第02讲 整式的乘法（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 整式的乘法（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点02】单项式与多项式相乘 1. 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)； 也可以表示为三个小长方形的面积之和，即pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 【知识点03】多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋ bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)=ap＋aq＋bp＋bq. 【题型一】计算单项式乘单项式 例1．（2025·陕西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型二】计算单项式乘多项式及求值 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型三】单项式乘多项式的应用 例3．（23-24七年级下·河北承德·期中）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型四】计算多项式乘多项式 例4．（24-25七年级下·广东佛山·月考）若，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是 元． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型五】多项式乘多项式与图形面积 例5．（23-24七年级下·四川广元·期末）将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·福建宁德·月考）小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 【题型六】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例6．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值分别是（    ） A．5、 B．、6 C．、6 D．、 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 【题型七】利用单项式乘法求字母或代数式的值 例7．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 变式2．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 【题型八】利用单项式乘多项式求字母的值 例8．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【题型九】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 变式1．（23-24七年级下·全国·月考）若的运算结果中不含项，则 ． 变式2．（24-25七年级下·福建宁德·月考）关于x的代数式的展开式中不含x项，求k的值． 【题型十】多项式乘法中的规律性问题 例10．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项的系数为 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．要使的展开式中不含项，则的值为（    ） A．6 B． C． D．0 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当AD-AB=2时，的值是（    ） A．2a B．2b C． D．2a-2b 5．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 6．有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 二、填空题 9．计算： ． 10．一长方体的长、宽、高分别是，，，它的体积等于 （写最简结果）． 11．若，则n= ． 12．若，则 ． 13．若，，则 ． 14．若的结果中不含x的一次项，则 ． 15．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数），表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第个数组的三个数之积为（为正整数），若，，则符合条件的最小的值为 ． 16．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 三、解答题 17．计算：． 18．计算：． 19．计算下列各题： (1) (2) 20．先化简，再求值： ，其中，满足 ． 21．如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 22．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 23．已知： _____ _____ …… （1）当时，_____． （2）试求：的值． （3）判断的值的个位数是_____． 24．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式的乘法（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点02】单项式与多项式相乘 1. 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)； 也可以表示为三个小长方形的面积之和，即pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 【知识点03】多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋ bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)=ap＋aq＋bp＋bq. 【题型一】计算单项式乘单项式 例1．（2025·陕西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则是解题关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，同底数幂分别相乘，计算即可. 【详解】解：． 故选：A ． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行幂的乘方、积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的法则，注意同底数幂相乘的运算法则． 【题型二】计算单项式乘多项式及求值 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原式错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的乘法运算，去括号，运用单项式乘多项式即可求值． 【详解】解： 故答案为：. 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型三】单项式乘多项式的应用 例3．（23-24七年级下·河北承德·期中）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型四】计算多项式乘多项式 例4．（24-25七年级下·广东佛山·月考）若，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 根据多项式乘以多项式计算，再根据对应系数相等得出答案. 【详解】解：， ∴. 故选：A. 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是 元． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式乘法的应用． 先分别表示出售价和销售量，再相乘即可． 【详解】解：每件的定价为12元，降价x元，则售价元， 每降价x元，每天可多售件，则销售量件， 则每天的销售总收入是元， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】多项式乘多项式与图形面积 例5．（23-24七年级下·四川广元·期末）将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·福建宁德·月考）小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 【答案】5 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由长乘以宽表示出矩形的面积，利用多项式乘以多项式法则计算，即可做出判断． 【详解】解：根据题意得：， 则需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故答案为：5． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 【答案】平方米 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出扩建后的面积为，原来的面积为，再利用扩建后的面积减去原来的面积即可得． 【详解】解：由题意得： ． 答：扩建后，草坪的面积将增加平方米． 【题型六】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例6．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值分别是（    ） A．5、 B．、6 C．、6 D．、 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式得到，进而根据对应项的系数相等可求得m、n值． 【详解】解：∵， 又， ∴，， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】17 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查多项式乘多项式；展开左边多项式，利用等式两边对应项系数相等，求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 对比系数得，，即， ∴． 故答案为：17． 变式2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 【答案】(1)3 (2)是，3 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算， （1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是． 【题型七】利用单项式乘法求字母或代数式的值 例7．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 【答案】11 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 变式2．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型八】利用单项式乘多项式求字母的值 例8．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：因为 所以， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 【题型九】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 变式1．（23-24七年级下·全国·月考）若的运算结果中不含项，则 ． 【答案】2 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式中不含有某项的问题， 展开多项式乘法后，合并同类项，令项的系数为零，求解的值. 【详解】解：， ∵多项式的运算中不含项， ∴， 解得. 故答案为：2. 变式2．（24-25七年级下·福建宁德·月考）关于x的代数式的展开式中不含x项，求k的值． 【答案】2 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法计算法则，解题的关键在于熟练的掌握相关计算法则． 先根据多项式乘法计算法则进行展开合并同类项，再令含x项的系数为0，计算出k的值即可． 【详解】解：， ∵代数式的展开式中不含x项， ∴， 解得：． 【题型十】多项式乘法中的规律性问题 例10．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项的系数为 ． 【答案】 10 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了杨辉三角的规律及二项式展开式的系数问题，解题的关键是根据杨辉三角的递推规律确定的各项系数． 观察杨辉三角，的展开式系数对应其第行的数，且每行数字由上一行相邻两数之和得到；据此推出的系数行，即可得左起第三项的系数． 【详解】解：由杨辉三角规律，的系数行为1，4，6，4，1， 则的系数行由上一行相邻数相加得： 1， ， ， ， ， 1， 故展开式左起第三项的系数为10． 故答案为：10． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先系数和字母分别相乘，再同底数幂相乘，最后算出幂指数． 【详解】． 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用底数不变指数相加的法则． 2．要使的展开式中不含项，则的值为（    ） A．6 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先展开，再根据题意得出项的系数为即可． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， 解得：， 故选：D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据同底数幂的乘法，整式的加减，积的乘方，单项式乘单项式判断即可． 【详解】A．，计算错误，故不合题意； B．和不是同类项，不能合并，故不合题意； C． ，计算正确，故符号题意； D． ，计算错误，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，整式的加减，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当AD-AB=2时，的值是（    ） A．2a B．2b C． D．2a-2b 【答案】C 【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可． 【详解】解：由图可得， 由图1得：， 由图2得：， = = = =， ∵ADAB=2， ∴原式=， 即=， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 5．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；通过单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，即可解答． 【详解】解： ， 故选：D． 6．有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为米，宽为米，分别求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，新长方形的长为米，宽为米， ∴新长方形的面积为平方米， 原长方形的面积为， ∵， ∴与原来相比，这块土地的面积变小了， 故选：． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则逐一进行计算，进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 8．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】根据多项式与多项式相乘运算法则求解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 【点睛】本题考查多项式相乘的运算法则，属于基础题，计算过程中细心即可． 10．一长方体的长、宽、高分别是，，，它的体积等于 （写最简结果）． 【答案】/ 【分析】直接根据长方体的体积公式，即长、宽、高的乘积，列式并计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式乘法的应用，准确理解题意，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 11．若，则n= ． 【答案】1 【分析】直接利用多项式乘以多项式的计算法则展开，进而得出关于m，n的等式即可求出答案． 【详解】解：， ∴m-3=n，-3m=-12， 解得：m=4，n=1， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确将括号展开是解题关键． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，整式的化简求值，先根据题意得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据可得，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．若的结果中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式结果不含某一项的问题，先利用多项式乘以多项式的法则将多项式展开，再根据结果中不含x的一次项，得到一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵结果中不含x的一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 15．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数），表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第个数组的三个数之积为（为正整数），若，，则符合条件的最小的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查整式的乘法、数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，则只需，根据乘方运算即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现， ∵若，， ∴， ∵，， ∴n值最小为11， 故答案为：11． 16．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故答案为：． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键． 18．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，熟练掌握单项式乘以多项式法则：单项式分别乘以多项式的每一项，再将乘积相加，是解题的关键． 【详解】解：原式． 19．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算积的乘方，然后再利用单项式乘以单项式计算法则进行计算即可； （2）先算同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项等，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 20．先化简，再求值： ，其中，满足 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项化简，接着根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 21．如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为，据此即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴． 22．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 23．已知： _____ _____ …… （1）当时，_____． （2）试求：的值． （3）判断的值的个位数是_____． 【答案】，；（1）；（2）；（3）7 【分析】本题考查整式乘法的规律性问题、数字类的规律探究，根据已知等式，正确归纳出一般变化规律是解答的关键． 根据所给前两个算式发现规律解答即可； （1）根据规律计算即可； （2）根据前几个变化规律，将时的等式恒等变形即可得出答案； （3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的n次方的个位数字变化规律即可求解． 【详解】∵ ∴ 故答案为：，； （1）， 故答案为：80； （2）归纳类推得：，其中，且为整数， 则， ， ； （3）， ， ，且， 的个位数与的个位数相同，即为8， 的个位数为7， 即的值的个位数为7， 故答案为：7． 24．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $