第十九章 二次根式（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

第十九章 二次根式 教学目标 1. 熟练掌握二次根式全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型。 教学重难点 1. 重点 （1）二次根式有意义的条件； （2）二次根式的性质； （3）二次根式的运算。 2. 难点 （1）含有多个二次根式以及在特殊位置时必须同时满足都有意义； （1）利用二次根式的性质及其逆运算进行化简； （2）二次根式的运算及其化简求值。 考点01 二次根式的概念 1. 二次根式的概念： 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 ①“”称为二次根号； ②a（a≥0）是一个非负数； 【题型1】判断式子是否是二次根式 1．在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点02 二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件： 二次根式中的被开方数是非负数。即中≥0。 注意： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数； （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零， 【题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围 3．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 4．已知实数a满足，则a﹣20242的值为（　　） A．2024 B．2025 C．20242 D．20252 【题型2】二次根式有意义的条件—分式中 5．若有意义，则x的取值范围为 　 ． 6．若代数式有意义，则x的取值范围是 　 ． 【题型3】二次根式有意义的条件—含多个二次根式 7．若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（　　） A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0 8．若，则代数式xy的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 9．已知实数x、y满足，求的立方根． 考点03 二次根式的性质与化简 1. 二次根式的基本性质： （1）≥0； a≥0（双重非负性）． （2）（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 2. 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。 【题型1】二次根式的双重非负性 10．已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 11．如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是 　 ． 12．若，则a+b3+c2的算术平方根（　　） A．4 B．16 C．±4 D．﹣4 【题型2】二次根式的化简 13．化简：　 　 ． 14．已知1≤a≤2，化简　 　 ． 【题型3】根据二次根式的性质求取值范围 15．若x2，则（　　） A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2 16．若，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【题型4】二次根式为整数 17．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 18．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．12 B．9 C．1 D．4 【题型5】二次根式的化简—二次根式与数轴 19．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A．﹣b B．b C．﹣2a+b D．2a﹣b 20．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 【题型6】二次根式的化简—二次根式与三角形的三边关系 21．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 22．已知a，b，c为三角形的三边，则a+b+c ． 【题型7】二次根式的化简—根号外的式子移到根号离 23．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 24．化简二次根式，结果是（　　） A． B． C． D． 【题型7】二次根式的化简—双重根号的化简 25．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 26．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y，x＝ ；y＝　 ； （2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值； （3）①填空： 　 ； ②化简：． 考点04 最简二次根式 1. 最简二次根式： 最简二次根式必须同时满足一下三个条件： （1） 被开方数不含开方开得尽的因数或因式； （2） 被开方数不含分母； （3） 分母中不含根号。 注意：若被开方数是式子时，能进行因式分解的要先因式分解然后再判断。 【题型1】判断最简二次根式 27．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 28．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 考点05 二次根式的乘除运算 2. 二次根式的乘法法则： · ＝ （a≥0，b≥0） 推广： 3. 积的算术平方根性质： ＝ · （a≥0，b≥0） 4. 二次根式的除法法则： ＝（a≥0，b＞0） 推广： 5. 商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b＞0） 【题型1】二次根式的乘除运算 29．． 30．计算：—． 31．计算． 32．计算：． 【题型2】积的算术平方根与商的算术平方根成立的条件 33．等式成立的x的取值范围是　 ． 34．若，则x的取值范围是　 　 ． 考点06 分母有理化 1. 分母有理化的概念： 分母有理化是指把分母中的根号化去。 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。 2. 有理化因式的概念： 两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。一个二次根式的有理化因式不止一个。 3. 常用的有理化因式 与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等。 例子： 【题型1】求分母的有理化因式 35．二次根式的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 36．下列式子中，与互为有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 37．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】判断二次根式的关系或比较大小 38．已知a，b，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5 39．已知a，b，那么a与b的关系为（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a是b的平方根 【题型3】利用分母有理化化简求值 40．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得 　 ，分母有理化得 　 ． （2）利用上述方法，化简． 41．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， … 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个式子： ； （2）请求出a1+a2+…+an； （3）请求出a21+a22+…+a45． 考点07 同类二次根式 1. 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。 即： 【题型1】判断同类二次根式 42．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 43．下列各组二次根式是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型2】根据同类二次根式的定义求值 44．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 45．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x+y＝　 　 ． 考点08 二次根式的加减法 1. 二次根式的加减法法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2. 二次根式的加减运算步骤： ①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号； ②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简； ③并——合并被开方数相同的二次根式。 【题型1】二次根式的加减运算 46．计算：． 47．计算：． 48．计算：． 49．计算：． 考点09 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用。学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。 2. 二次根式的运算结果要化为最简二次根式。 【题型1】二次根式的混合运算 50．计算： （1）； （2）． 51．计算： （1）； （2）． 52．计算：． 【题型2】二次根式的化简求值—二次根式与乘法公式 53．已知，求下列代数式的值． （1）a2﹣b2； （2）a2+b2+ab． 54．已知． （1）计算x+y＝ ；xy＝　 　 ； ． （2）求x2﹣4xy+y2的值． 【题型3】二次根式的化简求值—二次根式与分式 55．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 56．先化简，再求值：，其中． 【题型4】二次根式的实际应用 57．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 58．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 59．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式t（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从80m的高空落到地面的时间； （2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 教学目标 1. 熟练掌握二次根式全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型。 教学重难点 1. 重点 （1）二次根式有意义的条件； （2）二次根式的性质； （3）二次根式的运算。 2. 难点 （1）含有多个二次根式以及在特殊位置时必须同时满足都有意义； （1）利用二次根式的性质及其逆运算进行化简； （2）二次根式的运算及其化简求值。 考点01 二次根式的概念 1. 二次根式的概念： 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 ①“”称为二次根号； ②a（a≥0）是一个非负数； 【题型1】判断式子是否是二次根式 1．在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、是三次根式；故本选项符合题意； B、被开方数﹣10＜0，不是二次根式；故本选项不符合题意； C、被开方数a2+1＞0，符合二次根式的定义；故本选项符合题意； D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式是二次根式的有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解答】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 考点02 二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件： 二次根式中的被开方数是非负数。即中≥0。 注意： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数； （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零， 【题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围 3．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故选：C． 4．已知实数a满足，则a﹣20242的值为（　　） A．2024 B．2025 C．20242 D．20252 【答案】B 【解答】解：已知实数a满足， ∵要有意义， ∴a﹣2025≥0， ∴a≥2025， ∴2024﹣a＜0， ∴，即， ∴a﹣2025＝20242， ∴a﹣20242＝2025， 故选：B． 【题型2】二次根式有意义的条件—分式中 5．若有意义，则x的取值范围为x≥﹣7且x≠3　 ． 【答案】x≥﹣7且x≠3． 【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣7且x≠3． 故答案为：x≥﹣7且x≠3． 6．若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜3　 ． 【答案】x＜3． 【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是3﹣x＞0， 解得x＜3， 故答案为：x＜3． 【题型3】二次根式有意义的条件—含多个二次根式 7．若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（　　） A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0 【答案】C 【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0， 解得x＞0，y＜0． 故选：C． 8．若，则代数式xy的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，得 ， 解得x， ∴y＝﹣2； ∴xy4． 故选：A． 9．已知实数x、y满足，求的立方根． 【答案】． 【解答】解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0， ∴x2＝16， 解得x＝±4， 又∵分母中x+4≠0， ∴x≠﹣4， ∴x＝4， ∴， ∴， ∴的立方根为． 考点03 二次根式的性质与化简 1. 二次根式的基本性质： （1）≥0； a≥0（双重非负性）． （2）（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 2. 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。 【题型1】二次根式的双重非负性 10．已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1， 故选：A． 11．如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，， ∴2x﹣6＝0，2+y＝0， 解得：x＝3，y＝﹣2， ∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7， ∴x2+y的算术平方根是． 故答案为：． 12．若，则a+b3+c2的算术平方根（　　） A．4 B．16 C．±4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵b2﹣4b+4＝（b﹣2）2， ∴原式可化为， ∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3， ∴a+b3+c2＝﹣1+23+（﹣3）2＝16， ∵， ∴a+b3+c2的算术平方根为4， 故选：A． 【题型2】二次根式的化简 13．化简：　π﹣3　 ． 【答案】π﹣3 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴原式＝|3﹣π| ＝π﹣3． 故答案为：π﹣3． 14．已知1≤a≤2，化简　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0， ∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2| ＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1． 故答案为：1． 【题型3】根据二次根式的性质求取值范围 15．若x2，则（　　） A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2 【答案】A 【解答】解：∵x2， ∴x﹣2， ∴x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选：A． 16．若，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【答案】D 【解答】解：若， 则a﹣5≤0， 解得a≤5， 故选：D． 【题型4】二次根式为整数 17．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：2， ∵是整数， ∴n的最小值是5， 故选：D． 18．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【解答】解：∵是整数， ∴13﹣m为完全平方数， ∵当m最小取4时，13﹣m＝13﹣4＝9，此时， ∴自然数m的最小值为4． 故选：D． 【题型5】二次根式的化简—二次根式与数轴 19．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A．﹣b B．b C．﹣2a+b D．2a﹣b 【答案】A 【解答】解：由数轴可知b﹣a＞0， ∴， 故选：A． 20．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 【答案】B 【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|， ∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0， ∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a， 故选：B． 【题型6】二次根式的化简—二次根式与三角形的三边关系 21．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【答案】A 【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 故选：A． 22．已知a，b，c为三角形的三边，则a+b+c ． 【答案】a+b+c 【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边， ∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a＝a+b+c． 故答案为：a+b+c． 【题型7】二次根式的化简—根号外的式子移到根号离 23．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知： x＜0， ∴原式． 故选：B． 24．化简二次根式，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵a2＞0，， ∴﹣（a+1）≥0， ∴a≤﹣1， ∴原式 ． 故选：C． 【题型7】二次根式的化简—双重根号的化简 25．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解： ， 故选：D． 26．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝m2+5n2 ；y＝　2mn ； （2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值； （3）①填空：　1　 ； ②化简：． 【答案】（1）m2+5n2，2mn； （2）x＝7或x＝13； （3）①；②． 【解答】解：（1）， ∴x＝m2+5n2，y＝2mn； 故答案为：m2+5n2，2mn； （2）， ∴x＝m2+3n2，4＝2mn， ∴mn＝2， ∵m，n均为正整数， ∴当m＝1时，n＝2， 此时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13； 当m＝2时，n＝1； 此时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7； ∴x＝7或x＝13； （3）①； 故答案为：1； ② ． 考点04 最简二次根式 1. 最简二次根式： 最简二次根式必须同时满足一下三个条件： （1） 被开方数不含开方开得尽的因数或因式； （2） 被开方数不含分母； （3） 分母中不含根号。 注意：若被开方数是式子时，能进行因式分解的要先因式分解然后再判断。 【题型1】判断最简二次根式 27．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、2，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 28．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据最简二次根式定义：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐项分析判断如下： A： ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： ＝ ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 考点05 二次根式的乘除运算 2. 二次根式的乘法法则： · ＝ （a≥0，b≥0） 推广： 3. 积的算术平方根性质： ＝ · （a≥0，b≥0） 4. 二次根式的除法法则： ＝（a≥0，b＞0） 推广： 5. 商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b＞0） 【题型1】二次根式的乘除运算 29．． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式 ． 30．计算：—． 【答案】﹣2 【解答】解： ＝2﹣4 ＝﹣2． 31．计算． 【答案】﹣9a2． 【解答】解：原式 a2b ． 32．计算：． 【答案】8a． 【解答】解：原式＝（121）• ＝8 ＝8a． 【题型2】积的算术平方根与商的算术平方根成立的条件 33．等式成立的x的取值范围是　﹣1＜x≤3　 ． 【答案】﹣1＜x≤3． 【解答】解：∵3﹣x≥0且1+x＞0， ∴﹣1＜x≤3． 故答案为：﹣1＜x≤3． 34．若，则x的取值范围是　1≤x≤2　 ． 【答案】1≤x≤2． 【解答】解：∵， ∴x﹣1≥0，2﹣x≥0， ∴1≤x≤2， 故答案为：1≤x≤2． 考点06 分母有理化 1. 分母有理化的概念： 分母有理化是指把分母中的根号化去。 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。 2. 有理化因式的概念： 两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。一个二次根式的有理化因式不止一个。 3. 常用的有理化因式 与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等。 例子： 【题型1】求分母的有理化因式 35．二次根式的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：二次根式的有理化因式是， 故选：A． 36．下列式子中，与互为有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵（2）（2） ＝12﹣2 ＝10， ∴与互为有理化因式的是：2， 故选：B． 37．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、，结果不含根式，不符合题意； B、，结果不含根式，不符合题意； C、，结果仍含根式，符合题意； D、，结果不含根式，不符合题意． 故选：C． 【题型2】判断二次根式的关系或比较大小 38．已知a，b，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5 【答案】A 【解答】解：b，a， 故选：A． 39．已知a，b，那么a与b的关系为（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a是b的平方根 【答案】B 【解答】解：∵a，b， ∴ab＝（）（）＝1， 故a与b的关系为互为倒数． 故选：B． 【题型3】利用分母有理化化简求值 40．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得　　 ，分母有理化得　　 ． （2）利用上述方法，化简． 【答案】（1），； （2）27． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：，． （2） ＝3×（10﹣1） ＝27． 41．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， … 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个式子：　　 ； （2）请求出a1+a2+…+an； （3）请求出a21+a22+…+a45． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【解答】解：（1）第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 按上述规律可知，， ， …… ． 故答案为：； （2）； （3）． 考点07 同类二次根式 1. 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。 即： 【题型1】判断同类二次根式 42．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 43．下列各组二次根式是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解答】解：A、2， 则与不是同类二次根式，不符合题意； B、， 则与是同类二次根式，符合题意； C、2，2， 则与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 【题型2】根据同类二次根式的定义求值 44．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：2，而与最简二次根式能合并成一项， 所以2t﹣1＝3， 解得t＝2， 故选：C． 45．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x+y＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由题意得，x﹣2y+10＝2x﹣y+6， ∴x+y＝4． 故答案为：4． 考点08 二次根式的加减法 1. 二次根式的加减法法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2. 二次根式的加减运算步骤： ①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号； ②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简； ③并——合并被开方数相同的二次根式。 【题型1】二次根式的加减运算 46．计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式46 ． 47．计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝4（） ． 48．计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝2a2a2•3a ＝2aa3a ． 49．计算：． 【答案】故答案为：． 【解答】解： ． 考点09 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用。学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。 2. 二次根式的运算结果要化为最简二次根式。 【题型1】二次根式的混合运算 50．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）8． 【解答】解：（1）原式＝3﹣（2）﹣（1）+3 ＝32﹣13 ＝7； （2）原式＝3+48﹣3+48 ＝8． 51．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 52．计算：． 【答案】． 【解答】解：由题意可得x2y≥0，xy2≥0，x＞0，y≠0， ∵x2≥0，y2≥0， ∴x＞0，y＞0， 原式． 【题型2】二次根式的化简求值—二次根式与乘法公式 53．已知，求下列代数式的值． （1）a2﹣b2； （2）a2+b2+ab． 【答案】（1）； （2）19． 【解答】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， 原式＝（a+b）2﹣ab ＝20﹣1 ＝19． 54．已知． （1）计算x+y＝　　 ；xy＝　6　 ；　　 ． （2）求x2﹣4xy+y2的值． 【答案】（1），6，； （2）﹣8． 【解答】解：，， （1）x+y， xy7﹣1＝6， ， 故答案为：，6，； （2）x2﹣4xy+y2＝（x+y）2﹣6xy28﹣36＝﹣8． 【题型3】二次根式的化简求值—二次根式与分式 55．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】，． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ， 当a，b＝2时， 原式． 56．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解答】解： ， 当时， 原式． 【题型4】二次根式的实际应用 57．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： ∴S1， 故选：A． 58．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：， ∴，． ∴矩形ABCD木板的面积为． （2）木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形ABCD的长为宽为， ∵4，6，， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． ∴木工乙的想法可行． 59．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式t（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从80m的高空落到地面的时间； （2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 【答案】（1）物体从80m的高空落到地面的时间为4s； （2）她的说法不正确， 理由：当h＝160时，t4， ∵4×2≠4， ∴小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍的说法是错误的； （3）这个小球在下落过程中所带能量为90J，启示是高空抛物存在很大危险，很可能一个小物体就会杀伤行人（启示合理即可，答案不唯一）． 【解答】解：（1）当h＝80时． t4， 即物体从80m的高空落到地面的时间为4s； （2）她的说法不正确， 理由：当h＝160时，t4， ∵4×2≠4， ∴小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍的说法是错误的； （3）当t＝3时，3，得h＝45， 质量为0.2kg的小球所带能量为：10×0.2×45＝90（J）， 90＞75， 由上可得，这个小球在下落过程中所带能量为90J，启示是高空抛物存在很大危险，很可能一个小物体就会杀伤行人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $