5.1分式及分式的基本性质课件2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

北师版-数学-八年级下册 第五章 分式与分式方程 1　分式及其基本性质 第1课时　分式的有关概念 1 导入新课 1．下列式子中，整式有____个． 4 a，－3x2y3，4x＋2，x2＋xy＋y2，，， 2．(1)面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30hm2，结果提前完成原计划的任务． 如果设原计划每月固沙造林x hm2，那么 ①原计划完成造林任务需要_______个月； ②实际完成造林任务用了________个月； (2)2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后b天日均参观人数45万人，这(a＋b)天日均参观人数为____________万人． (3)文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x元销售．当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是_______． 探究新知 探究1 【分式的概念】 思考 (1) ，；　(2) ；　(3) . 思考 对于前面出现的代数式，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式．如果B中含有字母，那么称为分式．其中A称为分式的分子，B称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 探究2 【分式与分数的联系与区别】 形式：与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成的． 内容：分数的分子、分母都是整数，分式的分子、分母都是整式． 要求：分式的分母中必须含有字母；分子中可以含字母，也可以不含字母． 应用举例 例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ x－4，，，，(x＋y)，，，. 【方法指导】分母中含有字母的式子，如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)是分式． 解：整式有x－4，(x＋y)，，， 分式有，，，. 8 【方法指导】(1)代入a值求分式的值； (2)当分母的值不等于0时，分式有意义． 例2 (1)当a＝1，2，－1时，分别求分式的值； (2)当a取何值时，分式有意义？ 解：(1)当a＝1时，＝＝2； 当a＝2时，＝＝1； 当a＝－1时，＝＝0； (2)∵当分母2a－1≠0时，分式有意义，∴a ≠ . 例3 当x取何值时，下列分式的值为0? (1) ；　　　(2) . 【方法指导】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，若它使分母的值不等于0，则这个值就是要求的字母的值． 解：(1)由 (2)由 －16=0， ≠ 0， 所以，当x＝4时，分式的值为0； 得x＝4， 所以，当x＝－1时，分式的值为0. －1=0， ≠ 0， 得x＝－1， 跟踪训练 C C 1 下列判断正确的是 ( ) A．是分式 B．分式的分子中一定含有字母 C．分母中含有字母的式子是分式 D．分数一定是分式 2 下列式子中是分式的是( ) A． B． C． D． 3 若分式有意义，则x的取值范围是_______． 4 代数式有意义时，x应满足的条件为________． 5 若分式的值为零，则x的值为 ( ) A．0 B．2 C．－2 D．±2 6 若分式的值等于0，则x的值是_____． x≠7 x≠±4 D 1 x≠7x≠7 14 7 若＝，则＝____． 8 若＝，则＝____． －7 1．下列各式中，取值可能为零的是 ( ) A． B． C． D． 2．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是( ) A． B． C． D． 随堂练习 B D 3．当x______时，分式无意义． 4．当x________时，分式的值为零． ＝－1 ＝ 课堂小结 分式 定义 值为零的条件 有意义的条件 分式有意义的条件是 g ≠0. 分式值为零的条件是 f=0且g ≠0. 概念：一个整式 f 除以一个非零整式g（g中含字母）所得的商. 课本P131习题5.1中的T1、T2、T3、T4. 课后作业 19 $ 5.1 分式及其基本性质 第2课时 分式的基本性质 1.类比分数的基本性质，理解并掌握分式的基本性质. 2.会运用分式的基本性质进行分式的约分． 学习目标 回顾 分数的基本性质？ 分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变. 分数的基本性质符号表示： 一般地，对于任意一个分数 有 ，其中a，b，c(c≠0)是整数. 类比分数的基本性质，分式是否也具有类似的性质呢？接下来就让我们一起探索分式的基本性质吧！ 新课引入 思考 我们知道 ，你认为分式 与 相等吗？ 分式 与 相等，在分式 中，a≠0， 所以 你能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质吗？ 新知学习 归纳总结 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为： 注意：(1)分子和分母要同时做乘法(或除法)运算； (2)乘(或除以)的对象必须是同一个不等于零的整式； (3)运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式． 新知学习 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的? 解：因为y≠0， 所以 解：因为x≠0， 所以 为什么x≠0? 等号左侧的分式本身就隐含着分母不为零的条件. 新知学习 例2 填空： (1) (2) a 2ab-b2 ÷x ÷x ÷3x ÷3x ×a ×a ×b ×b 新知学习 例3 化简下列各式： (1) 联想分数的约分，你能想出如何对分数进行约分吗！ 约去分子和分母的公因式ab 利用分式的基本性质 如果分子、分母都是单项式，直接约去它们的公因式，即分子、分母系数的最大公因数和分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积. 新知学习 若分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再确定公因式并约去. 分式的分子、分母都是多项式，如何化简呢？ 归纳总结 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 新知学习 操作·交流 (1)化简分式： (2)在化简 时，小宇和小丽的做法分别如下： 小宇 小丽 对于两人的做法，你有什么看法？ 分子和分母已没有公因式. 还可以继续化简. 新知学习 归纳总结 分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式. 注意：(1)判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解. (2)化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式. 新知学习 例4 求下列各式的值： ，其中x=100. 把x=100代入 ，得 新知学习 例4 求下列各式的值： ，其中x=-6，y=28. 把x=-6，y=28代入 ，得 新知学习 (1) 有什么关系？ 观察·思考 “两个负号都去掉” 新知学习 (2) 有什么关系？ “一个负号任你放” 新知学习 例5 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高项的系数是正数． 新知学习 分式的符号准则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 归纳总结 注意：1.当分式的分子、分母是多项式时，若分子、分母的首项系数是负数，应先提取“－”号并添加括号，再利用分式的基本性质化成题目要求的结果； 2.变形时注意不要把分子、分母的第一项的符号误认为是分子、分母的符号． 新知学习 1.将 中的a，b都变为原来的3倍，则分式的值( ) A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C.扩大为原来的9倍 D. 缩小到原来的 A 2.小丽在化简分式 时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是( ) A. x2－2x+1 B. x2 + 2x + 1 C. x2－1 D. x2－2x－1 A 随堂练习 3.下列各式成立的是( ) A. B. C. D. D 4.(2024济宁)已知a2－2b+1=0，则 的值是 . 分析：本题利用了“整体代入思想”解题，先等式变形为a2+1=2b，再整体代入所求分式进行求值. 2 随堂练习 5.分式 中，最简分式有 . ④ 6.化简下列分式： 随堂练习 7.已知a＞0，b＞0，且 ，求证：a＝b． 证明：等式的两边都乘(4a+b)(a+4b)，得a(a+4b)＝b(4a+b)， a2+4ab＝4ab+b2， a2+4ab－4ab－b2＝0， a2－b2＝0， (a+b)(a－b)＝0， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b≠0， ∴a－b＝0，即a＝b． 随堂练习 分式的 基本性质 分式的符号法则 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变. 其中A，B，C (C ≠ 0 ) 是整式. 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 最简分式 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 分子和分母已没有公因式，这样的分式 称为最简分式. 课堂小结 $