第七章 相交线与平行线（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

第七章 相交线与平行线 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）相交线及其垂直的性质与计算； （2）平行线的判定与性质； （3）平移及其性质。 2. 难点 （1）与垂直有关的计算； （2）平行线的判定与性质综合。 考点01 邻补角与对顶角 1. 邻补角及其性质： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补。 注意：邻补角是成对出现的，既表达了两个角的位置关系，也表达了两个角的数量关系。区别于补角，补角只是两个角的数量关系。 2. 对顶角及其性质： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；对顶角相等。 注意：对顶角是成对出现的，既表达了两个角的位置关系，也表达了两个角的数量关系。区别于两个相等的角，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 【题型1】邻补角与对顶角的判断 1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】利用邻补角与对顶角的性质计算 3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝24°13′48″，则∠AOC＝　 °． 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　 　 ． 考点02 垂直 1. 垂直： （1）垂直的定义： 如图，两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。 注意： （2） 垂直的性质： ①过一点作已知直线的垂线，有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过直线外一点连接直线上所有点的线段中，垂线段最短，简称垂线段最短。 （3）垂直的画法： 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 三画：沿此直角边画直线，并标明垂足和垂直符号。 2. 垂线段定义： 如图：过直线外一点向已知直线作垂线，这个点与垂足之间的线段（即线段OC）叫作垂线段。垂线段最短。 3. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。及OC的长度为C点到直线AB的距离。 【题型1】垂线的画法 5．过直线l外一点P画l的垂线CD，下列各图中，三角尺操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】垂线段最短的应用 6．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【题型3】点到直线的距离 7．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【题型4】与垂直有关的计算 8．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥OD．若∠AOC＝55°，则∠BOE的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 9．如图所示，O是直线AB上的点，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC． （1）求∠BOD的度数． （2）若OE⊥AB，求∠DOE的度数． 考点03 两条直线被第三条直线所截 1. “三线八角”模型： 这是识别同位角、内错角、同旁内角的关键模型。 ①同位角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角。 形如字母 “F”（或倒置、反置、旋转）。 ②内错角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中， 两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角。 形如字母 “Z”（或倒置、反置、旋转）。 ③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角。 形如字母 “U”（或倒置、反置、旋转）。 角的名称 同位角 内错角 同旁内角 图示 【题型1】同位角、内错角、同旁内角的计算 10．如图，下列结论错误的是（　　） A．∠3和∠1是同位角 B．∠A和∠B是同旁内角 C．∠4和∠1是内错角 D．∠3和∠2是对顶角 11．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角 C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角 考点04 平行线 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b。 注意：①必须是同一平面内；②永不相交；③都是直线。 2. 平行公理及其推论 ①平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 注意这一点必须是直线外一点，不能再直线上。 ②推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。 即若a∥b，b∥c，则a∥c 3. 平行线的判定（证明“平行”的依据） ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④垂直于同一直线的两直线相互平行。 ⑤平行于同一直线的两直线相互平行。 4. 平行线的性质（已知“平行”得到的结论） ①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 注意：平行线的性质和判断是题设和结论的互换。 【题型1】平行线的基本事实 12．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 13．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【题型2】平行公理的推论 14．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【题型3】平行线的基本性质 15．如图，l1∥l2，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 16．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝66°，则∠MBA的大小为　 　 °． 【题型4】平行线的性质—平行线与直角三角板 17．将一副三角板按如图所示摆放，点B在EF上，且DE∥AB，则∠GBF的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 18．一把直尺和一块三角板（30°，60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，∠CEF＝45°，则∠BAD的大小为（　　） A．10° B．15° C．25° D．30° 【题型5】平行线的性质—平行线间的拐点问题 19．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝150°，∠3＝25°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 20．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 21．【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 【题型6】平行线的性质—平行线与折叠 22．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1＝60°，则∠2的度数为　 　 °． 23．如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，GH与BC交于点M，如图2，再将三角形MHF沿BC折叠，点H落在点N的位置．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　 ． 【题型7】判定平行线的条件 24．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A+∠ABC＝180°；④∠C＝∠ADE；⑤∠C＝∠A．能判断BC∥AD的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤ 25．如图，下列说法中：①若∠3＝∠8，则AB∥CD；②若∠1＝∠5，则AB∥CD；③若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD；④若∠2＝∠6，则AB∥CD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8】平行线的判定证明 26．在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+　 ＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠ +∠ ＝90°， ∴∠1＝∠ （ 　 　 ）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠ ＝90°， ∴∠ ＝90°， ∴∠ +∠ ＝180°， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 27．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 【题型9】平行线的判定与性质 28．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，∠AEC＝90°，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 29．如图，已知EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：DG∥AC； （2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数． 30．【问题背景】 在学习平行线相关知识时，某兴趣小组同学看到手边的三角板，想探究平行线与三角板相结合的数学问题： 【实践操作】 （1）小力将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，且AD∥BC，已知∠DAE＝60°，∠B＝45°，则∠BAE的度数为　 　 °； （2）如图2，小旺将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B＝∠ACB＝45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB＝32°，∠PCB＝13°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B＝∠ACB＝45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请直接写出∠BAQ与∠BCN之间的关系：　 　 ． 考点05 命题与定理 1. 命题： （1） 定义：判断一件事情的语句。 （2） 组成：由题设（条件）和结论两部分组成。题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 （3） 命题的改写：一个命题常写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。 （4） 命题的分类：判断正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 2. 定理： 经过推理证实的真命题叫做定理。 【题型1】命题及真假命题的判断 31．下列语句是命题的是（　　） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线AB上任取一点C D．过点A作直线BC的垂线 32．下列命题中，是真命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若a2＝b2，则a＝b 33．下列各命题是假命题的是（　　） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【题型2】命题的改写 34．把“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　 　 ． 把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：　 　 ． 【题型3】命题的证明 35．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 考点06 平移 1. 定义： 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移。 2. 平移的要素： 平移方向与平移距离为平移的两个要素。 3. 性质： ①平移前后的图形形状和大小不变。 ②连接对应点的线段平行或共线且相等。 ③对应线段平行或共线且相等 ④对应角相等。 4. 平移作图的步骤 （1）定：确定平移方向和平移距离； （2）找：找到构成原图形的关键点； （3）移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点； （4）连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形。 【题型1】判断生活中的平移现象 36．3月14日，同学们开心地参加了实验华夏女中首届π节，下面哪个图形可以由如图的“π”平移得到（　　） A． B． C． D． 37．下列现象中属于平移的是（　　） ①钟摆的摆动； ②电梯的升降； ③汽车沿直线行驶； ④汽车雨刷的运动． A．①② B．② C．①②④ D．②③ 【题型2】平移的性质 38．如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF 39．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，连结AD．如果△ABC的周长是13cm，那么四边形ABFD的周长为（　　） A．13cm B．15cm C．17cm D．26cm 40．如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 41．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若BC＝5，EC＝3，则平移的距离为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 42．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A．20 B．18 C．15 D．26 43．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F． （1）若∠DAC＝56°，求∠F的度数． （2）若BC＝6cm，当AD＝2EC时，则AD＝ 　 ． 【题型3】平移的作图 44．已知△ABC，过点D作△ABC平移后的图形，其中点D与点A对应． 45．如图，在8×8的正方形网格中有三角形ABC，点A，B，C均在格点上． （1）画出点B到直线AC的最短路径BD； （2）过C点画出AB的平行线，交BD于点E； （3）将三角形ABC向左平移4格，再向下平移3格后得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）相交线及其垂直的性质与计算； （2）平行线的判定与性质； （3）平移及其性质。 2. 难点 （1）与垂直有关的计算； （2）平行线的判定与性质综合。 考点01 邻补角与对顶角 1. 邻补角及其性质： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补。 注意：邻补角是成对出现的，既表达了两个角的位置关系，也表达了两个角的数量关系。区别于补角，补角只是两个角的数量关系。 2. 对顶角及其性质： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；对顶角相等。 注意：对顶角是成对出现的，既表达了两个角的位置关系，也表达了两个角的数量关系。区别于两个相等的角，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 【题型1】邻补角与对顶角的判断 1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； D、∠1与∠2是对顶角，符合题意． 故选：D． 2．下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．不是两条直线相交组成的角，故A不符合题意； B．不是两条直线相交组成的角，故B不符合题意． C．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故C不符合题意； D．是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 【题型2】利用邻补角与对顶角的性质计算 3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝24°13′48″，则∠AOC＝　48.46　 °． 【答案】48.46°． 【解答】解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOE＝2×24°13′48″＝48°27′36″＝48.46°， ∴∠AOC＝∠BOD＝48.46°． 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　135°　 ． 【答案】135°． 【解答】解：∵OF平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOF，∠BOF＝∠DOF， ∵∠AOD：∠BOF＝4：1， ∴∠AOD：∠BOD＝4：2， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOD＝120°，∠BOD＝60°， ∴∠AOC＝∠BOD＝60°， ∴∠BOF＝∠DOF30°， ∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COECOF， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝60°+75°＝135°， 故答案为：135°． 考点02 垂直 1. 垂直： （1）垂直的定义： 如图，两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。 注意： （2） 垂直的性质： ①过一点作已知直线的垂线，有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过直线外一点连接直线上所有点的线段中，垂线段最短，简称垂线段最短。 （3）垂直的画法： 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 三画：沿此直角边画直线，并标明垂足和垂直符号。 2. 垂线段定义： 如图：过直线外一点向已知直线作垂线，这个点与垂足之间的线段（即线段OC）叫作垂线段。垂线段最短。 3. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。及OC的长度为C点到直线AB的距离。 【题型1】垂线的画法 5．过直线l外一点P画l的垂线CD，下列各图中，三角尺操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据垂线的作法可得 ， 故选：D． 【题型2】垂线段最短的应用 6．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短． 故选：D． 【题型3】点到直线的距离 7．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l， ∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm， 故选：A． 【题型4】与垂直有关的计算 8．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥OD．若∠AOC＝55°，则∠BOE的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 【答案】B 【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝55°， ∴∠BOD＝∠AOC＝55°， ∵射线OE在∠AOD内部，且OE⊥OD， ∴∠EOD＝90°， ∴∠BOE＝∠EOD+∠BOD＝90°+55°＝145°， ∴∠BOE的度数为145°． 故选：B． 9．如图所示，O是直线AB上的点，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC． （1）求∠BOD的度数． （2）若OE⊥AB，求∠DOE的度数． 【答案】（1）70°； （2）20°． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣70°＝140°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD∠BOC＝70°； （2）∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， 由（1）知∠BOD＝70°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝20°． 考点03 两条直线被第三条直线所截 1. “三线八角”模型： 这是识别同位角、内错角、同旁内角的关键模型。 ①同位角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角。 形如字母 “F”（或倒置、反置、旋转）。 ②内错角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中， 两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角。 形如字母 “Z”（或倒置、反置、旋转）。 ③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角。 形如字母 “U”（或倒置、反置、旋转）。 角的名称 同位角 内错角 同旁内角 图示 【题型1】同位角、内错角、同旁内角的计算 10．如图，下列结论错误的是（　　） A．∠3和∠1是同位角 B．∠A和∠B是同旁内角 C．∠4和∠1是内错角 D．∠3和∠2是对顶角 【答案】A 【解答】解：A．∠3和∠1不是同位角，符合题意； B．∠A与∠B是同旁内角，不符合题意； C．∠4和∠1是内错角，不符合题意； D．∠3和∠2是对顶角，不符合题意； 故选：A． 11．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角 C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角 【答案】C 【解答】解：A．∠1与∠5是直线b，直线c被直线a所截得的内错角，因此选项A不符合题意， B．∠3与∠5是对顶角，因此选项B不符合题意， C．∠1与∠4不是同位角，因此选项C符合题意， D．∠1与∠2是直线b，直线c被直线a所截得的同旁内角，因此选项D不符合题意， 故选：C． 考点04 平行线 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b。 注意：①必须是同一平面内；②永不相交；③都是直线。 2. 平行公理及其推论 ①平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 注意这一点必须是直线外一点，不能再直线上。 ②推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。 即若a∥b，b∥c，则a∥c 3. 平行线的判定（证明“平行”的依据） ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④垂直于同一直线的两直线相互平行。 ⑤平行于同一直线的两直线相互平行。 4. 平行线的性质（已知“平行”得到的结论） ①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 注意：平行线的性质和判断是题设和结论的互换。 【题型1】平行线的基本事实 12．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【解答】解：平面内，两直线的位置关系是相交或平行（其中，垂直是相交的特例）． 故选：C． 13．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】C 【解答】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1， ∴m+n＝2， 故选：C． 【题型2】平行公理的推论 14．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， ∴a与c平行， 故选：B． 【题型3】平行线的基本性质 15．如图，l1∥l2，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠2+∠1+∠3＝180°， ∵∠1＝30°，∠2＝50°， ∴∠3＝100°． 故选：B． 16．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝66°，则∠MBA的大小为　24　 °． 【答案】24． 【解答】解：由题知， ∵∠NCD＝66°， ∴∠BCO＝66°， ∴∠BCD＝180°﹣2×66°＝48°． ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣48°＝132°． 又∵∠MBA＝∠CBO， ∴∠MBA． 故答案为：24． 【题型4】平行线的性质—平行线与直角三角板 17．将一副三角板按如图所示摆放，点B在EF上，且DE∥AB，则∠GBF的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解：由图可知，∠DEF＝45°，∠ABC＝30°， ∵DE∥AB， ∴∠DEF＝∠ABF＝45°， ∠GBF＝∠ABF﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°， 故选：A． 18．一把直尺和一块三角板（30°，60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，∠CEF＝45°，则∠BAD的大小为（　　） A．10° B．15° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，EF∥AD，∠CEF＝45°， 则∠CAD＝∠CEF＝45°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD， ∴∠BAD＝60°﹣45°＝15°． 则∠BAD的度数为15°． 故选：B． 【题型5】平行线的性质—平行线间的拐点问题 19．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝150°，∠3＝25°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【答案】A 【解答】解：作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（平行于同一直线是两直线相互平行）， ∴∠FEC＝∠3＝25°（两直线平行，内错角相等）， ∠FEB＝180°﹣∠1＝180°﹣150°＝30°， ∴∠2＝∠FEB+∠FEC＝30°+25°＝55°． 故选：A． 20．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　45°　 ． 【答案】45°． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠A＝65°， 又∵∠DFE＝∠C+∠E， ∴∠C＝∠DFE﹣∠E＝65°﹣20°＝45°． 故答案为：45°． 21．【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　69°　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）69°； （2）∠APC＝∠A+∠C； （3）①50°；②②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由见解答过程． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图所示： ∵AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝29°， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C＝69°， ∴∠APC＝69°， 故答案为：69°； （2）∠A，∠APC与∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C； 过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C， （3）①由（2）的结论得：∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1， ∵MP1平分∠BMP，NP1平分∠DNP， ∴∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1， ∴∠MPN＝2∠BMP1+2∠DNP1， ∵∠MPN＝100°， ∴∠BMP1+∠DNP1∠MPN＝50°， ∴∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1＝50°； ②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由如下： 过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），如图3所示： ∵MP1平分∠BMP，∠BMP1＝α， ∴∠BMP＝2∠BMP1＝2α， ∴ND平分∠P1NP， ∴设∠P1ND＝∠PND＝β， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴AB∥PF∥CD， ∴∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β， ∴∠MPN＝∠MPF﹣∠NPF＝2α﹣β， 由（2）的结论得：∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β， ∴∠MP1N+∠MPN＝α+β+2α﹣β＝3α． 【题型6】平行线的性质—平行线与折叠 22．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1＝60°，则∠2的度数为　60　 °． 【答案】60． 【解答】解：如图所示， ∵长方形的对边平行， ∴∠1+∠3＝180°． ∵∠1＝60°， ∴∠3＝180°﹣60°＝120°， ∴∠4＝180°﹣∠3＝60°． 由折叠可知， ∠2+∠4＝∠3＝120°， ∴∠2＝120°﹣60°＝60°． 故答案为：60． 23．如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，GH与BC交于点M，如图2，再将三角形MHF沿BC折叠，点H落在点N的位置．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72°　 ． 【答案】72°． 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72°． 【题型7】判定平行线的条件 24．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A+∠ABC＝180°；④∠C＝∠ADE；⑤∠C＝∠A．能判断BC∥AD的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【解答】解：①由内错角相等，两直线平行判定BA∥CD，不能判定BC∥AD，故①不符合题意； ②由内错角相等，两直线平行判定BC∥AD，故②符合题意； ③由同旁内角互补，两直线平行判定BC∥AD，故③符合题意； ④由同位角相等，两直线平行判定BC∥AD，故④符合题意； ⑤两个角不是同位角也不是内错角，不能判定BC∥AD，故⑤不符合题意， ∴能判断BC∥AD的是②③④． 故选：B． 25．如图，下列说法中：①若∠3＝∠8，则AB∥CD；②若∠1＝∠5，则AB∥CD；③若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD；④若∠2＝∠6，则AB∥CD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①∠3＝∠8，不能判断AB∥CD，故①错误，不符合题意； ②∠1＝∠5，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，故②错误，不符合题意； ③∠DAB+∠ABC＝180°，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，故③错误，不符合题意； ④∠2＝∠6，可以判断AB∥CD，故④正确，符合题意； ∴正确的有1个． 故选：A． 【题型8】平行线的判定证明 26．在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+　∠AEB ＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠AEB +∠DEC ＝90°， ∴∠1＝∠DEC （ 　同角的余角相等　 ）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠DEC ＝90°， ∴∠C ＝90°， ∴∠B +∠C ＝180°， ∴AB∥CD（ 　同旁内角互补，两条直线平行　 ）． 【答案】∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行． 【解答】证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+∠AEB＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠1＝∠DEC（同角的余角相等）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠DEC＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）． 故答案为：∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行． 27．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 【答案】见解析． 【解答】解：∵∠ADC＋∠BDC＝180°，∠BDC＋∠B＋∠BCD=180° ∴∠ADC＝∠B+∠BCD． ∵∠CGE＝∠B+∠BCD， ∴∠ADC＝∠CGE， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC， ∵∠B＝∠DEF， ∴∠EFC＝∠DEF， ∴DE∥BC． 【题型9】平行线的判定与性质 28．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，∠AEC＝90°，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【答案】（1）见解析； （2）58°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°， ∴AD∥CE； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°， ∴∠2＝∠ADC＝32°， ∵∠AEC＝90°，AD∥CE， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 29．如图，已知EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：DG∥AC； （2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数． 【答案】（1）说明见解析过程；（2）80°． 【解答】（1）证明：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ECD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠ECD， ∴GD∥AC； （2）解：由（1）得：GD∥AC， ∵∠A＝40°， ∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2， ∵DG平分∠BDC， ∴∠2＝∠BDG＝40°， ∴∠ACD＝∠2＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝80°． 30．【问题背景】 在学习平行线相关知识时，某兴趣小组同学看到手边的三角板，想探究平行线与三角板相结合的数学问题： 【实践操作】 （1）小力将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，且AD∥BC，已知∠DAE＝60°，∠B＝45°，则∠BAE的度数为　15　 °； （2）如图2，小旺将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B＝∠ACB＝45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB＝32°，∠PCB＝13°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B＝∠ACB＝45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请直接写出∠BAQ与∠BCN之间的关系：　∠BCN﹣∠BAQ＝45°　 ． 【答案】（1）15°； （2）MN∥PQ，理由如下见解析； （3）∠BCN﹣∠BAQ＝45°． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠DAB＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°； （2）MN∥PQ； 理由如下： ∵∠MAB＝32°，∠BAC＝90°， ∴∠MAC＝32°+90°＝122°， ∵∠PCB＝13°，∠ACB＝45°， ∴∠ACP＝13°+45°＝58°， ∴∠MAC+∠ACP＝122°+58°＝180°， ∴MN∥PQ； （3）如图，PQ与BC交于点M， ∵MN∥PQ， ∴∠BCN＝∠CMP， ∴∠CMP＝∠BAQ+∠B， ∴∠BCN＝∠BAQ+∠B， ∴∠BCN﹣∠BAQ＝45°， 故答案为：∠BCN﹣∠BAQ＝45°． 考点05 命题与定理 1. 命题： （1） 定义：判断一件事情的语句。 （2） 组成：由题设（条件）和结论两部分组成。题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 （3） 命题的改写：一个命题常写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。 （4） 命题的分类：判断正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 2. 定理： 经过推理证实的真命题叫做定理。 【题型1】命题及真假命题的判断 31．下列语句是命题的是（　　） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线AB上任取一点C D．过点A作直线BC的垂线 【答案】B 【解答】解：A、今天星期几？是疑问句，没有做出判断，不是命题，不符合题意； B、相等的角是对顶角，是命题，符合题意； C、在直线AB上任取一点C，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、过点A作直线BC的垂线，没有做出判断，不是命题，不符合题意； 故选：B． 32．下列命题中，是真命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若a2＝b2，则a＝b 【答案】C 【解答】解：A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误，不符合题意； B．相等的角不一定是对顶角，故B错误，不符合题意； C．两点之间，线段最短，故C正确，符合题意； D．若a2＝b2，则a＝±b，故D错误，不符合题意； 故选：C． 33．下列各命题是假命题的是（　　） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【解答】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意． 故选：A． 【题型2】命题的改写 34．把“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等　 ． 把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：　如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．　 ． 【答案】（1）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；（2）如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 【解答】解：（1）把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 （2）根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”， 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 【题型3】命题的证明 35．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）选择第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）选择第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD． 考点06 平移 1. 定义： 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移。 2. 平移的要素： 平移方向与平移距离为平移的两个要素。 3. 性质： ①平移前后的图形形状和大小不变。 ②连接对应点的线段平行或共线且相等。 ③对应线段平行或共线且相等 ④对应角相等。 4. 平移作图的步骤 （1）定：确定平移方向和平移距离； （2）找：找到构成原图形的关键点； （3）移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点； （4）连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形。 【题型1】判断生活中的平移现象 36．3月14日，同学们开心地参加了实验华夏女中首届π节，下面哪个图形可以由如图的“π”平移得到（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：观察选项，只有选项A中的图形与原图“π”的形状、大小和方向完全一致，所以可以由原图平移得到． 故选：A． 37．下列现象中属于平移的是（　　） ①钟摆的摆动； ②电梯的升降； ③汽车沿直线行驶； ④汽车雨刷的运动． A．①② B．② C．①②④ D．②③ 【答案】D 【解答】解：①钟摆的摆动属于旋转，不属于平移； ②电梯的升降属于平移； ③汽车沿直线行驶属于平移； ④汽车雨刷的运动属于旋转，不属于平移． 故选：D． 【题型2】平移的性质 38．如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF 【答案】C 【解答】解：∵△DEF是由△ABC平移得到， ∴AB∥DE，CF∥BE，∠BAC＝∠EDF，故选项A、B、D不符合题意； ∠ABC与∠DFE不一定相等，故选项C符合题意． 故选：C． 39．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，连结AD．如果△ABC的周长是13cm，那么四边形ABFD的周长为（　　） A．13cm B．15cm C．17cm D．26cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF， ∴△ABC≌△DEF，AD＝BE＝CF＝2cm， ∴AC＝DF， ∵△ABC的周长是13cm， ∴AB+BC+AC＝AB+BC+DF＝13cm， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+DF+AD+CF＝13+2+2＝7（cm）． 故选：C． 40．如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 【答案】B 【解答】解：∵将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′， ∴BB'＝CC'，BC＝B′C′， ∵AB′+CC′＝AB′+BB′＝AB， AB′+CC′+AC+B′C′＝AB+AC+BC＝15（cm）． 故选：B． 41．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若BC＝5，EC＝3，则平移的距离为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【解答】解：∵BC＝5，EC＝3， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2， ∴平移的距离为2； 故选：A． 42．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A．20 B．18 C．15 D．26 【答案】C 【解答】解：∵平移距离为3， ∴BE＝3， ∵AB＝6，DH＝2， ∴EH＝6﹣2＝4， ∵S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ABEH＝S阴， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 43．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F． （1）若∠DAC＝56°，求∠F的度数． （2）若BC＝6cm，当AD＝2EC时，则AD＝　4cm或12cm．　 ． 【答案】（1）见解析； （2）4cm或12cm． 【解答】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF， ∴AC∥DF，AD∥BF， ∴∠ACB＝∠F， ∴∠ACB＝∠DAC， ∴∠F＝∠DAC＝56°； （2）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF， ∴AD＝BE＝CF， 设AD＝xcm， 则BE＝CF＝xcm， ∵AD＝2EC， ∴CEx， ∵BC＝6， ∴xx＝6， 解得x＝4， 即AD的长为4cm． 当点E在点C右侧时， 同理可得，xx＝6， 解得x＝12， 综上所述，AD＝4cm或12cm， 故答案为：4cm或12cm． 【题型3】平移的作图 44．已知△ABC，过点D作△ABC平移后的图形，其中点D与点A对应． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：△ABC平移后的图形如图所示． 45．如图，在8×8的正方形网格中有三角形ABC，点A，B，C均在格点上． （1）画出点B到直线AC的最短路径BD； （2）过C点画出AB的平行线，交BD于点E； （3）将三角形ABC向左平移4格，再向下平移3格后得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图，BD即为所求． （2）如图，直线CE即为所求． （3）如图，三角形A1B1C1即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $