ③计算：（x+1）（x﹣1）（x2+x+1）（x2﹣x+1）＝ 　 ； （2）若x﹣y＝3，求x3﹣y3﹣9xy的值； （3）若a2+b2＝15，ab＝5，求a3+b3的值． 【分析】（1）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （2）先利用立方差公式进行因式分解，再把x﹣y＝3整体代入，再利用提公因式法和完全平方公式法进行因式分解，求值即可； （3）利用立方和公式进行因式分解后，整体代入法求值即可． 【解答】解：（1）①x3+8＝（x+2）（x2﹣2x+4）； 故答案为：（x+2）（x2﹣2x+4） ②（3m﹣2）（9m2+6m+4）＝27m3﹣8； 故答案为：9m2+6m+4； ③（x+1）（x﹣1）（x2+x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x2﹣x+1）（x﹣1）（x2+x+1）＝（x3+1）（x3﹣1）＝（x3）2﹣1＝x6﹣1； 故答案为：x6﹣1； （2）由条件可知x3﹣y3﹣9xy＝（x﹣y）（x2+xy+y2）﹣9xy ＝3（x2+xy+y2）﹣9xy ＝3x2+3xy+3y2﹣9xy ＝3x2﹣6xy+3y2 ＝3（x2﹣2xy+y2） ＝3（x﹣y）2 ＝3×32＝27； （3）由条件可知（a+b）2＝a2+b2+2ab＝15+10＝25， ∴a+b＝±5， ∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）， ∴当a+b＝5时，a3+b3＝5×（15﹣5）＝50； 当a+b＝﹣5时，a3+b3＝﹣5×（15﹣5）＝﹣50； 故a3+b3的值为±50． 30．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论：①a12＝96；②a1+a2+…+a8是8的倍数；③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7；④m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n﹣1都是“和谐数”，则7m﹣5n﹣3也是“和谐数”．则上述结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据“和谐数”的定义，观察规律，即可得到a12的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn整理为（m﹣n）2﹣49，由“和谐数”的定义即可得出m﹣n的值； ④92﹣（m﹣n）2是“和谐数”，由②知“和谐数”都是8的倍数，m﹣n＝7，m+n＝8k+1，求出7m﹣5n﹣3＝8k+40是8的倍数． 【解答】解：①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1， 即an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，∴a12＝（2×12+1）2﹣（2×12﹣1）2＝96 故①正确；②根据①找出的规律知：an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， ∴a1+a2+…+a8＝8×1+8×2+…+8×8 ＝8×（1+2+…+8）＝8×36：∴a1+a2+…+a8是8的倍数；故②正确； ③（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝m2﹣49+n2﹣2mn ＝（m﹣n）2﹣49 ＝（m﹣n）2﹣72 由“和谐数”的定义得m﹣n可为9，故③错误； ④∵92﹣（m﹣n）2是“和谐数”， ∴m﹣n＝7， ∵m+n﹣1是“和谐数”， ∴m+n﹣1＝8k，即m+n＝8k+1， ∴m＝4k+4，n＝4k﹣3， ∴7m﹣5n﹣3＝28k+28﹣20k+15﹣3＝8k+40是“和谐数” 故④正确． 故选：C． 31．定义：若一个整数能表示成a2+2b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：9＝12+2×22，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（　　） A．41是奇妙数 B．a2+4ab+5b2（a，b是整数）一定是奇妙数 C．如果数m，n都是“奇妙数”（m≠n），则（m+n）2+2（m﹣n）2也是“奇妙数” D．当k＝3时，x2+2y2﹣2x+4y+k（x，y是整数）是“奇妙数” 【分析】按照“奇妙数”的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．41＝32+2×42，所以41是“奇妙数”，该选项正确，不符合题意； B．a2+4ab+5b2＝b2+（a+2b）2，该多项式不是“奇妙数”，该选项错误，符合题意； C．由条件可知m，n都是整数，则m+n，m﹣n也为整数， ∴（m+n）2+2（m﹣n）2满足a2+2b2（a，b是整数）的形式，为“奇妙数”，该选项正确，不符合题意； D．当k＝3时， x2+2y2﹣2x+4y+k ＝x2+2y2﹣2x+4y+3 ＝x2﹣2x+1+2y2+4y+2 ＝（x﹣1）2+2（y+1）2， 满足a2+2b2（a，b是整数）的形式，为“奇妙数”，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 32．我们定义：如果两个多项式M与N，若M﹣N为常数，则称M是N的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如M＝3x2+2x+1是N＝3x2+2x+6的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为﹣5． （1）下列各组多项式，M是N的“恒定多项式”的是　 （填序号）； ①M＝x﹣6，N＝x+1； ②M＝2x2﹣3x，N＝2x2﹣3； ③M＝3xy4﹣x2y，N＝xy（3y3﹣x）﹣1． （2）关于x的多项式A＝（x﹣2a）2+b是多项式B＝bx2﹣（a2+b）x+16a（a，b为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； （3）关于x的多项式C＝mx2+3x+2是D＝m（x+1）（x+n）的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+t的最小值． 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得1﹣b＝0，a2+b﹣4a＝0，即可求解； （3）先求得C﹣D＝（3﹣mn﹣m）x+（2﹣mn），再根据新定义可得mn＝﹣m+3，然后结合它们的“恒定值”为t，可得a﹣c＝m+mn＝3，结合完全平方公式可得 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+t＝m2﹣2m+8＝（m﹣1）2+7，即可解答． 【解答】解：（1）①M﹣N＝x﹣6﹣（x+1）＝﹣7， ②M﹣N＝2x2﹣3x﹣（2x2﹣3）＝﹣3x+3，不是常数； ③M﹣N＝3xy4﹣x2y﹣[xy（3y3﹣x）﹣1]＝3xy4﹣x2y﹣3xy4+x2y+1＝1为常数； 故答案为：①③； （2）∵A＝（x﹣2a）2+b＝x2﹣4ax+4a2+b，B＝bx2﹣（a2+b）x+16a， ∴A﹣B＝（1﹣b）x2+（a2+b﹣4a）x+4a2+b﹣16a， ∵A是B的“恒定多项式”， ∴1﹣b＝0，a2+b﹣4a＝0， ∴b＝1，a2﹣4a＝﹣1， ∴它们的“恒定值”为4a2+b﹣16a＝4（a2﹣4a）+b＝﹣4+1＝﹣3． （3）关于x的多项式C＝mx2+3x+2是D＝m（x+1）（x+n）的“恒定多项式”， ∵C＝mx2+3x+2，D＝m（x+1）（x+n）＝mx2+（mn+m）x+mn， ∴C﹣D＝（3﹣mn﹣m）x+（2﹣mn）， ∵C是D的“恒定多项式”， ∴3﹣mn﹣m＝0， ∴mn＝﹣m+3， 又它们的“恒定值”为t， ∴t＝2﹣mn＝2﹣（﹣m+3）＝m﹣1， ∵a﹣b＝m，b﹣c＝mn， ∴a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）＝m+mn＝3， ∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac， ∴原式 ＝m2﹣2m+8＝（m﹣1）2+7， ∵（m﹣1）2≥0， ∴m2﹣2m+8≥7，当且仅当m＝1，n＝2，t＝0时等号成立． ∴代数式最小值为7． 33．定义：若多项式有一个大于1的整数因子，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当m，n为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有　 　 ． ①（2m）2；②16m﹣32mn；③m2+8m+16；④（3m+2）2﹣（m+2）2． （2）若关于x的多项式2x2+ax﹣27是（x﹣a）的完美多项式，求a的值． （3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+11＜ab+6b，且n＝b﹣a﹣1，若关于x的多项式x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2（t为常数）是（x﹣n）的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为2t+4，求n，t的值． 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设2x2+ax﹣27＝（x﹣a）（2x+b），则2x2+ax﹣27＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab得到，求解即可； （3）由a2+b2+11＜ab+6b得到，得到当b＝4时，a＝2，得到n＝1，根据新定义得到x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2＝（x﹣1）（x2+2tx﹣2t），则此完美多项式的另一个因式为x2+2tx﹣2t，根据x2+2tx﹣2t＝（x+t）2﹣t2﹣2t且最小值为2t+4，得到t2﹣2t＝2t+4，求解即可． 【解答】解：（1）①（2m）2＝4m2，是一个单项式，故①不符合题意； ②16m﹣32mn＝16m（1﹣2n），该式有因子16，是16的半完美多项式，故②符合题意； ③m2+8m+16＝（m+4）2，没有等于16的因子，故③不符合题意； ④（3m+2）2﹣（m+2）2＝8m（m+1）， 因为m，n为整数，所以m与m+1中必有一个为偶数，则 m（m+1）是2的倍数， 所以 8m（m+1）是16的倍数，是16的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）设2x2+ax﹣27＝（x﹣a）（2x+b）， ∴2x2+ax﹣27＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab， ∴， ∴a＝±3； （3）∵a2+b2+11＜ab+6b， ∴， ∵a，b为正整数， ∴当b＝4时，a＝2， 当b取其它值时，与题意不符，舍去； ∴n＝b﹣a﹣1＝1， ∵x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2是（x﹣n） 的完美多项式， ∴x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2 ＝x3﹣nx2+2tx2﹣4tnx+2tn2 ＝x2（x﹣n）+2t（x﹣n）2 ＝（x﹣n）（x2+2tx﹣2tn） ＝（x﹣1）（x2+2tx﹣2t）， ∴此完美多项式的另一个因式为x2+2tx﹣2t， ∵x2+2tx﹣2t＝（x+t）2﹣t2﹣2t且最小值为2t+4， ∴﹣t2﹣2t＝2t+4， ∴t＝﹣2． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 因式分解 【知识点1 因式分解】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【知识点2 用提公因式法分解因式】 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【知识点3 用平方差公式分解因式】 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【知识点4 用完全平方公式分解因式】 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 因式分解的定义】 1．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1 C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m﹣2）（m+2）+m B．n（a+b）＝na+nb C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 D．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2 3．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（a+1）＝a2+a B．2a2+6a+1＝2a（a+3）+1 C．a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3） D． 【题型2 提公因式法分解因式】 4．分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）． 5．把下列各式因式分解： （1）（x﹣y）2+（y﹣x）3； （2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）． 6．分解因式： （1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． 7．因式分解 （1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）． 8．把下列各式分解因式： （1）﹣8a3b2+6ab3c； （2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）． 【题型3 公式法分解因式】 9．因式分解：81a4﹣16． 10．分解因式：（5m2﹣2n2）2﹣（2m2﹣5n2）2． 11．因式分解 （1）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2； （2）x4﹣8x2y2+16y4． 12．因式分解 （1）（m2+4）2﹣16m2 （2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81 13．将下列多项式进行因式分解： （1）81（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （2）． 【题型4 提公因式法与公式法综合分解因式】 14．分解因式：x4（m﹣2）+（2﹣m）y4． 15．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）． 16．分解因式： （1）a3﹣4a2b+4ab2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 17．因式分解： （1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）； （2）﹣a3+2a2b﹣ab2． 18．因式分解： （1）﹣x3﹣2x2﹣x； （2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）． 【题型5 分组分解法分解因式】 19．分解因式：2x2y﹣6xy+2x2﹣6x． 20．因式分解：4y2+25x2﹣1﹣4y4． 21．分解因式：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2． 22．因式分解：． 23．因式分解：． 【题型6 十字相乘法分解因式】 24．【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3． Ⅰ．次项系数2＝1×2． Ⅱ．常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和” ①1×3+2×（﹣1）＝1，②1×（﹣1）+2×3＝5， ③1×（﹣3）+2×1＝﹣1，④1×1+2×（﹣3）＝﹣5． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数﹣1， 即（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3， 则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）x2﹣5x+6； （2）3x2+2x﹣8． 25．阅读下列材料： 将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项：⇒7x﹣5x＝2x． ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）x2+5x+4； （2）x2﹣6x﹣7； （3）x2﹣6x+8； （4）2x2+x﹣6． 【题型7 因式分解的应用】 26．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab﹣ac+b2﹣bc＝（ab﹣ac）+（b2﹣bc）＝a（b﹣c）+b（b﹣c）＝　 　 ． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①m2+5n﹣mn﹣5m＝　 　 ． ②x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 27．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件． ①用配方法分解因式：a2+8a+15 解：原式＝a2+8a+16﹣1＝（a+4）2﹣1＝（a+4+1）（a+4﹣1）＝（a+5）（a+3） ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数．即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣6x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2+12x+48变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+12x+48的最小值； （3）若M＝6a2+10a+7，N＝5a2+6a（为任意实数），试比较M与N的大小，并说明理由． 28．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4； （3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由． 29．仔细阅读材料，回答下列问题：数学兴趣小组在计算多项式乘法时，（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，发现中间多项都可以消掉，进而得到（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），再进行深入研究后发现，如果将b3转化为（﹣b）3，就会得到a3﹣b3＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]，整理得a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． （1）请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：x3+8＝　 　 ； ②填空：（3m﹣2）（　 　 ）＝27m3﹣8； ③计算：（x+1）（x﹣1）（x2+x+1）（x2﹣x+1）＝ 　 ； （2）若x﹣y＝3，求x3﹣y3﹣9xy的值； （3）若a2+b2＝15，ab＝5，求a3+b3的值． 30．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论：①a12＝96；②a1+a2+…+a8是8的倍数；③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7；④m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n﹣1都是“和谐数”，则7m﹣5n﹣3也是“和谐数”．则上述结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 31．定义：若一个整数能表示成a2+2b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：9＝12+2×22，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（　　） A．41是奇妙数 B．a2+4ab+5b2（a，b是整数）一定是奇妙数 C．如果数m，n都是“奇妙数”（m≠n），则（m+n）2+2（m﹣n）2也是“奇妙数” D．当k＝3时，x2+2y2﹣2x+4y+k（x，y是整数）是“奇妙数” 32．我们定义：如果两个多项式M与N，若M﹣N为常数，则称M是N的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如M＝3x2+2x+1是N＝3x2+2x+6的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为﹣5． （1）下列各组多项式，M是N的“恒定多项式”的是　 （填序号）； ①M＝x﹣6，N＝x+1； ②M＝2x2﹣3x，N＝2x2﹣3； ③M＝3xy4﹣x2y，N＝xy（3y3﹣x）﹣1． （2）关于x的多项式A＝（x﹣2a）2+b是多项式B＝bx2﹣（a2+b）x+16a（a，b为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； （3）关于x的多项式C＝mx2+3x+2是D＝m（x+1）（x+n）的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+t的最小值． 33．定义：若多项式有一个大于1的整数因子，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当m，n为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有　 　 ． ①（2m）2；②16m﹣32mn；③m2+8m+16；④（3m+2）2﹣（m+2）2． （2）若关于x的多项式2x2+ax﹣27是（x﹣a）的完美多项式，求a的值． （3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+11＜ab+6b，且n＝b﹣a﹣1，若关于x的多项式x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2（t为常数）是（x﹣n）的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为2t+4，求n，t的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $