专题3.3 导数与函数的极值、最值（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题3.3 导数与函数的极值、最值（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 2 【题型2 求已知函数的极值（点）】 3 【题型3 根据极值（点）求参数】 4 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 4 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 4 【题型6 已知函数最值求参数】 5 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 6 1、导数与函数的极值、最值 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件 (2)会用导数求函数的极大值、极小值 (3)掌握利用导数研究函数最值的方法 (4)会用导数研究生活中的最优化问题 2023年新课标I卷：第11题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第11题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 2024年新课标Ⅱ卷：第11题，6分、第16题，15分 2025年全国一卷：第19题，12分 2025年全国二卷：第10题，6分、第13题，5分、第18题，12分 2025年北京卷：第20题，15分 2025年上海卷：第19题，14分 导数与函数是高中数学的核心内容，高考对最值、极值的考查相对稳定，是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的极值和最值问题；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大，复习时需要加强练习. 知识点1 函数的极值问题的求解思路 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 知识点2 函数的最值问题的解题策略 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【方法技巧与总结】 1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例1】（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【变式1-1】（2025·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【变式1-3】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【题型2 求已知函数的极值（点）】 【例2】（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【变式2-1】（2025·浙江·模拟预测）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）函数在区间上所有极值点的和为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为6，则实数a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·浙江台州·二模）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 【例4】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西渭南·二模）函数的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 【例5】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【变式5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【变式5-3】（2025·河南驻马店·二模）已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 【题型6 已知函数最值求参数】 【例6】（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式6-1】（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【变式6-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例7】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【变式7-1】（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）函数的两个极值点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知. (1)若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)设的最小值为. （i）求的解析式； （ii）证明：的最大值为2. 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 2．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 7．（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2025·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 二、多选题 9．（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 11．（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 三、填空题 12．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 13．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 . 14．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 16．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 17．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18．（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值点； (2)已知有两个极值点，证明：． 19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 导数与函数的极值、最值（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 2 【题型2 求已知函数的极值（点）】 4 【题型3 根据极值（点）求参数】 6 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 9 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 11 【题型6 已知函数最值求参数】 15 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 18 1、导数与函数的极值、最值 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件 (2)会用导数求函数的极大值、极小值 (3)掌握利用导数研究函数最值的方法 (4)会用导数研究生活中的最优化问题 2023年新课标I卷：第11题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第11题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 2024年新课标Ⅱ卷：第11题，6分、第16题，15分 2025年全国一卷：第19题，12分 2025年全国二卷：第10题，6分、第13题，5分、第18题，12分 2025年北京卷：第20题，15分 2025年上海卷：第19题，14分 导数与函数是高中数学的核心内容，高考对最值、极值的考查相对稳定，是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的极值和最值问题；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大，复习时需要加强练习. 知识点1 函数的极值问题的求解思路 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 知识点2 函数的最值问题的解题策略 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【方法技巧与总结】 1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例1】（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【解答过程】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 【变式1-1】（2025·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解题思路】求出函数的导数，结合函数的图象特征确定各项系数的正负. 【解答过程】函数，求导得， 观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且， 函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A； 由，得则，，得，排除C； 由不等式的解集为，得，即，排除B； 又是方程的二根，，则，选项D符合题意. 故选：D. 【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解题思路】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可. 【解答过程】根据导函数的图象可知， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C. 【题型2 求已知函数的极值（点）】 【例2】（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【解题思路】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解. 【解答过程】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C. 【变式2-1】（2025·浙江·模拟预测）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值. 【解答过程】， 记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B. 【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）函数在区间上所有极值点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数进行求导，根据导数为得，再根据余弦值相等的角的关系求得的值，利用二阶导验证所求是否都是极值点，再加和即可得解. 【解答过程】， 由 或， ①对于，当且仅当时，此时符合题意. ②对于，时符合题意，此时，，. 当或或时，， 当或时， 则是的一个极大值点； 是的一个极小值点； 是的一个极大值点；是的一个极小值点. 故所有极值点的和为. 故选：C. 【变式2-3】（2025·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可. 【解答过程】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 故选：C. 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为6，则实数a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解题思路】先根据导数求出函数的极小值，结合已知的极小值可求参数的值. 【解答过程】， 当或时，；当时，， 故的极小值点为，故极小值为， 结合题设可得即， 故选：A. 【变式3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导后分的取值范围讨论函数的单调性，当，求出函数的隐零点，即可求出极大值点从而得到，再次构造函数，利用导数分析单调性可得. 【解答过程】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：C． 【变式3-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】函数有两个极值点，只需导函数有两个不同的根，求导反解参数，得到只需有两个不同的根，引入函数，求导研究其单调性，数形结合得到答案. 【解答过程】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 【变式3-3】（2025·浙江台州·二模）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以， 因为函数既有极大值，又有极小值， 则关于的方程有两个不等的正根、， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 【例4】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【解答过程】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B. 【变式4-1】（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数导数，判断函数单调性，即可求得函数极值，即可求得答案. 【解答过程】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B. 【变式4-2】（2025·陕西渭南·二模）函数的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分，，三种情况结合导数分析函数单调性求解即可. 【解答过程】当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，， 函数在上单调递增，则； 当时，， 则，函数在上单调递增， 则. 综上所述，函数的最小值为6. 故选：A. 【变式4-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先分析函数的正负性，进而得出，再构造函数，研究其最小值即可. 【解答过程】令，则， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 由，知，所以， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在当上单调递增， 所以，故的最小值为. 故选：D. 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 【例5】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【解题思路】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【解答过程】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【变式5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【解答过程】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【解题思路】（1）求导，利用导数判断的单调性； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性和最值. 【解答过程】（1）令，且，解得， 可知的定义域为，且， 因为，且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减. （2）由（1）可知：的定义域为，且， 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为； 若，令，解得或； 令，解得或； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 所以的最大值为； 综上所述：若，的最大值为； 若，的最大值为. 【变式5-3】（2025·河南驻马店·二模）已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性，求解最值即可； （2）当时，恒成立，分离参数，构造函数，利用导数分析函数的单调性求出最大值，即可得解. 【解答过程】（1）由题意得的定义域为， 当时，， 所以在区间内单调递减，无最大值，无最小值； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 故当时，取得最小值，且最小值为，无最大值. 综上，当时，无最大值，无最小值； 当时，的最小值为，无最大值. （2）当时，由， 得， 整理得， 即. 令， 则 ， 由（1）知，当时，的最 小值为， 即恒成立， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 【题型6 已知函数最值求参数】 【例6】（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】令，构造，应用导数及分类讨论研究函数的最值，结合已知最小值求参数即可. 【解答过程】令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符； 当时，令，则， 若，时，，则在上单调递增，故，不符； 若，时， 在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增， 所以，则， 可得，又，可得； 综上，. 故选：A. 【变式6-1】（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式6-2】（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) 【解题思路】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 【变式6-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知对函数求导，令导数大于0即可求解； （2）求导，分和三种情况，讨论的最大值，即可求解． 【解答过程】（1）当时，， 其定义域为， ， 令，解得， 函数的增区间为． （2）由，得， 若，则，单调递增； 若，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，即，不满足题意， 综上，的取值范围是. 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例7】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【解题思路】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【解答过程】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）函数的两个极值点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值. 【解答过程】由函数，，令， 则，因为函数两个极值点， 则①，②，得③，设， 则且，代入③得，， 设，则， 设，则 ，在单调递减，， 从而，在单调递减，，， 故的最小值为． 故选：A. 【变式7-2】（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)0 【解题思路】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解； （2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证； （3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【解答过程】（1）求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知. (1)若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)设的最小值为. （i）求的解析式； （ii）证明：的最大值为2. 【答案】(1)，是的极小值点 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）对求导，根据算出值，再分析导数正负确定单调性，进而得到极小值点. （2）（i）先对求导，令导数为求出极值点，根据导数正负判断单调性，得出表达式. （ii）要证最大值为，先注意到，将问题转化为证明，构造函数，对其求导判断单调性，得出，从而证明不等式，得出最大值为. 【解答过程】（1）由，且，得. 当时，在上单调递减，上单调递增， 所以是的极小值点. （2）（i），令，得，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以． （ii）证明：注意到，要证的最大值为2，只需证明， 即证，即，等价于. 设函数 ， 则，令，得，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， ，即得证. 综上所述，的最大值为2. 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 2．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【解答过程】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【解答过程】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 4．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分段函数思想，结合函数的性质分析，可得函数在对称轴和分界点两处取得极值，列出不等式组，解之即得. 【解答过程】因时，，函数图象的对称轴为， 当时，函数在时取得极大值， 又因时，，且， 由函数的性质，可知要使还有一个极值，那就是， 所以必须使， 则由，可得. 故选：A. 5．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先对原函数求导，根据已知条件求出的值，进而求出原函数的表达式，再利用基本不等式或二次函数的性质求导函数的最小值. 【解答过程】因为在时取极小值， 所以在处成立. 即：，所以. 当时，， 当时，，当时，， 所以在时取得极小值，故. 所以原函数表达式为：. 导函数的表达式为： 因为，所以根据基本不等式. 所以导函数的最小值为：. 故选：C. 6．（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】C 【解题思路】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【解答过程】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C. 7．（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【解答过程】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C. 8．（2025·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【解题思路】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【解答过程】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故在上单调递增，则AB显然错误； 对于CD，， 由图象可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C. 二、多选题 9．（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】由题意可和得有两个根，令，可导可得在单调递增，在单调递减，进而可得. 【解答过程】函数的定义域为， 由已知得：有两个变号的零点，即：有两个根， 令，则，又在上单调递减，且时， 令得：，所以在单调递增； 令得：，所以在单调递减； 所以在处取得极大值，而时，，时，， 所以，要使函数有两个极值点，则， 故选：BC． 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解题思路】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解答过程】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 11．（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 【答案】AC 【解题思路】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC；有单调性举反例当可判断D. 【解答过程】对于A，， 当时，，有唯一零点； 当时，恒成立，函数单调递增， 当时，，当时，，由零点存在定理可得有唯一的零点， 综上时，有唯一的零点，故A正确； 对于B、C，令，可得， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极大值，故B错误，C正确； 对于D，因为，所以， 由B选项可得当，函数取得极大值，此时， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 【答案】 【解题思路】求出函数的导数，讨论其符号可得函数的极小值点，故可得极小值. 【解答过程】由题意可得， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故. 故答案为：. 13．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【解题思路】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【解答过程】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】应用同构得出函数，再根据最小值得出有解，进而得出. 【解答过程】 ， 令， 原式可化为， 当单调递增，当单调递减， 当且仅当时，取得最小值1， 所以有解， 即有解. 记， 当在单调递增，当在单调递减， 故，且当， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过原点求出参数的值； （2）在时，对求导，利用零点存在定理判断其单调性，借助于导函数的零点，即可化简转化，求得的最大值. 【解答过程】（1）的定义域为，则． ，则． 所以曲线在点处的切线方程为． 依题意，将点代入切线方程，解得． （2）当时，，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 故存在，使得，即，所以，即， 当时，故在上单调递增， 当时，故在上单调递减， 所以， 故的最大值为4． 16．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【解题思路】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【解答过程】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 17．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【解题思路】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18．（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值点； (2)已知有两个极值点，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，无减区间，无极值点 (2)过程见解析. 【解题思路】（1）求导，研究导函数的正负性即可判断其单调性； （2）为的两根，化简得出，令，则，构造函数即可求证. 【解答过程】（1）当时，，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，故的单调递增区间为，无减区间，无极值点. （2）因有两个极值点，则为的两根， 即，即， 即， 令，则，， 则， 欲证，只需证， 令，则， 故在上单调递增，则，则成立， 故得证. 19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解题思路】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【解答过程】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$