专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）】 2 【题型2 判断不含参函数的单调性】 3 【题型3 含参函数讨论单调性】 3 【题型4 根据函数的单调性求参数】 4 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 5 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 6 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 7 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 7 1、导数与函数的单调性 考点要求 真题统计 考情分析 (1)结合实例，借助几何直 观了解函数的单调性与导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) (3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 2024年北京卷：第20题，15分 2025年全国二卷：第18题，17分 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大，复习要加强训练. 知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略 1．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【解题方法与技巧】 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）】 【例1】（2025·全国·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断不含参函数的单调性】 【例2】（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）下列函数在上是单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【题型3 含参函数讨论单调性】 【例3】（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【变式3-1】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 【变式3-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【题型4 根据函数的单调性求参数】 【例4】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·河南·二模）已知函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 【例8】（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·新疆·模拟预测）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东威海·三模）已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数 分别是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 三、填空题 12．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 13．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 14．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数为增函数，求的值； 16．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 17．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 18．（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）】 2 【题型2 判断不含参函数的单调性】 4 【题型3 含参函数讨论单调性】 5 【题型4 根据函数的单调性求参数】 9 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 12 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 15 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 18 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 19 1、导数与函数的单调性 考点要求 真题统计 考情分析 (1)结合实例，借助几何直 观了解函数的单调性与导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) (3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 2024年北京卷：第20题，15分 2025年全国二卷：第18题，17分 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大，复习要加强训练. 知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略 1．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【解题方法与技巧】 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）】 【例1】（2025·全国·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【解答过程】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式1-1】（2025·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【解答过程】函数的定义域为，，令，解得：， 多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减. 故选：D. 【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D. 【变式1-3】（2025·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先利用导数求出函数在上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在上的单调性，即可判断. 【解答过程】当时，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 【题型2 判断不含参函数的单调性】 【例2】（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由奇函数的性质和导数逐一判断即可. 【解答过程】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为， 又，所以为减函数，故A错误； 对于B，，， 二者不相等，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为， ，为奇函数； ，为增函数，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）下列函数在上是单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导函数正负判断单调性判断A，C，D，根据对数复合型函数单调性判断B. 【解答过程】对于A，单调递减，有减区间，所以错误； 对于B．当时，单调递减，单调递增，所以当时单调递减，错误； 对于C．，在，故，错误； 对于D．在恒成立，正确， 故选：D． 【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【解答过程】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【解题思路】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【解答过程】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 【题型3 含参函数讨论单调性】 【例3】（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间及单调性. 【解答过程】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【变式3-1】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意和切线方程列方程求解实数的值． （2）首先求出，分类讨论利用导数的符号求出函数的单调区间； 【解答过程】（1）由，． 依题意， ， 解得 . （2）的定义域为，， 当时，恒有 ，故的单调递减区间为， ②当时，令，得， 由，得；由，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式3-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案； （2）求导，分、、、讨论，可得答案. 【解答过程】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【解答过程】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【题型4 根据函数的单调性求参数】 【例4】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【解答过程】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 【变式4-2】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案. 【解答过程】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式4-3】（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合条件根据单调性的定义可得函数在上单调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性，列不等式组求解即可. 【解答过程】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【解答过程】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项. 【解答过程】由可得 对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合； 对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则. 又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【解答过程】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 【变式5-3】（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】首先分析哪一个函数图象为、的图象，再根据导数的运算法则求出选项中的导函数，最后分析其正负，即可判断其单调性. 【解答过程】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为， ， 下面的曲线为，与的轴交点横坐标为， 由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势； 由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势； 又这两个函数图象为函数及其导函数的图象， 所以对应的是，对应的是； 所以当时，单调递减，且， 当时，单调递增，且当时，当时； 对于A、B：由，所以， 显然，当时，所以，则在上单调递减， 当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误； 对于C、D：，则， 显然，且当时，即， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【解答过程】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C. 【变式6-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造，先求导，根据导数正负判断单调性，得出单调性，再令，比较. 再构造，求导可知在递增，再令，得到大小即可. 【解答过程】令，则 ， 令，则，令，则，故在区间内单调递减，在区间内单调递增，故， 即，即，当且仅当时等号成立， 当时，由，得，所以，则，即． 令 ，则， 所以在区间内单调递增，即 ，即， 所以 ，即．故 ． 故选：D． 【变式6-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断函数的奇偶性，再分析其在时的单调性，同时分析函数的单调性，进而比较自变量的大小，最后根据的单调性得出函数值的大小关系． 【解答过程】因为，所以为偶函数， 当时，则，所以. 令，则， 令，解得；令0，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，可得，即在上恒成立，故在上单调递增. 令，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 又，所以，即， 所以，所以，即. 故选：D. 【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系. 【解答过程】由题意得，，代入得 ，解得，可得，， 令，， 可知在上，，在上单调递增， 在上，，在上单调递减，在处取得最大值，， 所以在上，则，所以在上单调递减， 设，可知， 则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即， 综上可知，，由在上单调递减得. 故选：D. 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数是偶函数列式得出函数解析式，再应用导函数判断函数单调性，最后结合单调性计算求解. 【解答过程】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 【变式7-1】（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得. 【解答过程】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】（2025·河南·二模）已知函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据解析式得到，即的图象关于对称，导数研究函数的区间单调性，利用对称性、单调性解不等式求参数范围. 【解答过程】若，则，故 ， 所以的图象关于对称， 当，有，则， 所以在上单调递增，故在上单调递减， 对于，则，可得， 所以. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【解答过程】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B. 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 【例8】（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解. 【解答过程】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 【变式8-1】（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【解答过程】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D. 【变式8-2】（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【解答过程】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． 【变式8-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先对原函数进行求导，根据题意导数小于0，然后根据正弦函数的性质确定其最值即可求出的取值范围. 【解答过程】由题意得在上恒成立， 则. 因为， 要使得不等式恒成立，则． 故选：D. 2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【解答过程】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数正负和函数单调性的关系得到函数的最小值和导函数的最大值即可求解. 【解答过程】观察函数图象发现在的左侧，，函数单调递增， 在的右侧，，函数单调递减，    所以由图函数的最小值为，解得， 故，求导得， 由图可知，故. 故选：B. 4．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误. 【解答过程】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【解答过程】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【解答过程】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【解答过程】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·新疆·模拟预测）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】利用导数求出函数的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【解答过程】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为和，减区间为， 若函数在上单调递减，则， 且成立，则，无解； 若函数在上单调递增， 则或， 即或，解得或， 故选：ACD． 10．（2025·山东威海·三模）已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数 分别是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据为奇函数可得及，求导后可判断AC的正误，对于B，由求导后可判断其正误，对于D，可证，故可得，由的单调性及对称性可判断D的正误. 【解答过程】因为为奇函数，故，令则， 因为故， 故，故A正确. 对于B，因为，则， 故，故B正确. 对于C，因为，， 故，故，故C错误. 对于D，因为为上的增函数，故， 而，故当时，，当时，， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 而，故为图象的对称轴， 故， 设，其中， 故为上的增函数，故， 故，故， 故，故 即，故D正确. 故选：ABD. 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【解题思路】由，即，可知函数图象关于直线对称，在上单调递减，根据对称性可得在上单调递增.对于A选项：根据单调性分析，该选项正确.对于B选项：对求导后令，判断该选项错误.对于C选项：分、、三种情况讨论，得出，该选项正确.对于D选项：根据单调性判断导数正负，得出，该选项正确. 【解答过程】因为，所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确； 对两边求导得，令，得，故B错误； 对于，当时，因为在上单调递减，所以，不符合题意； 当2时，因为在上单调递增，所以，且； 当时，因为，所以，所以，所以，由，可得， 因为，所以，又在上单调递增，所以，所以，故C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 当时，，且，所以，，所以对，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【解题思路】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【解答过程】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为：. 13．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【解答过程】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数为增函数，求的值； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）简化函数表达式，计算，求导函数并计算，利用点斜式写出切线方程； （2）求函数的导函数，分析导函数在不同区间的符号，建立不等式求解参数范围； 【解答过程】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为 （2） ， 因为函数为增函数，所以对所有成立， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当，，不等式恒成立，此时， 综上：. 16．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程； （2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性. 【解答过程】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 17．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【解题思路】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【解答过程】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 18．（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【解答过程】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解题思路】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【解答过程】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$