精品解析：陕西省榆林市横山区2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

2025~2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．开 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据根的意义，将根代入方程，求出的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：B． 2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得到答案． 【详解】解：从上面看得到的是， 故选：D． 3. 陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（ ） A. 9个 B. 15个 C. 24个 D. 21个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率，摸到“黄柏”的频率稳定在0.3，即概率约为0.3，从而计算个数． 【详解】解：∵ 摸到“黄柏”的频率稳定在0.3， ∴估计摸到印有中药“黄柏”图案的小球的概率为0.3， 又∵ 总小球数为30， ∴估计箱子中印有中药“黄柏”的小球的个数为个， 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 7. 如图，四边形是矩形，延长至点，连接分别交边、对角线于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、平行线分线段成比例以及相似三角形的判定与性质，通过证明三角形相似得到对应边成比例，并利用已知比例求解未知线段比是解题的关键． 根据，，利用对应边成比例，求解即可． 【详解】解：在矩形中，，即， 所以， 因为， 所以， 所以， 设，则，， ， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以​， 所以， 故选：A． 8. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B. 直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C. 由图象可知，当时， D. 当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、将分别代入两个解析式得，，所以两个函数图象在第一象限的交点坐标为，正确，不符合题意； B、将分别代入两个函数解析式，得，，则，正确，不符合题意； C、当时，；当时，，故原说法错误，符合题意； D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意； 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 横山是历史悠久的革命老区．横山起义纪念碑在路灯灯光下的投影为______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，解题关键是掌握中心投影． 根据中心投影的意义求解即可． 【详解】解：平行投影由平行光线形成，如阳光；中心投影由点光源发出的放射状光线形成． 路灯灯光为点光源，因此纪念碑的投影为中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知四边形四边形，且四边形与四边形的面积比为，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据面积比求出相似比，再根据周长比求周长． 【详解】解：∵ 四边形四边形，且面积比为， ∴四边形与四边形的相似比为， ∵相似比等于周长比， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵ 四边形的周长为4， ∴ 四边形的周长为1． 故答案为：1． 11. 为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，理解题意找到等量关系是解题关键． 劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可知，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，点、分别是反比例函数和反比例函数的图象上的点，连接、、，已知轴，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握比例系数的几何意义是解题关键． 设与轴的交点为点，根据反比例函数比例系数的几何意义，求出和的面积，相加即得的面积． 【详解】解：如图，设与轴的交点为点， ∵轴， ∴轴， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ，， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，在边长为2的菱形中，，连接、，点、分别在线段、边上，连接、，过点向上方作，且，连接，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在菱形中，，，，通过平行线的性质可以证明出．结合，，可以证明出，因此．，当、、三点共线时，取到最小值．由可得，是等边三角形，则，在直角中，使用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当、、三点共线时，取到最小值， 在直角中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选用合适的解法进行解答是解题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 配方，得， 或， 解得． 16. 已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】不在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好反比例函数图象上的点的特征是解题关键． 将点代入函数解析式，求出m后，计算当时，是否为1． 【详解】解：不在，理由如下： 将点代入中，得， 解得，则， 令，则， ∴点不在该反比例函数的图象上． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形，使得与的相似比为（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查位似作图，掌握好位似的性质是关键． 根据位似比，连接、、，分别取、、的中点，即为点、、，连接成即可． 【详解】解：如图，即为所求． 18. 如图，是的角平分线，，请你用尺规作图法在射线上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图——作垂线，相似三角形的判定，根据题意正确作图是解题关键．由角平分线的定义可得，若，则，即过点作射线的垂线，垂足为． 【详解】解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） 19. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，根据正方形的性质证明，全等的性质和等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，然后证明，从而可得． 【详解】证明：由旋转得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎从四张卡片中随机抽取一张不放回并猜卡片上字谜的谜底，小麦再从剩下的三张中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底．已知小虎只能猜出卡片上的谜底；小麦只能猜出卡片上的谜底． （1）小虎猜不出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）用小虎猜不出卡片上的字谜的卡片数除以卡片总数即可得到答案； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，每张卡片被抽取的概率相同，其中小虎猜不出卡片上的字谜的卡片有B和C， ∴小虎猜不出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知：一共有12种等可能的结果，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果有2种， （小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底）． 21. 水箱是一种储存水的容器，在各个领域都有广泛用途．某水箱的容量一定，注入水的流量与注满水箱的时间成反比例关系，且当时，． （1）求关于的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）当时，求水流量的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）设P与t之间的函数表达式为，根据当时，，代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， ∵当时，， ， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入中， 得， 水流量的值为． 22. 鸿门寺塔，又称响铃塔，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小刚在周末利用所学知识测量了鸿门寺塔的高度（如图）．小刚在点处竖立一根高为1.8米的标杆，某一时刻，鸿门寺塔在阳光下的影子顶端与标杆在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后，小刚从点处沿方向移动12米到达点处（即米），在点处竖立一个高为1米的测角仪，测得，经测量得知米．已知，，，，点、、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚求出鸿门寺塔的高度． 【答案】27米 【解析】 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，根据矩形的性质与判定求线段长，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先证明四边形为矩形，根据矩形的性质得出，，再证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得，从而可求得鸿门寺塔的高度为27米． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴鸿门寺塔的高度为米． 23. 横山大明绿豆是陕西省横山县的特产，也是国家地理标志产品，被誉为粮食中的“绿色珍珠”．某网店销售成本为30元/袋的横山绿豆，当售价为60元/袋时，每天可售出100袋．为了迎接元旦，该网店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，每袋横山绿豆的售价每降低1元，每天可多售出10袋．现要使销售该种横山绿豆平均每天盈利3960元，并尽可能扩大销售量，求每袋横山绿豆的售价应降低多少元？ 【答案】每袋横山绿豆的售价应降低12元 【解析】 【分析】、 本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，寻找等量关系并列方程是解题关键． 设每袋横山绿豆的售价降低元，根据题意，每天的销量会增加袋，即每天销售袋，根据每天盈利3960元，列方程并求解即可． 【详解】解：设每袋横山绿豆的售价降低元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能扩大销售量， ∴， 答：每袋横山绿豆的售价应降低12元． 24. 如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）答案见详解； （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴菱形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数的图象上的点，连接、，已知的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识的解题关键． （1）将点代入一次函数表达式，求出，再将代入反比例函数表达式求出的值； （2）利用一次函数的表达式求出点C的坐标，根据的面积为3，求出点P的横坐标，代入反比例函数求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入一次函数，得， ， ∴点A的坐标为， 将代入反比例函数，得， ， 解得，， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴，即或， 在反比例函数中，当时，； 当时，， ∴点的坐标为或． 26. 【问题探究】 （1）与的位置如图所示，连接，，已知． 如图，若，求的值； 如图，分别延长、交于点，交于点，若，，，求的长； 【问题解决】 （2）某建筑设计师计划为一个展览馆设计屋顶结构，其中主支架与辅助支架在图纸上的位置如图所示，且．主支架为等腰三角形，，，连接、，且，连接并延长交于点．实际测量得知支撑杆米，连接杆米．现在需要计算横杆的长度，以便进行材料的切割与安装，请你帮助设计师计算横杆的长度．（支撑杆、连接杆及横杆的宽度均忽略不计） 【答案】（1）；；（2）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，解题关键是发现图中的相似三角形． （1）根据，得到，，从而得到，，证明，即可得解；通过证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）通过证明，，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）， ，， ，，即， ， ． 由得， ， 又， ，即， 由得， ， ， ， ， ， ， ，即， （负值已舍去）． （2）， ，即， ，为等腰三角形， ，， ，，即，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 即横杆的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．开 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（ ） A. 9个 B. 15个 C. 24个 D. 21个 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是矩形，延长至点，连接分别交边、对角线于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B. 直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C. 由图象可知，当时， D. 当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 横山是历史悠久的革命老区．横山起义纪念碑在路灯灯光下的投影为______投影．（填“平行”或“中心”） 10. 已知四边形四边形，且四边形与四边形的面积比为，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 11. 为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 13. 如图，点、分别是反比例函数和反比例函数的图象上的点，连接、、，已知轴，则的面积为______． 14. 如图，在边长为2的菱形中，，连接、，点、分别在线段、边上，连接、，过点向上方作，且，连接，若，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形，使得与的相似比为（点、、的对应点分别为点、、）． 18. 如图，是的角平分线，，请你用尺规作图法在射线上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 20. 字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎从四张卡片中随机抽取一张不放回并猜卡片上字谜的谜底，小麦再从剩下的三张中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底．已知小虎只能猜出卡片上的谜底；小麦只能猜出卡片上的谜底． （1）小虎猜不出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 21. 水箱是一种储存水的容器，在各个领域都有广泛用途．某水箱的容量一定，注入水的流量与注满水箱的时间成反比例关系，且当时，． （1）求关于的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）当时，求水流量的值． 22. 鸿门寺塔，又称响铃塔，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小刚在周末利用所学知识测量了鸿门寺塔的高度（如图）．小刚在点处竖立一根高为1.8米的标杆，某一时刻，鸿门寺塔在阳光下的影子顶端与标杆在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后，小刚从点处沿方向移动12米到达点处（即米），在点处竖立一个高为1米的测角仪，测得，经测量得知米．已知，，，，点、、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚求出鸿门寺塔的高度． 23. 横山大明绿豆是陕西省横山县的特产，也是国家地理标志产品，被誉为粮食中的“绿色珍珠”．某网店销售成本为30元/袋的横山绿豆，当售价为60元/袋时，每天可售出100袋．为了迎接元旦，该网店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，每袋横山绿豆的售价每降低1元，每天可多售出10袋．现要使销售该种横山绿豆平均每天盈利3960元，并尽可能扩大销售量，求每袋横山绿豆的售价应降低多少元？ 24. 如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数的图象上的点，连接、，已知的面积为3，求点的坐标． 26. 【问题探究】 （1）与的位置如图所示，连接，，已知． 如图，若，求的值； 如图，分别延长、交于点，交于点，若，，，求的长； 【问题解决】 （2）某建筑设计师计划为一个展览馆设计屋顶结构，其中主支架与辅助支架在图纸上的位置如图所示，且．主支架为等腰三角形，，，连接、，且，连接并延长交于点．实际测量得知支撑杆米，连接杆米．现在需要计算横杆的长度，以便进行材料的切割与安装，请你帮助设计师计算横杆的长度．（支撑杆、连接杆及横杆的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $