2.1不等式及其性质（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

2.1不等式及其性质 题型一 判断是否是不等式 1．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 用不等式表示数量关系 1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）用适当的式子表示与的和是负数： ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 题型三 不等式的解集 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 7．（24-25七年级下·湖北随州·期末）写出一个解集为的不等式： ． 题型一 不等式的性质 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知，则下列事件中随机事件的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知， 是两个有理数，，，对于下列三个结论：（1）且；（2）；（3）且．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 题型二 作差法比较大小 1．（18-19八年级下·山东聊城·期中）已知：；，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 题型三 不等式的应用 1．（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西玉林·期中）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆，可分别绕轴和转动．若要刚好围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 题型一 不等式及其性质综合 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 2．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）对于任意实数a，b，都有，特别地，当a，b都为正数时，有，当且仅当时等号成立．已知，，且，则下列说法正确的是（   ）（多选） A．xy的最大值为 B．的最大值为 C． D．的最小值为 3．（25-26八年级上·天津南开·月考）（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1不等式及其性质 题型一 判断是否是不等式 1．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 5．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 题型二 用不等式表示数量关系 1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）用适当的式子表示与的和是负数： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 题型三 不等式的解集 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 4．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 7．（24-25七年级下·湖北随州·期末）写出一个解集为的不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，通过合理的变形得到不等式． 【详解】解：∵， 解得：， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 题型一 不等式的性质 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，，不符合题意； 选项B：，，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号方向改变．依据不等式的基本性质，即可得出结论． 【详解】解：、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 故选：． 4．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知，则下列事件中随机事件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式性质和随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 由于，选项A、B、D均为必然事件，而选项C中可能大于0也可能小于0，故为随机事件 【详解】解：∵， ∴A∶ ，必然成立，是必然事件； B∶ ，必然成立，是必然事件； C∶ 仅当时成立，但且可能小于，故可能成立也可能不成立，为随机事件， D∶ ，必然成立，是必然事件； 故选C． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，原写法错误，不符合题意； B、由，得到，原写法正确，符合题意； C、由，得到，原写法错误，不符合题意； D、由，得到，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 6．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知， 是两个有理数，，，对于下列三个结论：（1）且；（2）；（3）且．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及有理数的乘法法则，解题的关键是掌握不等式的基本性质与有理数的运算法则．根据给定不等式和，推导和的符号关系，并逐一判断三个结论的正确性即可解答． 【详解】解：（1），当时，；当时，，故此结论错误； （2）若，则、异号，当时，，则，与条件矛盾，故此结论错误； （3），若，则不成立，故，，，若，则，把代入，得，与矛盾，故，故此结论正确； 综上，仅结论（3）正确，正确个数为， 故选：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1)< (2)< (3)> (4)> 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 题型二 作差法比较大小 1．（18-19八年级下·山东聊城·期中）已知：；，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 【答案】A 【分析】先计算的值，再根据平方的非负性确定的大小关系． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、平分的非负数，正确求出的值是解题关键． 2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式比较大小，解题的关键在于代数式比较大小的掌握． 通过作差法来比较与的大小，即计算，然后判断其结果的正负性． 【详解】解：已知，， 将其代入可得：， 因为． 所以，也就是． 因为，移项可得． 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 题型三 不等式的应用 1．（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广西玉林·期中）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆，可分别绕轴和转动．若要刚好围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系得到的取值范围即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， 设在篱笆上接上新的篱笆的长度为， 若要围成一个三角形的空地，则， 解得， 故选项C符合题意， 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号． （1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可． （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算． （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 题型一 不等式及其性质综合 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点．①由题意得，则；②当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；③当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；④当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综上，即可得出答案． 【详解】解：①由题意得，则；故①说法错误； ②当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则，故②说法正确； ③当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ，故③说法错误； ④当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故④说法正确； 综上，②④正确． 故选：A． 2．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）对于任意实数a，b，都有，特别地，当a，b都为正数时，有，当且仅当时等号成立．已知，，且，则下列说法正确的是（   ）（多选） A．xy的最大值为 B．的最大值为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，完全平方公式的应用， 根据可得，再两边平方可解答A；再根据，可得，即可说明B；然后根据和，可得，进而说明C；最后根据，解答D． 【详解】解：∵， ∴， 则， 两边平方，得， 所以的最大值是； ∵，且， ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴，即， 解得； ∵，， ∴， 即， 所以的最小值为． 所以正确的有A，C，D；B不正确． 故选：A，C，D． 3．（25-26八年级上·天津南开·月考）（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 【答案】（1），（2）见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程解法和三角形三边关系、不等式性质． （1）本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数， （2）利用三角形三边关系，可得，，，再利用不等式性质即可证明结论． 【详解】（1）解：解关于、的方程： 解得， 所以， （2）证明：在中，、、为边长 ∴， ∴ ， 同理：， ， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1不等式及其性质 题型一 判断是否是不等式 1． 【答案】D 2． 【答案】C 3． 【答案】C 4． 【答案】B 5． 【答案】C 6． 【答案】C 题型二 用不等式表示数量关系 1． 【答案】 2． 【答案】(1) (2) (3) 3． 【答案】(1) (2) (3) (4) 4． 【答案】(1) (2) (3) 题型三 不等式的解集 1． 【答案】B 2． 【答案】D 3． 【答案】C 4． 【答案】A 5． 【答案】D 6． 【答案】C 7． 【答案】（答案不唯一） 题型一 不等式的性质 1． 【答案】C 2． 【答案】D 3． 【答案】C 4． 【答案】C 5． 【答案】B 6． 【答案】C 7． 【答案】(1)< (2)< (3)> (4)> 题型二 作差法比较大小 1． 【答案】A 2． 【答案】A 3．【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 题型三 不等式的应用 1． 【答案】C 2． 【答案】C 3． 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 6． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 7． 【答案】(1) (2) (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号． （1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可． （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算． （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 题型一 不等式及其性质综合 1． 【答案】A 2． 【答案】ACD 3． 【答案】（1），（2）见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程解法和三角形三边关系、不等式性质． （1）本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数， （2）利用三角形三边关系，可得，，，再利用不等式性质即可证明结论． 【详解】（1）解：解关于、的方程： 解得， 所以， （2）证明：在中，、、为边长 ∴， ∴ ， 同理：， ， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 4． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $