3.1 函数的概念及其表示（思维导图+4大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

3.1 函数的概念及其表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：函数的概念 4 知识点二：函数的表示法 5 知识点三：函数定义域的求法 5 知识点四：函数值域的求法 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：函数的概念 7 题型二：给出解析式求函数的定义域 8 题型三：抽象函数求定义域 9 题型四：给出函数定义域求参数范围 10 题型五：同一函数的判断 10 题型六：给出自变量求函数值 11 题型七：求函数的值域 12 题型八： 求函数的解析式 14 题型九： 分段函数求值、不等式问题 15 题型十： 区间的表示与定义 16 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数的概念 【例题1】（2025·高一·河北石家庄·开学考试）如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【例题2】（2025·高一·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【方法技巧与总结】 函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键． 【变式1】（2025·高一·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型二：给出解析式求函数的定义域 【例题3】（2025·高二·云南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高一·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 小结几类函数的定义域： （1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R； （2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； （4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义． 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义 的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解． 【变式4】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高三·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式6】（2025·高一·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型三：抽象函数求定义域 【例题5】已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高一·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的． 【变式7】（2025·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式8】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式9】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四：给出函数定义域求参数范围 【例题7】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【例题8】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 利用转化与化归思想． 【变式10】已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【变式11】（2025·高一·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式12】（2025·高二·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 题型五：同一函数的判断 【例题9】下列各组函数是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例题10】（2025·高一·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【方法技巧与总结】 函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： （1）定义域不同，两个函数也就不同； （2）对应法则不同，两个函数也是不同的． （3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则． 【变式13】（2025·高一·河北衡水·期中）下列各组函数中，表示同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式14】（2025·高一·内蒙古包头·期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【变式15】（2025·高一·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六：给出自变量求函数值 【例题11】（2025·高一·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【例题12】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【方法技巧与总结】 求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果． 【变式16】已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【变式17】已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【变式18】（2025·高一·新疆喀什·期中）已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 题型七：求函数的值域 【例题13】（2025·高一·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【例题14】求函数的最大值、最小值. 【方法技巧与总结】 求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 【变式19】求函数的值域. 【变式20】求函数的值域． 【变式21】（2025·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 题型八： 求函数的解析式 【例题15】求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【例题16】（1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【方法技巧与总结】 （1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择． （2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法． （3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程． 【变式22】（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【变式23】求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【变式24】（2025·高一·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 题型九： 分段函数求值、不等式问题 【例题17】（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【例题18】（多选题）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【方法技巧与总结】 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． （1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． （2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 【变式25】（多选题）已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式26】（多选题）已知函数，则，则m的值可以是（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式27】（多选题）已知函数，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 题型十： 区间的表示与定义 【例题19】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【例题20】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【方法技巧与总结】 【变式28】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【变式29】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【变式30】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【变式31】把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：函数的概念 4 知识点二：函数的表示法 5 知识点三：函数定义域的求法 5 知识点四：函数值域的求法 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：函数的概念 7 题型二：给出解析式求函数的定义域 9 题型三：抽象函数求定义域 11 题型四：给出函数定义域求参数范围 12 题型五：同一函数的判断 14 题型六：给出自变量求函数值 17 题型七：求函数的值域 19 题型八： 求函数的解析式 22 题型九： 分段函数求值、不等式问题 25 题型十： 区间的表示与定义 27 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数的概念 【例题1】（2025·高一·河北石家庄·开学考试）如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，故D正确. 故选：D. 【例题2】（2025·高一·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解析】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 【方法技巧与总结】 函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键． 【变式1】（2025·高一·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 【变式2】若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】由题意知：在集合A中有两个自变量取值对应集合B中的同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 从集合A中的三个元素取出2个元素，共有3种选择，从集合B中的2个元素取出1个元素，共有2种选择， 因此满足题意的函数共有个， 故选：D. 【变式3】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 题型二：给出解析式求函数的定义域 【例题3】（2025·高二·云南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 【例题4】（2025·高一·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 【方法技巧与总结】 小结几类函数的定义域： （1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R； （2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； （4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义． 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义 的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解． 【变式4】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 【变式5】（2025·高三·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 【变式6】（2025·高一·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 题型三：抽象函数求定义域 【例题5】已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的定义域为 ，所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C 【例题6】（2025·高一·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 【方法技巧与总结】 求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的． 【变式7】（2025·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式8】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 【变式9】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 题型四：给出函数定义域求参数范围 【例题7】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以不等式对于恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例题8】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 所以不等式恒成立， 所以由二次函数性质可知， 解得，即. 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用转化与化归思想． 【变式10】已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式11】（2025·高一·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式12】（2025·高二·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 题型五：同一函数的判断 【例题9】下列各组函数是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】A：定义域为R，，定义域为，定义域不同. B：定义域为，定义域为，定义域不同. C：定义域为R，定义域为，定义域不同. ：，且，两函数定义域相同，解析式也一样. 故选：D． 【例题10】（2025·高一·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解析】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 【方法技巧与总结】 函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： （1）定义域不同，两个函数也就不同； （2）对应法则不同，两个函数也是不同的． （3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则． 【变式13】（2025·高一·河北衡水·期中）下列各组函数中，表示同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故B错误； 对于C：的定义域均为，且，定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确； 对于D：的定义域均为，且，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：C. 【变式14】（2025·高一·内蒙古包头·期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【解析】对于①，函数定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，故两个函数不是同一函数； 对于②，函数、的定义域都为， 所以两个函数的定义域相同对应关系不相同，故两个函数不是同一函数； 对于③，函数、的定义域均为， 所以两个函数的定义域相同对应关系相同，故两个函数是同一函数； 对于④，由，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故两个函数不是同一函数. 故选：C. 【变式15】（2025·高一·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，由函数的定义为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误. 故选：C. 题型六：给出自变量求函数值 【例题11】（2025·高一·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 【例题12】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【解析】（1），，，； （2）猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 【方法技巧与总结】 求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果． 【变式16】已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【解析】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 【变式17】已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【解析】（1） （2）因为，所以，所以 【变式18】（2025·高一·新疆喀什·期中）已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 【解析】（1）对于可得，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）易知， （3）易知， 所以 题型七：求函数的值域 【例题13】（2025·高一·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【解析】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【例题14】求函数的最大值、最小值. 【解析】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 【方法技巧与总结】 求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 【变式19】求函数的值域. 【解析】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 【变式20】求函数的值域． 【解析】设，则． 原函数转化为求函数（）的值域. 因为，当且仅当时取等号. 所以，可知． 所以函数的值域为. 【变式21】（2025·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 题型八： 求函数的解析式 【例题15】求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【解析】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 【例题16】（1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【解析】（1），其中， 故所求函数的解析式为，其中. （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：，     消去，可得. 【方法技巧与总结】 （1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择． （2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法． （3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程． 【变式22】（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【解析】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法， 所以． （3）设， 则， 所以，解得， 所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． 【变式23】求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【解析】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【变式24】（2025·高一·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【解析】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 题型九： 分段函数求值、不等式问题 【例题17】（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD 【解析】，故A选项错误； ，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得，即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得，综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 【例题18】（多选题）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【解析】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 【方法技巧与总结】 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． （1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． （2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 【变式25】（多选题）已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】BC 【解析】当时，得，解得或（舍去）； 当时，得，解得. 故选：BC 【变式26】（多选题）已知函数，则，则m的值可以是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】CD 【解析】因为， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 故选：CD. 【变式27】（多选题）已知函数，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】当时，，，，不合乎题意； 当时，，，，不合乎题意； 当时，，，，合乎题意. 故选：CD. 题型十： 区间的表示与定义 【例题19】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图： （2）或用区间表示为，用数轴表示如图： （3）且用区间表示为，用数轴表示如图: （4）用区间表示为，用数轴表示如图： 【例题20】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【方法技巧与总结】 【变式28】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【解析】（1）写成区间即为. （2），解出，写成区间即为. 【变式29】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【解析】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【变式30】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【解析】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 【变式31】把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【解析】（1） （2） （3） （4）或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $