精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

环县一中2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 2. 在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 射线 4. 在公差不为0的等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. 83 B. 119 C. 164 D. 219 7. 已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为．则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若且，则实数m的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 以为直径的圆与轴相切 11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ） A. 在第10条斜线上，各数之和为55 B. 在第11条斜线上，最大的数是 C. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小 D. 在第条斜线上，共有个数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______. 13. 已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是______. 14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的展开式中二项式系数和为64． （1）求n的值； （2）写出展开式中的一次项系数． 16. （1）一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 17. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为.求. （3）在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2. 在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】令，解出即可. 【详解】由直线方程为：， 令，则， 所以直线在轴上的截距为， 故选：B. 3. 已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 射线 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 4. 在公差不为0的等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由得，即， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 5. 一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可. 【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是. 故选：B 6. 若，则的值为（ ） A. 83 B. 119 C. 164 D. 219 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故， 则 ， 故选：D 7. 已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为．则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得经过两点的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得，由椭圆的离心率公式计算可得选项. 【详解】解：因为经过两点的直线的方程为，又原点到直线的距离为， 所以，整理得，所以， 所以．又，所以， 故选：D. 8. 如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】分两种涂色方法：涂4种颜色和3种颜色，首先确定可涂相同颜色的区域，再应用分类分步计数求不同的涂色方案数. 【详解】 由图知：两组颜色可以相同， 若涂4种颜色：颜色相同，则4种选一种涂有，余下3种颜色涂3个区域有，共种，同理颜色相同也有24种； 若涂3种颜色，则、分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有种，再所选3种中选一种涂5有种，余下2种颜色涂、个区域有，共有种； 综上，共有72种. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若且，则实数m的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】令可得，解得即可. 【详解】因为， 令可得， 所以，所以或， 解得或. 故选：AD 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得的值，可判断B选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；求出的中点坐标，进而可得该点到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D选项. 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y轴正半轴上，则点错误； 由拋物线的定义可得，可得正确； 由可知，，可得，C正确； ∵的中点坐标为，则点到y轴的距离， ∴以为直径的圆与轴相切，D正确. 故选：BCD. 11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ） A. 在第10条斜线上，各数之和为55 B. 在第11条斜线上，最大的数是 C. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小 D. 在第条斜线上，共有个数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为判断A选项，再根据杨辉三角得到第条斜线上的数为：判断BCD选项； 【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…， 其规律是， 根据杨辉三角的定义继续往下写三行， 所以第条斜线上各数之和为，故A正确； 第1条斜线上的数：， 第2条斜线上的数：； 第3条斜线上的数：， 第4条斜线上的数：， 第5条斜线上的数：， 第6条斜线的数：， ……， 依此规律，第条斜线上的数为：， 在第11条斜线上的数为，最大的数是，故B错误； 由上述每条斜线的变化规律可知： 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故C正确； 由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数； n为偶数时，第n条斜线上共有共有个数， 所以第n条斜线上共，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 13. 已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 【答案】63 【解析】 【分析】设得到是严格递增的正整数数列以及满足条件的差分数列序列为：，再根据结合等差数列求和公式即可求解． 【详解】设，则， 根据“快速增长数列”定义，可得， 则是严格递增的正整数数列． 为使最大，需让数列增长最慢，则满足条件的差分数列序列应为， 即差分数列为公差为1，首项为2的等差数列， 所以当 ， 所以，则， 当时，， 当时， ∴正整数k的最大值为63． 故答案为：63． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的展开式中二项式系数和为64． （1）求n的值； （2）写出展开式中的一次项系数． 【答案】（1）6 （2）240 【解析】 【分析】（1）由题意得，从而可求出n的值； （2）求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为1，求出，从而可求得结果 【小问1详解】 由题知，解得． 【小问2详解】 的展开式的通项为， 根据题意，得， ∴． ∴． 展开式中的一次项系数为240． 16. （1）一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）采用“元素相邻捆绑法”进行排列. （2）利用分布乘法计数原理求解. 【详解】（1）结合“元素相邻捆绑法”，满足条件的排列方法有： . （2）原有的6个路灯相对顺序不变，出现7个空，所以多安装的第一个路灯有7种安法；安好第7盏路灯后，出现8个空，所以多安装的第二个路灯有8种安法；安装好8个路灯后，出现9个空，所以多安装的第3个路灯有9种安法. 根据“分步乘法计数原理”可得，不同的安装方法有种. 17. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程 （2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 设C的焦距为，长轴长为， 则， 所以，所以， 所以C的方程为． 【小问2详解】 设， 代入椭圆方程得 两式相减可得， 即． 由点为线段的中点， 得， 则l的斜率， 所以l的方程为， 即． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为.求. （3）在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以1为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式， （3）在（2）条件下进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【小问1详解】 因为①， 当时可得，即. 当时，② 由①-②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相得，， 即， 则， 故. 【小问3详解】 由（2）知， 所以有， 即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着n增大而减小，所以， 即的取值范围为. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $