期末考试复习备考专题02 一元二次函数、方程、不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期人教A版数学必修第一册

该高中数学讲义以“一元二次函数、方程、不等式”为核心，通过基础知识和核心考点思维导图系统构建知识体系，结合表格对比二次函数图像、方程根与不等式解集的对应关系，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“方法点拨+分层练习”设计，如题型三恒成立问题用分离参数法培养数学思维，题型四结合矩形花坛面积等实际情境提升数学语言表达能力。例题与变式突破适配不同层次学生，易错点分析助力自主复习，为教师精准教学提供有力支持。

专题02一元二次函数、方程、不等式 基础知识（思维导图） 比较x2+x与x2-2x-3的大小 0作差法一a-b>0→a>b (m2+x）-(x2-2x-3)=3a+3 x>-1时前者大，x<-1时后者大，x=-1时相等 ●传递性一a>b,b>c→a>c @加法单调性一a>b→a+c>b+c 不等式性质 女性质〈 ©乘法单调性一a>b,c>0→aC>bc ④可乘性一a>b>0,c>d>0→ac>bd 第二章 6可乘方性一a>b>0→a”>b,n∈N* 一元二次函数 糖水不等式一 方程、不等式 若a>b>0,c>0,则8< 解不等式ax2+bx十c>0(a≠0) 知识 开口方向+△ 次函数与一元二次方程、不等式 函数划=ax2十bm十c图象与x轴关系 如，ax2+x+1>0 Q解含参不等式 分类讨论 、如，x2+2x-a2+2a>0 佩核心考点（思维导图） 作差法一原理根据a一b>0可证a>b一如，第三章“用定义证明函数的弹调性 比较大小 关注e=0一如，若a>b.则ac2>bc2为假命题 根据性质判断不等式 陆水不等式一如，第4章对数比大小一og2=器<等=祭<祭=og43 0作差后平方 根式比较大小 log64>log86￥=￥一因为44>63 (●两边同次释一如，比较og64与og95大小 \0g95<l0g9i=是一因为54<g3 求解一 教材51页表2.3-1 ar2+be+c>0(或<0)的解集为{re>1,或x<r2}(或{ae1<E<x2}) 参数问题 c1和x2为方程ax2+ba十c=0的两根 二次不等式 第二章 不能（易）因式分解：ax2+x+1>0一 0a=0-次一0a≠0=和 △ 一元二次函数、 方程、不等式 0即，(e+a)(x-(a-2))>0 (题型) 可因式分解1：x2+2x-a2+2a>0←@讨论两根大小一-a>a-2 含参不等式 0{>a或<a-2} 0a=0时，-（￥-1）>0.得x<1 即(x-)(x-1)<0 可因式分解2：(a-1)(x-1)>0 a<0时，}<1 解得{片<x<1} @a≠0时，讨论两根大小 即(-)(x-1)>0 a>0时千a<1时，1>1一解得{xz>点，或x<1} a>1时，是<1一解得{xx>1,或x<} 恒能问题一●恒成立一●能问题一●双变量问题一参见第-章 基础题型 题型一不等式性质的应用 方法点拨： 1.熟练掌握不等式的性质 (1)对称性：如果a心b,那么b<a;如果ba,那么a>b.即a>b台b<a. (2)传递性：如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c→a>c. (3)可加性：如果a>b,那么a+c>b+c. (4)可乘性：如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc (5)同向可加性：如果a>b,c>d,那么a十c>b+d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0,那么a>b(n∈N,≥2). 2稀水不等式：。<tm(a>b,m>0】 aa+m 3.作差法与作商法：a-b>0→a>b; g1a,6>0j=0>6 例题解析： 例一 ①利用不等式性质-判断正误 例二 ·糖水不等式-判断正误 例三 不等式性质的应用 ★利用不等式性质比较大小 例四 皇利用不等式性质-求不等式范围 例五 例1.对于实数a,b,C,下列说法正确的是() <1 A.若。>6则。 a b a>b,则ac2>bc2 B. a C.若a>0>b则ab<a 、b D.若c>a>b'c-ac-b 例2.若a,b,c,d均为实数，则下列结论正确的是() A.若a>6esd ,则 a+c>b+d 8.者a>bc>d 则ac>bd c.若bc-ad>0,S-d、 a、b 0后名>0，则b<0D.若a>b0c>d>0,则V后2 例3.生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),若再添加m克 bb+m 糖(（m>0)后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：。a+m 根据“糖水不等式” 等知识判断，下列命题一定正确的是() bb+m A.若b>4>0,m>0?则a之a+m +m B.若a>b>0’m<0且b+m>0,a+m>0,则a 'aa+m C.若a’b’c为△4BC三条边长，则1+a+1+b>1+ a+ b D.若a6'c为△ABC三条边长，则b十e+a十c+a+b<2 例4若x为任意实数，(x-4_(x-3(x-5),3x2+3x+2_22+2x+1(用“>”或 “<”填空) 例5.若ae14,be(-L2) ，则4+2b 的取值范围是一 变式突破： a,b,c,d 1.(多选)已知 均为实数，则下列命题正确的是() A.若a>6c>dma-d>h-c 则 axzb,c>d ac>bd B.若 则 a、b C.若a>b,c>d>0,则d>e c、d D.若ab>0,bc-ad>0,则ab a,b,c,d 2.(多选)已知 均为实数，则下列命题中正确的是() A.者>6c> ，则ac>d B.若ab>0,S_ >0,则bc-ad>0 a b c若。60，则中6 11 c_d>0 D.若ab<0,bc>ad,则ab 3.已知a>0,b>0,设m=a-45+5n=26-b,则（) A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n 4.若1<a<5,-1<b<2,则a-b的取值范围是() A.2<a-b<3 B.-1<a-b<6 c.2<a-b<7 D.0<a-b<7 a,b,c .ab≠0 5.(多选)若实数满足 ,则下列不等式一定成立的是() 11 A.若ac2>bc2,则a>b B.若 >b’则 a b ，则a'>6 C.若>b 则ac2>bc2 D.若a>b 6.从下列三组式子中选择一组比较大小： @设>L,M=-,N=+-F,比较M,N的大小 ②设M=(x+3训x+4,N=(x+2x+5),比较M,N的大小 @爱6>0M存N会比锐MN的大小 a+62,Ws4-b 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型二一元二次不等式的解法 方法点拨： 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △-0 △<0 y=ax2+bx+c (>0)的图象 可= 0 有两个不相等 有两个相篓 ax2+bx+c=0 的实数根 的实数根 没有实数根 (a>0)的根 1,x2(x1<2) b x1=C2=一 2a {xx<,或 ax?+bx+c-0 b R (a>0)的解集 x>2} ≠- ax"+bx+c<0 {xx1<r<x2} 0 0 (a>0)的解集 2.含参数一元二次不等式的一般解法： (1)确定不等式类型（是否为二次不等式） (2)讨论对应方程的根的情况（△判别式） (3)比较根的大小（△>0时） 例题解析： ⊙例- 解一元二次不等式（不含参数） 。例二 易错 。例三一含绝对值 已知解集，另求解集 ⊙例四 一元二次不等式的解法 区间内有整数解，求参数 Q例五 ⊙例六/ 第一问一可因式分解 解一元二次不等式（含参数） 第二问一不可因式分解 例1.不等式行店小0的解集是《) e 。冰 钢2.不等式22的解集是《） {x|-2≤x≤1} {x|x≤-2 A. c.x-2≤x<l D.{> 例3.不等式-川2<0的解集是() A.x-2<x<2 B.x<-2或>2 c.-1<x<y D.xx>B 或 例4.（多速已知关于x的不等式2+x+c>0的解集为xx<-3或>，则下列说法正 确的是() A.a>0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为 C.a+b+c>0 D.不等式r+c>0的解集为xx<-4 例5.（多选）若关于x的不等式+(m-2到x+1-m<0 在区间0+0上恰有1个整数解，则 m可取() A.3 B.2 C. D.-1 例6，(1)解关于x的不等式a-(a+x+1<0(a<1) (2)解关于*的不等式2r+m+2>0 变式突破： 1.不等式2x-x-3>0 解集为() B.<-1或 1 xx<- 2或x>3} x-3≤0的解集为（） 2.不等式2-x A.{dx≤2或之3到 B.{x|2<x≤3 c.{r<2或23 D.{x2≤x≤3到 3若aeR,则a-3a-4>0是>4的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)关于x的不等式ar-b>0的解集为 x>,关于x的不等式ar-+c>0的 解集为x<1或x> 或 ”则下列说法正确的是() A.t=2 B. cr2+br+a<0的解集为x<-2或x>y D.若不等式ar2-x+a<0对x∈l,2]恒成立，则a的取值范围为 5.(多选)已知关于x的不等式r2+bc+c≥0的解集为x≤-4或x之3，则下列说法正 确的是() A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式x+c>0的解集为<12 0不移式如o为词 6已知不等式-(2m+3到x+6m<0。 的解集中恰好有两个偶数解，则实数”的取值范围是 () B.[3,4 c.[-1,0U3,4 。.3 7解关于x的不等式： 、2xz4: 1)x-11 2)r+2x-1<0 专题02 一元二次函数、方程、不等式 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 不等式性质的应用 方法点拨： 1.熟练掌握不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2.糖水不等式： 3.作差法与作商法： ； 例题解析： 例1.对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 【答案】C 【分析】利用不等式的性质判断C，取特殊值判断ABD. 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C正确； 对于D，取，满足， 而，故D错误. 故选：C. 例2.若，，，均为实数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过举反例判断AB；根据不等式的性质判断CD. 【详解】对于A，，，但，所以A错误； 对于B，，，但，所以B错误； 对于C，因为，，则，所以C错误； 对于D，由得，又，所以，所以，所以D正确. 故选：D. 例3.生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 例4.若x为任意实数， ； （用“＞”或“＜”填空） 【答案】 > > 【分析】利用作差法得到结论. 【详解】， ∴， ， ∴， 故答案为：>，>. 例5.若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】由得， 又，所以的取值范围是. 故答案为：. 变式突破： 1.(多选)已知均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若则. B．若则. C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项逐个分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但不成立，B选项错误； 若，满足，但不成立，C选项错误； ，则，又，即，D选项正确. 故选：AD 2.（多选）已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质推理判断BCD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 3.已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 4.若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 5.（多选）若实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由作差法判断A，取特殊值判断BD，利用作差法判断C. 【详解】对A，，则，所以，故A正确； 对B，当时，不成立，故B错误； 对C，， 因为，,所以，即，故C正确； 对D，当时，不成立，故D错误. 故选：AC 6.从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①；②；③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为，所以， 即；. ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以，所以... 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以.. 题型二 一元二次不等式的解法 方法点拨： 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.含参数一元二次不等式的一般解法： （1）确定不等式类型（是否为二次不等式） （2）讨论对应方程的根的情况（Δ判别式） （3）比较根的大小（Δ>0时） 例题解析： 例1.不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【详解】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 例2.不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项通分，转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】，可得， 即为，且，可得 故选：C 例3.不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】分、两种情况分别求解一元二次不等式即可. 【详解】当时，不等式可化为，即， 得； 当时，不等式可化为，即， 得； 则不等式的解集是. 故选：A 例4.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题意可知，，且和是的两个根， 则，，得到，， 对于A选项，由可判断A正确； 对于B选项，由得， 整理得到，解得或，所以B正确， 对于C选项，因为，故C错误， 对于D选项，由，得，得，故D错误， 故选：AB 例5.若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先求解不等式，再根据题意，结合端点值列不等式，即可求解. 【详解】，对应方程的根分别为和， 当，即时，不等式的解集为， 由题意可知，得， 当时，即，不等式的解集为 ，在区间上不存在整数解，故不成立， 综上可知，满足条件的的取值范围是， 选项中满足条件的是和. 故选：BC 例6.（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、及，结合一元二次不等式的解法计算即可得； （2）计算，分及，结合一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 变式突破： 1.不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】原不等式可化为，解得或． 故原不等式的解集为或. 故选：B． 2.不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求得. 【详解】依题意，不等式等价于，即， 解得，或，所以原不等式的解集为或. 故选： 3.若，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据解的范围与结合充分、必要条件关系，即可得出答案. 【详解】由，得或， 则不能推出，由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4.（多选）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】AB 【分析】对A，由已知条件可得，结合二次函数的对称性求得；对BC，由A，，，代入求解一元二次不等式；对D，令，由题意可得，运算得解. 【详解】由不等式的解集为，则，且，即， 对于A，由的对称轴，则是的两根， 所以，得，且，故A正确； 对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误； 对于D，令，由对恒成立， 由于表示开口向上的抛物线， 所以，解得， 又，所以，故D错误. 故选：AB. 5.（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合一元二次方程的韦达定理，即可求解. 【详解】由条件知，，函数的两个零点分别为和， 由函数图象的开口向上，且，所以，故A正确，B错误； 方程的两个根分别为和，则，所以， 不等式，则，故C错误； 不等式，则，得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：AD 6.已知不等式的解集中恰好有两个偶数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，此时，不等式的解集为，不合题意，舍去； 当时，此时，不等式的解集为， 此时若有2个偶数解，则需，解得； 当时，此时，不等式的解集为， 此时若有2个偶数解，则需，解得. 综上，实数的取值范围为，故C正确. 故选：C． 7.解关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． （2）当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型三 恒能问题 方法点拨： 1.分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将分离出参数． ② ； ； 能成立； . 2.函数图像法 一元二次不等式在R上恒成立,则；在R上恒成立,则 例题解析： 例1.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分与讨论即可得. 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 例2.若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 例3.若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 例4.当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 例5.若存在，，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 变式突破： 1.若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 2.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 3.已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，将不等式化为，利用基本不等式求的最小值即可求出答案． 【详解】根据题意可得，因为，则， 利用基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 4.若不等式的解集为， (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三个二次的关系得出，，，代入不等式化简求解即可； （2）由（1）代入不等式，由恒成立可得，再结合得出的范围即可. 【详解】（1）由的解集为， 知，且关于的方程的两个根分别为， 所以不等式可变形为 即． 又因为，所以， 所以所求不等式的解集为． （2）由（1）知． 不等式化为 即：对任意实数x恒成立，所以， 又， 所以，得， 又，所以． 4.设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出时，函数的最小值，再利用已知命题得出大于等于函数的最小值，进而求出的取值范围； （2）先对原不等式化简，再对进行分类讨论解不等式求出不等式的解集． 【详解】（1）当时，，函数图象开口向上，对称轴为， 函数最小值， ，使得，则， 的取值范围为． （2）， ， 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，解不等式得 ，解集为； 当时，，不等式化为，解得或，故解集为； 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，，不等式化为，解得或， 故解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 5.设函数（），. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. （3）求出二次函数的对称轴，结合图像讨论的范围即可求解. 【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）函数是二次函数，函数图象是抛物线， 开口向上，对称轴为直线； 当，即时，在上的最小值为； 当，即时，在上单调递增，最小值为； 当，即时，在上单调递减，最小值为； 综上，在上的最小值为， 6.已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式; (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围; (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将函数转化为，求最值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. 【详解】（1）设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得，所以函数解析式为. （2）因为，即化简为 ，由当时，恒成立，即， 令，对称轴为，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是 （3）由可知，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 即； 当，即时，，即； 当时，函数在区间上单调递增，则，即； 综上. 题型四 一元二次不等式的应用 方法点拨： 一元二次不等式的应用包括在几何和生活中的应用两个部分，突破的核心流程是完成从“文字场景”到“数学解集”的转化，即，（1）审题建模：用变量表示未知量，根据题意列出二次函数关系式，（2）转化不等式：根据问题中的“大于”“小于”“至少”“不超过”等关键词，列出不等式 （3）求解集并检验：解不等式得参数范围，结合实际意义确定最终答案。 例题解析： 例1.（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式即可求解. 【详解】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 例2.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为 元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 变式突破： 1.如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角形相似，求出线段之间的关系，列出不等式求出参数范围. 【详解】设，根据矩形的性质，易知，可得, 代入可得，解得， 则矩形花坛的面积为， 令，则，解得或， 综上，或. 故答案为：. 2.某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． (1)该店从第几年开始盈利？ (2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】(1)第二年 (2)万元 【分析】（1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. 【详解】（1）由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. （2）设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 3.如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 易错点 1. 忽略一次不等式的情况 核心问题：忽略中的情况 1．设函数. (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由一元二次不等式解法即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）当时， 可得：， 解得或， 所以不等式的解集 （2）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 2．设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）分类讨论结合分离参数法、基本不等式计算即可； （2）含参分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，显然，符合题意； 若，则， 由，即在上恒成立， 即，， 令， 当且仅当，即时取得最小值，所以， 则的取值范围为； （2）根据题意可知， 若，则， 若， 当，即时，， 当，此时原不等式为，即， 当，此时，令， 此时不等式解集为， 若，此时，不等式解集为， 综上所述：当时，解集为R，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 3．（1）已知关于x的不等式的解集为，求a，b的值： （2）解不等式． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）借助一元二次不等式的性质计算即可得； （2）结合二次函数的性质，分、、、及讨论即可得. 【详解】（1）由题意可得， 且，故，解得， 即，； （2）由，即， 当时，即，解得，即其解集为； 当时，令，解得，， 若，有，则原不等式的解集为； 若， 当时，有，则原不等式的解集为； 当时，，则原不等式的解集为； 当时，，则原不等式的解集为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为. 2. 一元二次不等式的已知解集问题 核心问题：直接带入求解，未考虑对应函数图像的开口问题 1．已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 2．已知关于的不等式． (1)若此不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； （2）讨论，又分时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集； （3）利用分离参数法将原问题等价为可得在恒成立，再令，结合对勾函数的单调性可得的最大值，可得的范围． 【详解】（1）关于的不等式的解集为， 可得为方程的两根， 可得，即； （2）当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，，可得解集为； ③若，，可得解集为； （3）对，恒成立， 等价于在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 由，可得， 而在上单调递增， 所以在时取得最小值，在时取得最大值， 可得的最大值为，可得． 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $