专题3.5 导数之三次函数讲义-2026届高三数学一轮复习

专题3.5 导数之三次函数 3.5.1 三次函数的单调性、极值、零点 知识点梳理 1.三次函数的一般形式：，其导函数为，其. （1）三次函数的单调性、极值 ①若，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.均无极值. ②若，记：. 当时，在, 上单调递增，在上单调递减，, . 当时，在, 上单调递减，在上单调递增., . （2）三次函数的零点的判断 ①若，则为单调函数，故在上有且仅有一个零点. ②若， 当，则有且仅有一个零点. 当，则有两个零点；且其中一个零点恰为极值点. 当，则在三个单调区间各有一个零点，共三个零点. 2.三次函数的韦达定理：若三次函数有三个零点,则: . 典型例题 例1.（多选）设函数，则下列结论正确的是（　　） A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0） B．方程f（x）＝3有唯一正实数解 C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解 D．f（x）＝1有负实数解 例2.已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ） A. B. C. D. 例3.已知函数在上是增函数，且存在垂直于轴的切线，则的取值范围是 . 例4.已知，为三次函数，其图象 如图所示.若有个零点，则的取值范围是 . 例5.(多选题)已知三次函数有三个不同的零点,函数 .则（ ） A. B. 若成等差数列,则 C. 若恰有两个不同的零点, 则 D. 若有三个不同的零点, 则 随堂演练 1.（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（　　） A．若f（x）min＝f（1），则a＝1 B．若f（x）min＝f（1），则 C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减 D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增 2.三次函数在上是减函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3.函数是减函数的区间为（　　） A. B. C. D. 4.设，若为函数的极大值点，则（　　） A. B. C. D. 5.已知,若三次函数有三个零点,且满足, ,则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6.一般地, 对于一元三次函数 , 若, 则为三次函数的对称中心, 已知函数图像的对称中心的横坐标为, 且有三个零点,则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7.函数的单调减区间为 . 8.已知函数 ()，设曲线在点处切线的斜率为 ()，若均不相等，且，则的最小值为 . 9.已知函数. （1）讨论的单调性. （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 10.已知三次函数的导函数, , 为实数. （1）若曲线在点处切线的斜率为, 求的值. （2）若在区间上的最小值、最大值分别为,且,求函数的解析式. 3.5.2 三次函数的对称性 知识点梳理 三次函数是中心对称曲线，其图像关于点中心对称. 相关性质： ①三次函数的对称中心的横坐标为二阶导数的零点,则点为拐点. ②若已知三次函数的对称中心,则其解析式可设为. 典型例题 例1.（多选）设函数,则（ ） A. 当时,有三个零点 B. 当时,是的极大值点 C. 存在, 使得为曲线的对称轴 D. 存在,使得点为曲线的对称中心 例2.设函数是的导函数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数的图像都有对称中心,其中满足. 已知三次函数,若, 则 . 随堂演练 1.（多选）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点 D. 若方程有两个不同的根，则或 2.（多选）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 3.（多选）函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，且，则 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 4.（多选）已知三次函数，若函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. B. 有3个零点 C. 的对称中心是 D. 5.(多选题)定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 的对称中心为. 则下列选项正确的有（ ） A. B. 的值是 C. 函数有一个零点 D. 过可以作三条直线与图象相切 6.对于三次函数给出定义:设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算: （ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 7.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，为曲线的对称中心，则必有(其中函数).若实数满足，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 导数之三次函数 3.5.1 三次函数的单调性、极值、零点 知识点梳理 1.三次函数的一般形式：，其导函数为，其. （1）三次函数的单调性、极值 ①若，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.均无极值. ②若，记：. 当时，在, 上单调递增，在上单调递减，, . 当时，在, 上单调递减，在上单调递增., . （2）三次函数的零点的判断 ①若，则为单调函数，故在上有且仅有一个零点. ②若， 当，则有且仅有一个零点. 当，则有两个零点；且其中一个零点恰为极值点. 当，则在三个单调区间各有一个零点，共三个零点. 2.三次函数的韦达定理：若三次函数有三个零点,则: . 典型例题 例1.（多选）设函数，则下列结论正确的是（　　） A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0） B．方程f（x）＝3有唯一正实数解 C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解 D．f（x）＝1有负实数解 解：由题意可知，函数， f'（x）x2﹣4x+2（3x﹣2）（x﹣2）， 对于A，当x＝2时，f（x）＝f'（x）＝0，故正确； 令x3﹣2x2+2xx2﹣4x+2， 因为f'（x）（3x﹣2）（x﹣2）， 所以当x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0； 当x∈（，2）时，f'（x）＜0， 所以函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为（，2）， 如图所示： 所以f（x）极大值＝f（），f（x）极小值＝f（2）＝0， 所以方程f（x）＝3有唯一正实数解，故B正确； 方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解，故C正确； f（x）＝1有唯一正数解，故D错误．故选：ABC． 例2.已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ） A. B. C. D. 解：由题意，得. 关于的一元二次方程的两根为. 又极小值点为，极大值点为，所以，即. 由根与系数的关系得到. 所以，，得到.故选：A. 例3.已知函数在上是增函数，且存在垂直于轴的切线，则的取值范围是 . 解: 函数 在上是增函数, 恒成立, 且, 即 , 存在垂直于轴的切线, 有解, , 即, , 且,， 当时, 此时，当， 设,则， ，即 综上所述. 故答案为: . 例4.已知，为三次函数，其图象 如图所示.若有个零点，则的取值范围是 . 解：作出的图像如图所示，由的图像可知， 的极大值为，极小值为， 有9个零点，令，结合和的图像可知， 有3个解， 分别设为，且， 且每个对应都有3个满足， 欲使有9个零点， 由图可知：， 且，，， 由函数的解析式知： 由图像可知，， 则.得. 例5.(多选题)已知三次函数有三个不同的零点,函数 .则（ ） A. B. 若成等差数列,则 C. 若恰有两个不同的零点, 则 D. 若有三个不同的零点, 则 解:因为 所以 所以 令 得 所以对称中心为 对于 A:因为函数 有三个零点,所以 必有两个极值点, 所以 即 故 A 正确; 对于 B:由 成等差数列, 及三次函数的中心对称性可知 所以 又 所以 所以 所以 故 B 正确; 对于 C: 即 若 恰有两个零点, 则零点中必有一个是极值点. 若 为极值点 (即 为重根), 则该方程的三个根为 由一元三次方程的韦达定理可得 若 为极值点, 同理可得 故 C 错误; 对于 D:由韦达定理可得. 得:. 即 故 D 正确. 故选: ABD. 随堂演练 1.（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（　　） A．若f（x）min＝f（1），则a＝1 B．若f（x）min＝f（1），则 C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减 D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增 解：易知f（x）的定义域为[0，+∞）， 可得f′（x）＝3x2﹣2x﹣a， 若f（x）min＝f（1），所以x＝1是f（x）的极小值点， 此时f′（1）＝3﹣2﹣a＝0，解得a＝1， 则f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）（x≥0）， 当0≤x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（1）， 则a＝1，故选项A正确，选项B错误； 若a＝1，此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故选项C正确； 若，此时， 当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选项D正确． 故选：ACD． 2.三次函数在上是减函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解：对函数求导，得， ∴ 函数在上是减函数, ∴在上恒成立即恒成立, ∴，解得, 又当时, 不是三次函数,不满足题意, ∴故选: A. 3.函数是减函数的区间为（　　） A. B. C. D. 解：函数, ,由即,解得, 所以函数的减区间为,故答案为: . 4.设，若为函数的极大值点，则（　　） A. B. C. D. 解: 令 , 解得 或 , 即 及 是 的两个零点. 当 时, 由三次函数的性质可知, 要使 是 的极大值点, 则函数 的大致图象如图1所示，则 . 图1 图2 当 时, 由三次函数的性质可知, 要使 是 的极大值点, 则函数 的大致图象如图2所示:则 . 综上, .故选: D. 5.已知,若三次函数有三个零点,且满足, ,则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解: ， ∴，解得：， 代入得：从而 解得： 设三次函数的零点式为 , 比较系数得: 故故选: . 6.一般地, 对于一元三次函数 , 若, 则为三次函数的对称中心, 已知函数图像的对称中心的横坐标为, 且有三个零点,则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解：，， 令，解得，则有， 又，令，解得当或，令，解得， 函数在, 上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，的极小值为， 又函数有三个零点，即函数的图象与轴有三个公共点， 由三次函数图象与性质知，. 于是得，解得. 综上得：，即实数的取值范围是．故选：A． 7.函数的单调减区间为 . 解：, 解得，故减区间为. 故答案为：. 8.已知函数 ()，设曲线在点处切线的斜率为 ()，若均不相等，且，则的最小值为 . 解：， 即为, 可得的导数为, 则=. 由,可得, , , 则 = =≥. 当且仅当 时，即时, 取得等号. 故答案为: . 9.已知函数. （1）讨论的单调性. （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 解：(1), . ①当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则 在上单调递增； ②当，即 时，令，解得, . 令，解得或；令，解得. 在, 单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在, 单调递增，在单调递减. (2)设曲线过坐标原点的切线为，切点为，.则切线方程为. 将原点代入切线方程有，解得. 切线方程为. 令，即，解得或. 曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 . 10.已知三次函数的导函数, , 为实数. （1）若曲线在点处切线的斜率为, 求的值. （2）若在区间上的最小值、最大值分别为,且,求函数的解析式. 解: (1) 由导数的几何意义可得：， ∴，则， 1. ， ， 由得 ， . , ，， ， ， ，，. 3.5.2 三次函数的对称性 知识点梳理 三次函数是中心对称曲线，其图像关于点中心对称. 相关性质： ①三次函数的对称中心的横坐标为二阶导数的零点,则点为拐点. ②若已知三次函数的对称中心,则其解析式可设为. 典型例题 例1.（多选）设函数,则（ ） A. 当时,有三个零点 B. 当时,是的极大值点 C. 存在, 使得为曲线的对称轴 D. 存在,使得点为曲线的对称中心 解：A选项，，由于， 故 时 ，故 在, 上单调递增， 时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在 上有一个零点，又，，则，，则在, 上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，，单调递减， 时 ，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式中的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则. 事实上， = 于是.要使上式恒成立， 则，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二： 直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ， 由，于是该三次函数的对称中心为.由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选AD. 例2.设函数是的导函数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数的图像都有对称中心,其中满足. 已知三次函数,若, 则 . 解：因为三次函数， 所以， 所以，令得， 所以三次函数的图像的对称中心为， 所以，即若，则.故答案为：4. 随堂演练 1.（多选）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点 D. 若方程有两个不同的根，则或 解：由，则或时，， 时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 所以分别是的极大值点、极小值点，对； ，则，故点是曲线的对称中心，对； 由，结合单调性知：在存在一个零点，其它位置无零点，错； 若方程有两个不同的根，由上分析知：或，对.故选：. 2.（多选）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 解: , 令得: , ， 所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 所以 有两个极值点 (为极大值点, 为极小值点), 故A正确; 又, 而; ; 所以仅有1个零点(如图所示), 故B错; 又, 所以关于对称, 故C正确; 对于D选项, 设切点 , 在处的切线为,即 ,若是其切线, 则， 则, 此时切点为, 切线方程直线, 所以D正确.故选: ACD. 3.（多选）函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，且，则 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 解：对选项 A: , . 函数在上为减函数, 则 解得, 正确; 对选项B: 函数的对称中心为, 则, , 错误; 对选项C: , ; 当 时, , 函数单调递增; 当 时, , 函数单调递减; 当 时, , 函数单调递增; , , , 故 , ; 要证, 即 ; 整理得到, , 不等式成立, 正确; 对选项D: 设切点为, 则 , , 则切线方程为, 将代入上式, 整理得, 方程有三个不同解; 设, 则 ; 当 时, , 函数单调递减; 当 时, , 函数单调递增; 当 时, , 函数单调递减; 极小值, 极大值, 故, 正确.故选: ACD. 4.（多选）已知三次函数，若函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. B. 有3个零点 C. 的对称中心是 D. 解: 由题设可知:，且, 所以, 整理得, 故,可得,故, 又,即, A正确; 有3个零点, B正确;由, 则,所以 关于对称, C错误; , D正确.故选: ABD. 5.(多选题)定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 的对称中心为. 则下列选项正确的有（ ） A. B. 的值是 C. 函数有一个零点 D. 过可以作三条直线与图象相切 解：易知的定义域为，可得, , 令,解得,因为函数的对称中心为, 所以,又，解得, 故选项A错误; 因为的对称中心为即, 令, 则, 所以, 解得, 故选项B正确;由选项知, , 可得, 当时, 单调递减; 当时, 单调递增; 当时, 单调递减, 则函数的极大值为, 极小值为, 又,即, 所以在和上存在零点,则函数有三个零点, 故选项C错误; 设切点为,则切线方程为, 因为切线过,所以 化简得令 函数定义域为 可得 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 因为 当 时, 当 时, 所以有个零点,即方程有个不等实根, 所以过可以作三条直线与图象相切, 故选项正确.故选: 6.对于三次函数给出定义:设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算: （ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 解: 由题意可知, .令, 则. 所以. 由题意可知函数的对称中心为. 所以, 即. 所以. 所以 . 所以.故选: . 7.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，为曲线的对称中心，则必有(其中函数).若实数满足，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 解: 令, 则, , 解得, . 函数的图像关于点成中心对称. . ,,故选: A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $