精品解析：甘肃省临夏回族自治州和政县第五中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期第三阶段创新作业 八年级数学（人教版） 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙三个三角形中，一定和全等的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不存在 7. 如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：______． 10. 写出一个同时满足下列条件的分式：______． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 11. 的乘积中不含的二次项，则的值_____． 12. 关于x的分式方程无解，则m的值为________． 13. 如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________． 14. 如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，边的垂直平分线交于点E，F，若的面积为，直线上有一动点P，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19 如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． （1）作线段的垂直平分线交于点； （2）作的角平分线交于点； （3）的周长是 ． 20. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 21. 如图，一点在的边上，若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出关于y轴对称的； （3）求的面积． 23. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以海里/时的速度向正北航行，上午时到达海岛B处．分别从望灯塔C，测得． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，则什么时间船与灯塔C的距离最小？ 24. 如图，和谐广场有一块长为米、宽为米长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有，式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化的总面积． 25. 阅读以下材料： 材料1：如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： （1）材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是______； （2）计算：； （3）根据材料2进行因式分解：． 26. 如图1，是等边三角形，D是边上的任意一点． （1）如图2，当D是边上的中点时，与的位置关系是______； （2）如图3，E为射线上任意一点，连接，以为边作等边三角形，其中点E，F在直线同侧，射线交射线于点G． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当D是边上的中点时，在中，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第三阶段创新作业 八年级数学（人教版） 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．逐一分析各选项的运算是否正确，依据代数运算法则判断． 【详解】解：A. ，原式计算错误，故A不符合题意； B. ，原式计算错误，故B不符合题意； C. ，原式计算错误，故C不符合题意； D. ，原式计算正确，故D符合题意． 故选：D． 5. 乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故选C． 6. 如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙三个三角形中，一定和全等的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：甲图中有两条边以及其中一条边的对角对应相等，无法证明全等； 乙图可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等； 故一定和全等的是乙图， 故选：B． 7. 如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的关键；过点D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，从而得到，再根据高相等的两三角形，底边比等于面积比可得，进而求出，再根据中线的性质求出，即可得解； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 写出一个同时满足下列条件的分式：______． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的意义．根据分母为零时分式无意义和分式的值为零的条件进行作答． 【详解】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 11. 的乘积中不含的二次项，则的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式的乘法法则展开，再合并同类项，由乘积中不含的二次项，则的系数为0，由此求解即可． 【详解】解： ， 乘积中不含的二次项， ， 即， 故答案为：． 12. 关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， 故答案：4． 13. 如图，在中，于点E，点D在延长线上，，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 14. 如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，边的垂直平分线交于点E，F，若的面积为，直线上有一动点P，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质得到，进而得到，三线合一，求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线交于点E，F， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，以及合并同类项法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 17 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程化为整式方程，求解后，验根即可． 详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 为原分式方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算法则化简，再把代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． （1）作线段的垂直平分线交于点； （2）作的角平分线交于点； （3）的周长是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）11 【解析】 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可； （2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可； （3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线，点E即为所求． 【小问2详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问3详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为． 故答案为：11 20. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元． 21. 如图，一点在的边上，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及平行线的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．先由得到，再判定，最后由全等三角形性质，数形结合表示，代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 则． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出关于y轴对称的； （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念； （1）描出关于x轴对称的，连线即可； （2）描出关于轴对称的，连线即可； （3）利用矩形面积减去三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：作图如上： 【小问3详解】 ． 23. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以海里/时的速度向正北航行，上午时到达海岛B处．分别从望灯塔C，测得． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，则什么时间船与灯塔C的距离最小？ 【答案】（1）从海岛B到灯塔C的距离为海里 （2）若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）过点作于点，根据垂线段最短求得，根据三角形内角和定理，得根据含角的直角三角形的性质，在中，，得海里，那么海里，从而解决此题． 【小问1详解】 由题意得∶(海里)， (海里)． 从海岛B到灯塔C的距离为海里． 【小问2详解】 如图，过点作于点． 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，． 又 在中，， ， ， 航行的时间为(时)． 若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短． 【点睛】本题主要考查解直角三角形方位角问题，等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 24. 如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化的总面积． 【答案】（1）平方米 （2）13200平方米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意， 绿化的总面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时，（平方米）， 绿化的总面积为13200平方米． 25. 阅读以下材料： 材料1：如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： （1）材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是______； （2）计算：； （3）根据材料2进行因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元． （1）原式利用图形面积即可求解； （2）原式中整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）原式添加辅助项利用完全平方公式分解，得，令利用平方差公式分解，再将还原即可． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 即； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式． 26. 如图1，是等边三角形，D是边上的任意一点． （1）如图2，当D是边上的中点时，与的位置关系是______； （2）如图3，E为射线上任意一点，连接，以为边作等边三角形，其中点E，F在直线同侧，射线交射线于点G． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当D是边上的中点时，在中，，求的度数． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可解答； （2）①根据等边三角形的性质得出，，，推得，根据全等三角形的判定与性质得出；②分点在的左侧和点在的右侧两种情况，分别等边三角形的性质得出，，，推得，根据全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，列出方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D是边上的中点． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①，理由如下： ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ②如图：当点在的左侧时， 设，则， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：； 如图：当点在的右侧时， 设，则， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 与中， ， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴，解得：． 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $