精品解析：陕西省榆林市绥德县2025-2026学年上学期八年级1月期末数学题

2025~2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、考号和座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，掌握负整数指数幂的运算性质是正确计算的前提．根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，与点关于 轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的特征，理解题意是解决本题的关键．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标取相反数， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为2，纵坐标为， ∴对称点为， 故选：A． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除、同底数幂相乘、零指数幂和平方差公式，熟悉各种运算法则是解决本题的关键． 根据同底数幂相除、同底数幂相乘、零指数幂和平方差公式逐一判断各选项． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 如图，在中，点 在边 上，连接 ，且，则 的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出 ，结合已知则可求出，最后求出 的周长即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 又， ∴， 又 ， ∴ 的周长是， 故选：A． 6. 若关于x的方程无解，则m的取值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程无解， ∴ ， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 如图，在与中，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和等边对等角，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据题意可得，进而证明，则 ，可得 ，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 又∵， ， ∴， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，是 的平分线， 是中线，、 相交于点 ， 于 ，若， ，若 的面积是 ，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过 作 于 ，由角平分线的性质推出 ，求出，由三角形的面积公式得到 的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过 作 于 ， ∵是 的平分线， ， ∴ ， ∵ 是中线， ， 的面积是 ， ∴， 的面积的面积， ∵ 的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 钾—氩测年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素40K的丰度为 ．数据 用科学记数法表示为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，对于绝对值小于1的数，科学记数法形式为，其中 ，n为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零），正确的确定的值即可. 【详解】解： . 故答案为： 10. 如图，在等边中， ， 是 中点，于 ，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了含30的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由等边可得 ，由可得，因为 是 中点， ，所以，问题可解． 【详解】解： 等边中， ． 于 ， ， ， 是 中点， ， ． 11. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 、、 ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 、 可分别绕轴和 转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为______（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆 上接上新的篱笆长度为，由，求出 的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆 上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为 ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求完全平方式中的字母系数，解题关键是掌握完全平方公式分解因式． 根据完全平方公式，将表达式与匹配，比较系数求． 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解，且，， ∴， ∴比较系数得， 故答案为：． 13. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资 万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了 ，并比原计划多改造了 间教室，总投资追加了 万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了 ，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得： ， 经检验： 是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是 万元； 故答案为： ． 14. 如图，在四边形 中，，点 在边上，且 的垂直平分线经过点 ，点 在 边上，且 ，连接，且，延长 交的延长线于点 ，已知，则 的长为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线． 连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再证明，结合垂直平分 的性质，进而求出 的长度． 【详解】解：连接，如图， 点 在的垂直平分线上， ， ， ，， 点 是 中点， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：1． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握分解因式的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式法分解因式． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．熟悉通过统一分母，去分母，移项、合并同类项等方法解分式方程是解题的关键． 先统一分母：根据两个分母互为相反数的关系，先统一分母；之后去分母化为整式方程：方程两边同乘最简公分母， 最后检验：将解得的根代入原分式方程的分母验证，确保分母不为（避免增根）． 【详解】解：， 统一分母，得：， 分式相减，得：， 去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为 ，得：， 检验：将代入， ∴是原方程的根． 故答案为：． 17. 如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线 的距离和点P到射线 的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线和线段的垂直平分线，以及角平分线和线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作平分线和线段的垂直平分线的步骤． 根据得到点 在线段的垂直平分线上，由点P到射线 的距离和点P到射线 的距离相等，得到点 也在的平分线上，则交点即为点 ，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可． 【详解】解：如图，点 即为所求； 18. 如图，E、A、C三点共线，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE． 求证：AB∥CD． 【答案】 证明：在△BAC和△ECD中， ， ∴△BAC≌△ECD（SAS）， ∴∠BAC=∠ECD， ∴AB∥CD． 【解析】 【分析】首先利用SAS定理证明△BAC≌△ECD，然后根据全等三角形对应角相等求得∠BAC=∠ECD，再根据内错角相等可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得， 所以化简式为，值为 ． 20. 如图，在中，是 边上的高，过点 作 交 于点 ， ，，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，三角形内角和定理的应用，与三角形的高有关的计算问题等知识点，解题关键是掌握平行线的性质和三角形内角和定理． 先利用两直线平行同位角相等，求得，再根据是 边上的高，结合三角形内角和定理求得，从而可利用两角的差求得 ． 【详解】解：因为， ， 所以， 因为是 边上的高， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 21. 综合实践 【实践课题】测量湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，使得在同一条直线上，且，当在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出 的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】求湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离 ． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是掌握证明三角形全等． 先利用 证明，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵当D，B，P在同一条直线上时，A，B，C在同一条直线上， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴． 答：湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 22. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区准备购进 型和 型两种垃圾桶，已知购买一个 型垃圾桶比购买一个 型垃圾桶多花20元，用250元购进 型垃圾桶的数量与用350元购进 型垃圾桶的数量相等．求购买一个 型垃圾桶、一个 型垃圾桶各需多少元？ 【答案】购买一个 型垃圾桶需50元，购买一个 型垃圾桶需70元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设购买一个 型垃圾桶需 元，则购买一个 型垃圾桶需元，根据题意建立分式方程，解方程求出 的值，由此即可得． 【详解】解：设购买一个 型垃圾桶需 元，则购买一个 型垃圾桶需元， 由题意得：， 解得 ， 经检验， 是所列分式方程的解， 则， 答：购买一个 型垃圾桶需50元，购买一个 型垃圾桶需70元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． （1）请在图中作出关于轴对称的图形 （点的对应点分别是点），并写出 的坐标； （2）请在图中作出关于 轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的对称，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形 ，再写出 的坐标； （2）利用轴对称的性质，作出关于 轴对称的图形． 【小问1详解】 解：如图，作出关于轴对称的图形 ， 即为所求作，； 【小问2详解】 解：作出关于 轴对称的图形，如图， 即为所求作． 24. 如图，在 中，， 平分 ，交 于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边 的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是 的中点， 是边 的中线， 是等边三角形， ． 25. “小菜园”是某中学设立的特色劳动课课程之一．如图，初二（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． （1）求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含的代数式表示并化为最简）； （2）当时，求种植青椒区域的面积． 【答案】（1）平方米 （2）275平方米 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用矩形面积减去小正方形面积，再利用完全平方公式与多项式乘以多项式化简即可； （2）将字母代入（1）化简的结果，再计算出结果即可． 【小问1详解】 解：阴影部分面积为 ； 【小问2详解】 解：当， 时， 阴影部分面积为平方米． 26. 小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，若 ，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在中，点 在 边上，连接 ，且 ，线段与线段 关于所在直线对称，点 的对应点为点 ，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地 上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域， 为光伏逆变器安装区域， ， ，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即 的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时， 的度数． 【答案】（1）45；（2）；（3） 的度数为 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由 ，则，又线段与线段 关于直线对称，故有 ，从而得，然后通过角度和差即可求解； （3）分别作D关于直线 、 的对称点G、H，连接，交 、 于点M、N，连接， ， ，由 的周长为，则当点H、E、F、G共线时， 的周长最小，即E与M重合，F与N重合，由对称性可知，，由，可得，从而可求得，进而可得，从而可求得，根据平角定义可得． 【详解】（1）解：∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 故答案为：45； （2）解：，理由如下： ∵ ， ∴， ∵线段与线段 关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，分别作D关于直线 、 的对称点G、H，连接，交 、 于点M、N，连接， ， ， ∴， ， ∵ 的周长为， ∴当点H、E、F、G共线时， 的周长最小，即E与M重合，F与N重合，如图， 由对称性可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的周长最小时， 的度数为 ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的两个锐角互余，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、考号和座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 9 2. 如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，点 在边上，连接 ，且，则的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 6. 若关于x的方程无解，则m的取值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 7. 如图，在 与中，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是 的平分线， 是中线，、 相交于点 ， 于，若， ，若 的面积是 ，则的长为（    ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 钾—氩测年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素40K的丰度为 ．数据 用科学记数法表示为______________ 10. 如图，在等边 中， ， 是中点，于 ，则_____． 11. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、 ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、 可分别绕轴和 转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为______（写一个即可）． 12. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为__________． 13. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资 万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了 ，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了 万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 14. 如图，在四边形中，，点 在边上，且的垂直平分线经过点 ，点在 边上，且 ，连接，且，延长 交的延长线于点 ，已知，则的长为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 分解因式：． 16. 解方程：． 17. 如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线 的距离和点P到射线 的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 18. 如图，E、A、C三点共线，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE． 求证：AB∥CD． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在 中，是 边上的高，过点 作 交于点 ， ，，求 的度数． 21. 综合实践 【实践课题】测量湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，使得在同一条直线上，且，当在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出 的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】求湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离 ． 22. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区准备购进 型和 型两种垃圾桶，已知购买一个 型垃圾桶比购买一个 型垃圾桶多花20元，用250元购进 型垃圾桶的数量与用350元购进 型垃圾桶的数量相等．求购买一个 型垃圾桶、一个 型垃圾桶各需多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为． （1）请在图中作出 关于轴对称的图形 （点的对应点分别是点），并写出 的坐标； （2）请在图中作出 关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 24. 如图，在 中，， 平分 ，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 25. “小菜园”是某中学设立的特色劳动课课程之一．如图，初二（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． （1）求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含的代数式表示并化为最简）； （2）当时，求种植青椒区域的面积． 26. 小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在 中，，若 ，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在 中，点 在 边上，连接 ，且 ，线段与线段 关于所在直线对称，点 的对应点为点 ，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地 上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域， 为光伏逆变器安装区域， ，，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即 的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时， 的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $