三角函数（2）期末复习专题卷-江苏省南京市第十三中学2025-2026学年高一上学期数学

2025级高一第一学期数学期末复习专题卷3 三角函数2 命题：李进 做题：胡志强 班级________姓名________学号________ 一、单项选择题 1．下列函数中最小正周期为π，且在区间(0，)上单调递减的是(    ) A．y＝sinx B．y＝|sinx| C．y＝tanx D．y＝|cosx| 【答案】D 【解析】依题意，对于AC，最小正周期为:T＝＝2π≠π， 所以AC选项不符合题意； 对于B:y＝|sinx|的图象可由y＝sinx的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为:T＝π， 且在(0，)上单调递增，所以B选项不符合题意； 对于D:y＝|cosx|的图象可由y＝cosx的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为:T＝π， 且在(0，)上单调递减，所以D选项符合题意；故选:D. 2．已知曲线C1：y＝sinx和曲线C2：y＝sin(2x－)，则下列结论中正确的是( ) A. 把C1上各点横坐标伸长2倍、纵坐标不变，再向右平移个单位长度，即得C2 B. 把C1上各点横坐标伸长2倍、纵坐标不变，再向右平移个单位长度，即得C2 C. 把C1上各点横坐标缩短、纵坐标不变，再向右平移3 (π)个单位长度，即得C2 D. 把C1上各点横坐标缩短、纵坐标不变，再向右平移个单位长度，即得C2 【答案】C 3． 如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边､OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是( ) A．， B．2， C．，π D．2，π 【答案】A 【解析】当t＝0时，θ＝sin＝， 又易知单摆的周期为T＝＝π，故单摆的频率为． 4． 函数y＝(2x－2－x)sinx在[－π，π]上的图象大致为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由该函数为偶函数排除选项B，由f(0)＝0排除选项C，由f()＞0排除选项D. 5．已知奇函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜2π)满足f(＋x)＝f(－x)，则ω的取值可能是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由f(x)为奇函数，得φ＝kπ，k∈Z，又f(＋x)＝f(－x)， 知x＝为对称轴，∴·ω＋φ＝nπ＋，n∈Z． 则ω＝4(n－k)＋2，k，n均为整数，因此ω的可能取值为2． 二、多项选择题 6．函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)满足( ) A．在(，)上单调递增 B．当x＝时有最小值－1 C．f()＝ D．图象关于直线x＝对称 【答案】AB 【解析】∵函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π， ∴＝π，即ω＝2，∴f(x)＝cos(2x＋)． 对于A，当x∈(，)时，2x＋∈(，)， ∵(，)⊆(π，2π)， ∴f(x)在(，)上单调递增，故A正确； ∵f()＝cos(2×＋)＝cos π＝－1，故B正确； ∵f()＝cos(＋)＝cos＝－，故C错误； 又f()＝cos(2×＋)＝cos＝0≠±1，故D错误． 7．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列选项正确的有( ) A． 函数f(x)的最小正周期为π B．f ()是函数f(x)的最小值 C． 函数f(x)在区间[0，]上的值域为[－，] D． 把函数y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象 【答案】ABD 三、 填空题 8．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表: ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 2 0 0 请将如表数据补充完整；函数f(x)的解析式为f(x)＝____________． 【答案】2sin(2x＋) 【解析】把表格填完整: ωx＋φ 0 π 2π x － y＝Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 根据表格可得A＝2，·＝－，所以ω＝2． 根据五点法作图得2·＋φ＝，所以φ＝， 所以函数的解析式f(x)＝2sin(2x＋)． 9．函数y＝tan(x＋)的定义域为____________，增区间为____________． 【答案】 {x|x≠＋kπ，k∈Z }，(kπ－，kπ＋)， k∈Z 10．函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈[，]的值域为____________． 【答案】[－，0] 【解析】因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，x∈[，π]， 所以≤sin x≤1． 当sin x＝1，即x＝时，ymax＝0． 当sin x＝，即x＝时，ymin＝－． 11．如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min时他距离地面的高度为____________m. 【答案】85 【解析】因为摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m， 设在tmin时，距离地面的高度为h＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0)，其中－π＜φ＜π， 则，可得，则h＝60＋50sin(ωt＋φ)， 由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈，可得＝15，所以ω＝， 即h＝60＋50sin(·t＋φ)， 当t＝0时，可得60＋50sinφ＝10，即sinφ＝－1， 因为－π＜φ＜π，解得φ＝－， 所以h＝60＋50sin(·t－)＝60－50cos(·t)， 令t＝5，可得h＝60－50cos(×5)＝60＋25＝85. 所以，游客进舱5min时他距离地面的高度为85m. 故答案为：85. 12． 记函数f(x)＝sin(ωx＋)＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且它的图象关于点(，2)中心对称，则f()的值为____________． 【答案】1 13．已知函数f(x)＝sin2x＋asinx＋ 在区间[0，π]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是____________． 【答案】－＜a＜－1 四、解答题 14．已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋． (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 解 (1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)， 则x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(－，)(k∈Z)． (3)当sin(2x＋)＝－1， 则2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}． 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的两条相邻对称轴之间的距离为，最小值为－2，且过点(，0)． (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝m(m∈R)在区间[0，]上有唯一解，求实数m的取值范围． [【解析】(1) 由题意得A＝2，＝，故T＝π＝，即ω＝2， 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)． 当x＝时，y＝0，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z． 由|φ|＜)，得φ＝， 所以f(x)＝2sin　 (2)由题意，g(x)＝2sin x∈[0，]，2x＋∈[，]，如图所示， g(x)＝m(m∈R)在区间[0，]上有唯一解，即函数y＝sinx与函数y＝m的图像有一个交点. 则m的取值范围是[－，)∪{1}. 16． 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位:小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24． y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ω t＋b的最小正周期T､振幅A以及函数的表达式； (2)根据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪爱好者开放，根据(1)的结论判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动? 解 (1)由题意得，T＝12， ∴ω＝＝． 当t＝0时，Acos 0＋b＝，即A＋b＝； 当t＝3时，Acos ＋b＝1，即b＝1， ∴A＝，b＝1， ∴y＝cos t＋1． (2)由题意知，当y＞1时，才对冲浪者开放， ∴cos t＋1＞1， ∴cos t＞0， ∴2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z， 即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z． ∵0≤t≤24， ∴令k＝0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24． 故在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时的时间供冲浪者进行运动，即上午9:00至下午15:00． 2025级高一第一学期数学期末复习专题卷3 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一第一学期数学期末复习专题卷3 三角函数2 命题：李进 做题：胡志强 班级________姓名________学号________ 一、单项选择题 1．下列函数中最小正周期为π，且在区间(0，)上单调递减的是(    ) A．y＝sinx B．y＝|sinx| C．y＝tanx D．y＝|cosx| 2．已知曲线C1：y＝sinx和曲线C2：y＝sin(2x－)，则下列结论中正确的是( ) A. 把C1上各点横坐标伸长2倍、纵坐标不变，再向右平移个单位长度，即得C2 B. 把C1上各点横坐标伸长2倍、纵坐标不变，再向右平移个单位长度，即得C2 C. 把C1上各点横坐标缩短、纵坐标不变，再向右平移3 (π)个单位长度，即得C2 D. 把C1上各点横坐标缩短、纵坐标不变，再向右平移个单位长度，即得C2 3． 如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边､OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是( ) A．， B．2， C．，π D．2，π 4． 函数y＝(2x－2－x)sinx在[－π，π]上的图象大致为( ) A． B． C． D． 5．已知奇函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜2π)满足f(＋x)＝f(－x)，则ω的取值可能是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题 6．函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)满足( ) A．在(，)上单调递增 B．当x＝时有最小值－1 C．f()＝ D．图象关于直线x＝对称 7．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列选项正确的有( ) A． 函数f(x)的最小正周期为π B．f ()是函数f(x)的最小值 C． 函数f(x)在区间[0，]上的值域为[－，] D． 把函数y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象 三、 填空题 8．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表: ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 2 0 0 请将如表数据补充完整；函数f(x)的解析式为f(x)＝____________． 9．函数y＝tan(x＋)的定义域为____________，增区间为____________． 10．函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈[，]的值域为____________． 11．如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min时他距离地面的高度为____________m. 12． 记函数f(x)＝sin(ωx＋)＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且它的图象关于点(，2)中心对称，则f()的值为____________． 13．已知函数f(x)＝sin2x＋asinx＋ 在区间[0，π]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是____________． 四、解答题 14．已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋． (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的两条相邻对称轴之间的距离为，最小值为－2，且过点(，0)． (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝m(m∈R)在区间[0，]上有唯一解，求实数m的取值范围． 16． 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位:小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24． y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ω t＋b的最小正周期T､振幅A以及函数的表达式； (2)根据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪爱好者开放，根据(1)的结论判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动? 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