第03讲 乘法公式与整式的除法（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 乘法公式与整式的除法（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】平方差公式 1. 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a²－b². 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a²－b² (2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－a²＝b²－a² (3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)²－(2b)²＝9a²－4b² (4)指数变化 (a³＋b²)(a³－b²)＝(a³)²－(b²)²＝－ (5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)²－c² 【知识点02】平方差公式的验证 平方差公式的几何意义 如图1.3-1 ①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 则图中阴影部分的面积是a²－b²; 将图1.3-1 ①中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图1.3-1 ②，则这个长方形的长为 a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b). 因为图1.3-1 ①②中阴影部分的面积相等, 所以(a＋b)(a－b)＝a²－b². 【知识点03】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 用字母表示为(a±b)²＝a²±2ab＋b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)²－(a²＋b²)]＝[(a＋b)²－(a－b)²]； (7)(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc. 【知识点04】完全平方公式的验证 1. 验证(a＋b)²＝a²＋2ab＋b² 如图1.3-4，大正方形的面积可以表示为(a＋b)²，也可用四个部分的面积之和来表示，即a²＋ab＋ba＋b²，所以(a＋b)²＝a²＋ab＋ba＋b²＝ a²＋2ab＋b². 2. 验证(a－b)²＝a²－2ab＋b² 如图1.3-5，阴影部分的面积可以表示为(a－b)²，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，即a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²，所以(a－b)²＝a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²＝a²－2ab＋b². 【知识点05】利用乘法公式进行整式的混合运算 1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 2. 整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号是否正确，可利用去括号检验. 【知识点06】单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2. 单项式除以单项式的运算步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 【知识点07】多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 2. 多项式除以单项式的运算步骤 (1)用多项式的每一项分别除以单项式； (2)把每一项除得的商相加. 【题型一】运用平方差公式进行运算 例1．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型二】平方差公式与几何图形 例2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 变式2．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）【探究】（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示） 【应用】（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为______ ②计算： 【拓展】（3）计算 【题型三】运用完全平方公式进行运算 例3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【题型四】完全平方公式在几何图形中的应用 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）三种不同类型的地砖如下图所示（各条边的长已给出），现有A类地砖16块，B类地砖48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝隙且不重叠），那么小明用C类地砖多少块？ 【题型五】整式乘法混合运算 例5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 变式1．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先阅读材料，再解答问题： 例：已知，，试比较x、y的大小． 解：设，则，， ， 问题：已知，，试比较x，y的大小． 【题型六】多项式乘多项式——化简求值 例6．（24-25七年级下·广东茂名·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 变式2．（24-25七年级下·广西百色·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型七】通过对完全平方公式变形求值 例7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则的值为 ． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．求的值． 【题型八】求完全平方式中的字母系数 例8．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）若 是完全平方式，则k的值是（    ） A．3 B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【题型九】计算单项式除以单项式 例9．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ． 变式2．（24-25七年级下·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)． 【题型十】多项式除以单项式 例10．（24-25七年级下·山西太原·月考）计算：（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算：． 【题型十一】用科学记数法表示数的除法 例11．（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的 倍． 变式1．（24-25七年级下·山西运城·月考）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要 s． 变式2．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【题型十二】整式四则混合运算 例12．（24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 变式2．（22-23七年级下·河南郑州·月考）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【题型十三】整式的混合运算 例13．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 变式2．（22-23七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 一、单选题 1．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 2．若改动多项式中的某一项，使它变成完全平方式，则改动的办法是（    ） A．只能改动第一项 B．只能改动第二项 C．只能改动第三项 D．可以改动三项中的任意一项 3．已知a，b，c是三角形三边长，且，则此三角形是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 4．若将正方形的一组对边增加，另一组对边减少，下列选项正确的是（    ） A．面积减少 B．面积增加 C．面积不变 D．无法确定 5．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（    ） A．7 B．8 C．5.6 D．10 8．等于（　　） A． B． C． D． 9．计算：的值是（      ） A． B． C． D． 10．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 11．已知，，则的值是 ． 12．已知，，则的值为 ． 13．若，则 ． 14．已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 15．计算： ． 16．已知，，且，则的值等于 ． 17．如图，，为线段上一点（），分别以、为边向上作正方形和正方形，，则 ． 18．如图，四边形、和都是正方形（正方形的各边相等），．，长方形的面积是200，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 19．计算：． 20． 先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣4）﹣5x（x﹣1），其中x=﹣ 21．计算： (1)； (2) 22．计算： (1)； (2)． 23．利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：图为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 24．先找规律再计算． (1)________； (2)________； (3)计算：． 25．已知，． (1)化简A和B； (2)若变量y满足2y＋A＝B－4，求出y与x的关系式； (3)在（2）的条件下，求的值． 26．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 乘法公式与整式的除法（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】平方差公式 1. 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a²－b². 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a²－b² (2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－a²＝b²－a² (3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)²－(2b)²＝9a²－4b² (4)指数变化 (a³＋b²)(a³－b²)＝(a³)²－(b²)²＝－ (5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)²－c² 【知识点02】平方差公式的验证 平方差公式的几何意义 如图1.3-1 ①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 则图中阴影部分的面积是a²－b²; 将图1.3-1 ①中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图1.3-1 ②，则这个长方形的长为 a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b). 因为图1.3-1 ①②中阴影部分的面积相等, 所以(a＋b)(a－b)＝a²－b². 【知识点03】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 用字母表示为(a±b)²＝a²±2ab＋b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)²－(a²＋b²)]＝[(a＋b)²－(a－b)²]； (7)(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc. 【知识点04】完全平方公式的验证 1. 验证(a＋b)²＝a²＋2ab＋b² 如图1.3-4，大正方形的面积可以表示为(a＋b)²，也可用四个部分的面积之和来表示，即a²＋ab＋ba＋b²，所以(a＋b)²＝a²＋ab＋ba＋b²＝ a²＋2ab＋b². 2. 验证(a－b)²＝a²－2ab＋b² 如图1.3-5，阴影部分的面积可以表示为(a－b)²，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，即a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²，所以(a－b)²＝a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²＝a²－2ab＋b². 【知识点05】利用乘法公式进行整式的混合运算 1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 2. 整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号是否正确，可利用去括号检验. 【知识点06】单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2. 单项式除以单项式的运算步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 【知识点07】多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 2. 多项式除以单项式的运算步骤 (1)用多项式的每一项分别除以单项式； (2)把每一项除得的商相加. 【题型一】运用平方差公式进行运算 例1．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的定义是关键． 通过平方差公式，即，验证各选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，但原选项写为，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【答案】1000 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．逆用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1000． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 【题型二】平方差公式与几何图形 例2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，分别表示出图甲、图乙阴影部分的面积，再结合两个图形中阴影部分的面积相等即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 【答案】16 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）【探究】（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示） 【应用】（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为______ ②计算： 【拓展】（3）计算 【答案】（1）（2）①35②（3） 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）应用平方差公式进行计算即可； （3）将算式转化为，进行计算即可． 【详解】解：（1）由图①可知：阴影部分的面积为；由图②可知：阴影部分的面积为； ∴； （2）①∵，， ∴； ②； （3） ． 【题型三】运用完全平方公式进行运算 例3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】根据完全平方公式，分别求出 和 的值，再利用平方差公式计算 ； 本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握两公式是解题的关键． 【详解】解： 展开后 项的系数 ； 展开后 项的系数 ． 则 ． 由平方差公式可得；． 故答案为：. 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型四】完全平方公式在几何图形中的应用 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键； 根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式. 【详解】解：， 即． 故选：D. 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】95 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）三种不同类型的地砖如下图所示（各条边的长已给出），现有A类地砖16块，B类地砖48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝隙且不重叠），那么小明用C类地砖多少块？ 【答案】36 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是读懂题意，判断出三类地砖的面积之和可以写成完全平方的形式． 根据拼成的图形为正方形可知三类地砖的面积之和可以写成完全平方的形式，由此可解． 【详解】解：设用C类地砖x块， 由题意知，16块A类地砖的面积为，48块B类地砖的面积为，x块C类地砖的面积为， 故这三类地砖的总面积为： ， 因为所拼成的图形是正方形， 所以拼成图形的面积为：， 即， 解得， 故所用C类地砖为36块． 答：小明用C类地砖36块． 【题型五】整式乘法混合运算 例5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【答案】9 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先阅读材料，再解答问题： 例：已知，，试比较x、y的大小． 解：设，则，， ， 问题：已知，，试比较x，y的大小． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，整式的加减运算法则是解决问题的关键． 设，则，，，，，进而得，，由此即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，，，， ， ， 【题型六】多项式乘多项式——化简求值 例6．（24-25七年级下·广东茂名·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式并求值，根据多项式乘以多项式的法则，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴ 故选D． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 【答案】3 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 变式2．（24-25七年级下·广西百色·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，最后把代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【题型七】通过对完全平方公式变形求值 例7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则的值为 ． 【答案】95 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．求的值． 【答案】52 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【题型八】求完全平方式中的字母系数 例8．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）若 是完全平方式，则k的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可设为， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 【题型九】计算单项式除以单项式 例9．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式的乘法、除法运算，掌握单项式乘法、除法法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则计算； （2）根据单项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）； （2）． 【题型十】多项式除以单项式 例10．（24-25七年级下·山西太原·月考）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查整式的除法．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【详解】解：． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的除法法则是解题的关键．根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【题型十一】用科学记数法表示数的除法 例11．（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的 倍． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·山西运城·月考）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要 s． 【答案】或500 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 变式2．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【知识点】用科学记数法表示数的除法、乘方的应用 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 【题型十二】整式四则混合运算 例12．（24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据新定义并结合整式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键． 可将题图补全，变成一个大长方形，则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积，再由整式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·河南郑州·月考）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【答案】需要杯子个 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算．要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【详解】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）， 【题型十三】整式的混合运算 例13．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先求出，，由即可求解；能求出面积是解题的关键． 【详解】解：由图得 ， ， ， ， ， ； 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，理解新定义并熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据新运算的规则，可得：，再根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据新运算的规则，可得： ． 故答案为：． 变式2．（22-23七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式先将中括号内的利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当，时，原式． 一、单选题 1．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键． 利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．若改动多项式中的某一项，使它变成完全平方式，则改动的办法是（    ） A．只能改动第一项 B．只能改动第二项 C．只能改动第三项 D．可以改动三项中的任意一项 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】改变第一项可变为：，符合题意； 改变第二项可变为：，符合题意； 改变第三项可变为：，符合题意． 可以改动三项中的任意一项． 故选：D． 3．已知a，b，c是三角形三边长，且，则此三角形是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】先根据完全平方公式将变形得到三边长，再判断即可． 【详解】， 即， 由平方的非负性可知， 即，，， ∴此三角形是等腰三角形， 故选B． 【点睛】本题考查了平方的非负性和完全平方公式的实际应用，能够得到是解题的关键． 4．若将正方形的一组对边增加，另一组对边减少，下列选项正确的是（    ） A．面积减少 B．面积增加 C．面积不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查整式加减的应用，平方差公式．设原正方形边长为，则原面积为．改变后，图形变为长方形，长和宽分别为和，利用面积公式和平方差公式计算新面积，并与原面积比较差值． 【详解】原正方形边长为，面积为， 改变后，长方形的长为，宽为，面积为： ， 新面积与原面积的差为：，即面积减少， 由于题目隐含正方形边长（否则宽为负数或零，不成立），故差值确定． 故选A． 5．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，用代数式表示长方形花坛的长和宽，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：长方形花坛的长和宽分别为， 则长方形花坛的面积为， 故选：A． 6．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识点有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号，合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解题关键． 7．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（    ） A．7 B．8 C．5.6 D．10 【答案】B 【分析】设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长． 【详解】解：设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是， 由题可得图甲中阴影部分的面积是， 图乙中阴影部分的面积是， 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和， ，， 图乙面积为： ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和列出等式是解题的关键． 8．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解． 9．计算：的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式（）进行运算即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键． 10．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 11．已知，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 12．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式：，进行转化，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是整式乘除中完全平方公式的运用，掌握其变形形式是解题的关键． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】设，将变为：，解出x的值，根据，，得出，即，即可得出答案． 【详解】解：设，则可变为： ， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴舍去， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体思想． 14．已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得的最大值是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴的最大值是， 故答案为：6． 15．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式把看作一个整体，符合平方差公式，展开后再利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为： 16．已知，，且，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】先把两边平方，利用完全平方公式展开，然后代入已知数据求出的值，然后整理成的形式，再利用完全平方公式整理并求出算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵, ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构求出的值是解题的关键． 17．如图，，为线段上一点（），分别以、为边向上作正方形和正方形，，则 ． 【答案】3 【分析】设正方形BCFG的边长为a，正方形ACDE的边长为b，S△BEF=S四边形BAEF-S△ABE=S△DEF+S正方形DEAC+S△CBF-S△ABE，代入可得到S△BEF =a2，再根据已知条件列式可求得a、b的值，即可求解． 【详解】解：设正方形BCFG的边长为a，正方形ACDE的边长为b， S△BEF=S四边形BAEF-S△ABE=S△DEF+S正方形DEAC+S△CBF-S△ABE ， S△ACE， ∵，AB=5，即a+b=5， ∴， ∴， ∴，， 即BC，AE， ∴S△BECBCAE． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键． 18．如图，四边形、和都是正方形（正方形的各边相等），．，长方形的面积是200，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】544 【分析】设正方形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，表示出BE和BG，求得＝（x－2010）（x－2022）＝200，由变形后即可求答案． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，则BE＝AB－AE＝x－2010，BG＝BC－CG＝x－2022， ∵长方形的面积是200， ∴＝（x－2010）（x－2022）＝200， ∵和都是正方形（正方形的各边相等）， ∴ 即图中阴影部分的面积为544． 故答案为：544 【点睛】此题考查了列代数式、完全平方公式的应用等知识，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】利用单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是关键． 20． 先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣4）﹣5x（x﹣1），其中x=﹣ 【答案】-x2-x-4， 【分析】先计算乘法，再合并同类项，最后代入化简的结果，即可求解． 【详解】解： 当 时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的四则混合运算，以及化简求值，熟练掌握整式的四则混合运算顺序是解题的关键． 21．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、积的乘方以及多项式的除法运算法则计算即可； （2）逆用积的乘方，进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了多项式的除法，同底数幂的乘法、积的乘方运算方程等知识，掌握多项式的除法运算法则是解答本题的关键． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算及有理数的混合运算． （1）先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再算加法即可； （2）先算积的乘方，再利用单项式乘以单项式法则计算，最后利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：图为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)12 (2)4046 【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算求解； （2）设2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】（1）解：∵x-y=4， ∴（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16． 又∵x2+y2=40， ∴40-2xy=16， 解得xy=12， 答：xy的值是12； （2）解：设2022-x=a，x-2020=b，则a+b=2． ∵（2022-x）（x-2020）=-2021， ∴ab=-2021， 把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得， （2022-x）2+（x-2020）2 =（a+b）2-2ab =22-2×（-2021） =4+4042 =4046． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键． 24．先找规律再计算． (1)________； (2)________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 25．已知，． (1)化简A和B； (2)若变量y满足2y＋A＝B－4，求出y与x的关系式； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)A＝﹣5xy+6y2，B＝2x2﹣5xy+2x+6y2 (2)y＝x2+x﹣2 (3)0 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可求解； （2）利用（1）的结论，写成函数关系式即可求解； （3）利用（2）的结论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： A＝（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+2y） ＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣xy+2y2 ＝﹣5xy+6y2， B＝（2x3y﹣5x2y2+2x2y+6xy3）÷xy ＝2x2﹣5xy+2x+6y2； （2）解：∵2y+A＝B﹣4， ∴2y＝B﹣A﹣4 ∴2y＝2x2﹣5xy+2x+6y2+5xy﹣6y2﹣4 ∴2y＝2x2+2x﹣4， ∴y＝x2+x﹣2； （3）解：x（﹣1+2x+xy）﹣x（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣y﹣2）2 ＝﹣x+2x2+x2y﹣x（x2﹣1）﹣（x﹣x2﹣x+2﹣2）2 ＝﹣x+2x2+x2（x2+x﹣2）﹣x3+x﹣（﹣x2）2 ＝﹣x+2x2+x4+x3﹣2x2﹣x3+x﹣x4 ＝0． 【点睛】本题考查了整式的混合运算中化简求值，函数关系式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3)576 【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积两个小长方形的面积，可得关系式； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解． 本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积来得到数学公式，解题的关键是灵活进行数形结合来分析． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 1 学科网（北京）股份有限公司 $