精品解析：江苏省泰州市靖江市实验学校2025-2026学年九年级上学期周测 8数学试题 （抛物线）

2025-2026 实验学校 九年级数学课堂练习抛物线 周测 一、选择题：每题5分 1. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0， B. 2，，0 C. 2，3，0 D. 2，0，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 2. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图像大致是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一次函数与二次函数图象的综合，熟悉这两种函数的图象与性质是关键．根据二次函数开口方向、一次函数的升降，分别讨论和的情况下的函数图像，即可判断出正确答案． 【详解】解：若，则开口向上，斜率为负，B选项符合； 若，开口向下，斜率为正，没有符合的选项； 综上所述，只有B选项符合其中一种情况， 故选：B． 3. 已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 4. 抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. c的值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，不合题意； 根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，不合题意； 所以，当时，随的增大而减小，故C不正确，符合题意； 当时，，所以，c的值为，故D正确，不合题意； 故选：C． 5. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 6. 如图（1）所示， 为矩形的边上一点， 动点同时从点出发， 点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是/秒，设同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①，②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】图（2）中，点坐标为，此时点用5秒运动到点处，的面积为，根据运动的速度都是可得，那么高；根据勾股定理可得长；点的坐标为，此时点运动到，用时2秒，那么长，则，所以①正确；，故②正确；当时，点在上，用表示出的面积，看③是否正确；秒时，点在上，已经停止在点处，画出相关图形，判断和是否相似即可得到④是否正确． 【详解】解：∵点坐标为， ∴点用5秒运动到点处，的面积为． ∵点的运动速度都是． ∴（）． ∵的面积为， ∴（）， ∴（）， ∵点的坐标为， ∴点从一开始运动到，共用时7秒． ∴点从点运动到点用时2秒． ∴． ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故②正确； 当时，点在上， 作于点M． ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴ 故③错误； 秒时，点在上，已经停止运动，在点处， ∴点运动的路程为． ∴（）， ∴（）， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，三角函数，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 二、填空题 7. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】令抛物线中， 即， 解得， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值． 8. 将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，先向右平移4个单位，将替换为；再向上平移2个单位，整个函数加2，得到新函数后展开为标准形式，确定系数b和c，再计算即可． 【详解】解：将的图象向右平移4个单位，得，再向上平移2个单位，得，展开得， 则， 故答案为：10． 9. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 【答案】5 【解析】 【分析】由， 可得当时，函数取最大值，从而可得答案. 【详解】解： ， 当时，最大高度为 所以从点火升空到引爆需要的时间为5s. 故答案为：5 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解函数取得最大值时的值是解本题的关键. 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 11. 已知在一次函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，根据一次函数的性质，y随x增大而增大，可得；根据二次函数与x轴有两个交点，可得对应一元二次方程的判别式大于0，即。因此m的取值范围为，整数m为1、2、3，求和即可． 【详解】解：∵一次函数中，y的值随x的增大而增大， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，解得， ∴， ∵m为整数， ∴m可取1、2、3， ∴满足条件的整数m的值之和为， 故答案为：6． 12. 如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可． 【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 三、解答题 13. 在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点，代入可得，，结合，再建立方程求解即可； （2）由可得函数最小值，再分别计算，时的函数值，从而可得答案. 【小问1详解】 解：将点，代入， 得，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的利用图象性质求解函数值的取值范围是解本题的关键. 14. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的对称轴是______________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出大致图象； （3）若点是此函数图象上一点，以为圆心，3为半径画，当与轴相切时，请直接写出所有符合条件的点坐标_________________________． 【答案】（1）直线 （2）列表， … 0 1 2 3 … … 0 0 … 描点，连线，如下图： （3）或或或 【解析】 【分析】（1）化为顶点式求解即可： （2）列表描点连线即可； （3）结合题意可得，满足条件的且在函数图象上的点的纵坐标绝对值为3，设点，列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）略 （3）设点， ∴与轴相切，3为半径， ∴， ①， 解得， 此时或 ； ②， 解得， 此时或； 则符合条件的点坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点评】本题考查的知识点是函数值的计算，描点法画图象、切线的性质定理、一元二次方程的实际应用，解题关键是理解当与轴相切时，点纵坐标的绝对值等于圆的半径． 15. 根据对徐州市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图②所示. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时 获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y1=0.6x； y2=-0.2x2+2.2x；（2）甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. 【解析】 【分析】（1）把（5，3）代入正比例函数即可求得k的值也就求得了的关系式；把原来及（1，2），（5，6）代入即可求得的关系式； （2）销售利润之和W=甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可． 【详解】解：（1） （2）， 即 所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. 考点：（1）二次函数的应用；（2）一次函数的应用． 16. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； （3）如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【小问1详解】 解：将点、代入得：， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点， 平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 实验学校 九年级数学课堂练习抛物线 周测 一、选择题：每题5分 1. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0， B. 2，，0 C. 2，3，0 D. 2，0，3 2. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图像大致是（） A. B. C. D. 3. 已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. c的值为 5. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（ ）     A. B. C. D. 6. 如图（1）所示， 为矩形的边上一点， 动点同时从点出发， 点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是/秒，设同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①，②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题 7. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 8. 将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为，则的值为______． 9. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是________． 11. 已知在一次函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为________． 12. 如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 三、解答题 13. 在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围． 14. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的对称轴是______________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出大致图象； （3）若点是此函数图象上一点，以为圆心，3为半径画，当与轴相切时，请直接写出所有符合条件的点坐标_________________________． 15. 根据对徐州市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图②所示. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时 获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 16. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； （3）如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $