第01讲 幂的乘除（知识详解+14典例分析+习题巩固） 2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 幂的乘除（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示为(m，n都是正整数). 2. 同底数幂的乘法运算性质的推广 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即(m，n，…，p都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即＝·(m，n都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1. 幂的乘方运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘 .用字母表示为()＝(m，n都是正整数). 2. 幂的乘方运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：[()]＝(m，n，p都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝()＝()(m，n都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1. 积的乘方运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母表示为(ab)＝(n为正整数). 2. 积的乘方运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)＝(n为正整数)； (2)积的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝(ab)(n为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 2. 同底数幂的除法运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即(a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n＋p)； (2)同底数幂的除法运算性质也可以逆用，逆用时＝÷(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 【知识点05】零指数幂 1. 零指数幂 ＝1(a ≠ 0)，即任何不等于0的数的零次幂都等于1. 推理过程：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如÷, 根据除法的意义可知所得的商为1. 如果依照同底数幂的除法运算性质来计算，又有÷＝＝，故＝1. 【知识点06】负整数指数幂 1. 负整数指数幂 ＝(a≠0，p是正整数)，这就是说， (a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)·＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (2)()＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (3)(ab)＝(a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数)； (4)÷＝(a ≠ 0，m，n是整数). 【知识点07】科学记数法 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10的形式，其中1≤a﹤10，n是负整数. 大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如－0.000 002 56可以表示成－2 .56×10. 2. 用科学记数法表示绝对值小于1 的数的一般步骤 (1)确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，即 ① n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)的相反数； ②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于负几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤|a|﹤10，n是负整数). 【题型一】同底数幂相乘 例1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知，则 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 【题型二】用科学记数法表示数的乘法 例2．光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 变式2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【题型三】幂的乘方运算 例3．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）计算：= ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【题型四】积的乘方运算 例4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各图中，能直观解释“”的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·周测）计算： ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】同底数幂的除法运算 例5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算： ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【题型六】零指数幂 例6．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知，则 ． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【题型七】负整数指数幂 例7．（22-23七年级下·河南郑州·月考）是（    ） A． B． C．9 D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： ． 变式2．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）计算： 【题型八】用科学记数法表示绝对值大于1的数 例8．（24-25七年级下·云南丽江·期末）今年“五一”假期，丽江的旅游热度持续飙升，丽江古城累计接待游客达101万人次．将数据“101万”用科学记数法表示，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约为55000000km，数据55000000用科学记数法表示为： ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水． (1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？ (2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？ 【题型九】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例9．（24-25七年级下·全国·课后作业）成人每天维生素D的摄入量约为0.000046g，0.000046用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若0.00002用科学记数法表示为（，n为整数），则n的值为 ． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【题型十】同底数幂乘法的逆用 例10．（22-23七年级下·河南郑州·月考）若，则等于（    ） A．35 B．12 C． D．75 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求m． （2）已知，求． 【题型十一】幂的乘方的逆用 例11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，，则用x的代数式表示 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们知道还可以用怎样的式子来表示？请说出你这样表示的依据． 【题型十二】积的乘方的逆用 例12．计算的结果是（   ） A． B． C．3 D． 变式1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十三】同底数幂除法的逆用 例13．（24-25七年级下·广东梅州·月考）已知 ，则的值为（      ） A．4 B． C．64 D．12 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果，则 ． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，求的值． 【题型十四】幂的混合运算 例14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算（）2021×1.52020×（﹣1）2022的结果是（    ） A． B． C．﹣ D．﹣ 变式1．（23-24七年级下·江西抚州·月考）已知，则 ． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 一、单选题 1．地球绕太阳公转的速度约为，数字110000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知xm＝6，xn＝2，则的值等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 4．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C．0.75 D．-0.75 6．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（    ） A．1 B．－1 C．8 D．－8 8．有下列算式：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 9．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 10．计算： 11．若，计算： ． 12．计算： ． 13．若，则 ． 14．计算： ．（结果用幂的形式表示） 15．已知，，则的值是 ． 16．（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 17．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤： （1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为 ； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为 ； （3）重复上述的作法，图（1）经过第 次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是 ，面积是 ． 三、解答题 18．若，求x的值． 19．计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式． (1)． (2)． (3)． (4)． 20．计算： (1)； (2)； (3)（是正整数）； (4)（是正整数）． 21．将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 22．已知 a、b、c为有理数，且满足． (1)求 a、b、c 的值； (2)求 的值，其中 k 为最大的负整数； (3)若数轴上点 M、N、P 分别表示a、b、c ，点 Q 是数轴上一点，且点 Q 到点 M、N、P 的距离之和为 10，求点 Q 表示的数． 23．规定两数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明： 设，则，即， 所以，即， 所以． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：； ②猜想：________※________（结果化成最简形式）． 24．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 幂的乘除（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示为(m，n都是正整数). 2. 同底数幂的乘法运算性质的推广 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即(m，n，…，p都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即＝·(m，n都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1. 幂的乘方运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘 .用字母表示为()＝(m，n都是正整数). 2. 幂的乘方运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：[()]＝(m，n，p都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝()＝()(m，n都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1. 积的乘方运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母表示为(ab)＝(n为正整数). 2. 积的乘方运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)＝(n为正整数)； (2)积的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝(ab)(n为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 2. 同底数幂的除法运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即(a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n＋p)； (2)同底数幂的除法运算性质也可以逆用，逆用时＝÷(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 【知识点05】零指数幂 1. 零指数幂 ＝1(a ≠ 0)，即任何不等于0的数的零次幂都等于1. 推理过程：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如÷, 根据除法的意义可知所得的商为1. 如果依照同底数幂的除法运算性质来计算，又有÷＝＝，故＝1. 【知识点06】负整数指数幂 1. 负整数指数幂 ＝(a≠0，p是正整数)，这就是说， (a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)·＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (2)()＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (3)(ab)＝(a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数)； (4)÷＝(a ≠ 0，m，n是整数). 【知识点07】科学记数法 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10的形式，其中1≤a﹤10，n是负整数. 大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如－0.000 002 56可以表示成－2 .56×10. 2. 用科学记数法表示绝对值小于1 的数的一般步骤 (1)确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，即 ① n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)的相反数； ②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于负几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤|a|﹤10，n是负整数). 【题型一】同底数幂相乘 例1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键． 根据指数法则，同底数幂相乘，指数相加求解即可． 【详解】． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知，则 ． 【答案】6 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解． 【详解】解：已知 ，， 由同底数幂的乘法法则，得 ， 故答案为： 6． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：∵ （2） （3） （4） 【题型二】用科学记数法表示数的乘法 例2．光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案． 【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：． 故选：B 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 变式1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据路程速度时间即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 我们行驶的路程为， 答：我们行驶的路程为． 【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键． 【题型三】幂的乘方运算 例3．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键，直接根据幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 选项D符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）计算：= ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 利用幂的乘方解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【答案】（1）；（2） 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方； （1）根据幂的乘方法则进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方法则进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【题型四】积的乘方运算 例4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各图中，能直观解释“”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，正确理解数形结合的思想求解是解题的关键． 根据长方形和正方形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：、表示，故不符合题意； B、表示，故不符合题意； C、表示，故不符合题意． D、表示，故符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·周测）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，掌握积的乘方法则是解题的关键． 利用积的乘方法则，将式子中的每个因式分别平方，再将所得结果相乘． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，正确应为 (2)不正确，正确应为 (3)不正确，正确应为 (4)不正确，正确应为 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此可根据积的乘方“每个因式都乘方，然后把结果相乘”进行求解（1）（2）（3）（4）． 【详解】（1）解：计算不正确，正确过程如下： ； （2）解：计算不正确，正确过程如下： ； （3）解：计算不正确，正确过程如下： ； （4）解：计算不正确，正确过程如下： ． 【题型五】同底数幂的除法运算 例5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题可根据同底数幂的除法法则进行计算.同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，为正整数，且)；利用指数运算法则，将 转化为 ，然后代入已知条件计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型六】零指数幂 例6．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知，则 ． 【答案】1或4 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零指数幂以及有理数的乘方运算．根据，，（为整数），进行分类讨论求解即可． 【详解】解：当时：，此时，满足题意； 当时，即时：，满足题意； 当时：即时，，不满足题意； 综上：当或时，； 故答案为：1或． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简再计算得出答案； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型七】负整数指数幂 例7．（22-23七年级下·河南郑州·月考）是（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查的是负整数指数幂的运算，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂，有理数的乘方运算，负整数指数幂．根据相关法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型八】用科学记数法表示绝对值大于1的数 例8．（24-25七年级下·云南丽江·期末）今年“五一”假期，丽江的旅游热度持续飙升，丽江古城累计接待游客达101万人次．将数据“101万”用科学记数法表示，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：101万， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约为55000000km，数据55000000用科学记数法表示为： ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法“（其中为整数）”的形式规则． 根据科学记数法的定义，将数字表示为的形式，其中，为整数 【详解】解：数字， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水． (1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？ (2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？ 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据160万，且结合每人每天洗漱2次，每人每次可节省约的水，进行列式计算，即可作答． （2）根据用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，160万， 则， 即每天共可节约毫升的水； （2）解：由（1）得每天共可节约毫升的水； ∵用容量为的水瓶来装（1）中节约的水， ∴ 即可以装满瓶． 【题型九】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例9．（24-25七年级下·全国·课后作业）成人每天维生素D的摄入量约为0.000046g，0.000046用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，形式为，其中，由原数左边起第一个非零数字前的0的个数决定，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 确定的值以及的值，即可将用科学记数法表示． 【详解】解：∵中第一个非零数字前有个（包括小数点前的）， ∴ ，且，满足， ∴ ， 故选：B. 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若0.00002用科学记数法表示为（，n为整数），则n的值为 ． 【答案】-5 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】根据科学记数法的表示方法，对于绝对值小于的数，为负整数，其绝对值等于原数左边起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：的小数点向右移动位得到，即，满足，因此． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法表示较小的数，解题关键是明确科学记数法中的确定方法． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； （1）根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：数据用科学记数法表示为； （2）解：由（1）可知：． 【题型十】同底数幂乘法的逆用 例10．（22-23七年级下·河南郑州·月考）若，则等于（    ） A．35 B．12 C． D．75 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为 ． 【答案】16 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求m． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则． （1）利用幂的乘方法则，将左边化简后指数相等求解； （2）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将指数拆解后代入已知值计算，即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， 解得； （2）∵， ∴． 【题型十一】幂的乘方的逆用 例11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，，则用x的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方，要熟练掌握运算法则，解答此题的关键是要明确：是正整数）． 根据题意可得：，即可用的代数式表示． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们知道还可以用怎样的式子来表示？请说出你这样表示的依据． 【答案】或（合理即可） 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的运算（幂的乘方、同底数幂乘法），运用了公式逆用的方法，解题关键是掌握幂的运算公式，易错点是混淆幂的乘方与同底数幂乘法的法则． 【详解】解：还可以表示为，依据幂的乘方法则： 这里，，； 也可表示为，依据同底数幂乘法法则： ； 【题型十二】积的乘方的逆用 例12．计算的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，掌握积的乘方法则并能逆用是关键；把拆成，再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 变式1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【答案】1 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算．利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100000 (2)1 (3)1 (4)4 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型十三】同底数幂除法的逆用 例13．（24-25七年级下·广东梅州·月考）已知 ，则的值为（      ） A．4 B． C．64 D．12 【答案】B 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂除法．熟练逆用同底数幂除法的法则，是解题的关键． 逆用同底数幂除法的法则把化为，代入已知即得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂除法的逆用，把变形为，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂除法的逆运算法则计算得出，即可求出代数式的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型十四】幂的混合运算 例14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算（）2021×1.52020×（﹣1）2022的结果是（    ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用、幂的混合运算 【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可． 【详解】解： = = = = 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方等，熟练掌握相关公式的逆运算是解题的关键． 变式1．（23-24七年级下·江西抚州·月考）已知，则 ． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】此题考查了幂的运算，根据幂的运算法则得到和得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 一、单选题 1．地球绕太阳公转的速度约为，数字110000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项和积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是关键．先合并同类项，再计算积的乘方即可． 【详解】解： 故选：C 3．已知xm＝6，xn＝2，则的值等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵xm＝6，xn＝2， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 4．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．计算的结果是（    ） A． B． C．0.75 D．-0.75 【答案】D 【分析】先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】 = = = =, 故选：D． 【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 6．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法的意义，乘方的意义，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用乘法的意义，乘方的意义以及幂的乘方等运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．计算的结果是（    ） A．1 B．－1 C．8 D．－8 【答案】A 【分析】首先根据幂的乘方运算进行运算，再根据积的乘方运算的逆运算进行运算，即可求得结果． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算及积的乘方运算的逆运算，熟练掌握和运用幂的乘方运算及积的乘方运算的逆运算法则是解决本题的关键． 8．有下列算式：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方，各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：①，原计算错误，不符合题意； ②，原计算错误，不符合题意； ③，原计算错误，不符合题意； ④，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 9．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 二、填空题 10．计算： 【答案】 【分析】按照先乘方后乘除的顺序计算即可 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．若，计算： ． 【答案】1 【分析】根据同底数幂的除法法则，逐步计算．本题主要考查了同底数幂的除法法则，熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】根据零次幂与负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了零次幂与负整数指数幂，掌握零次幂与负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 13．若，则 ． 【答案】 16 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 14．计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 15．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接逆用同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则将原式变形，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 16．（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【答案】 【分析】（1）根据科学记数法表示即可求解； （2）将百分位的9四舍五入即可求解； （3）根据近似数四舍五入法，判断范围即可求解． 【详解】（1）解：将用科学记数法表示为 故答案为：． （2）把精确到十分位的近似数是； 故答案为：． （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于，而小于的数， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了科学记数法，求近似数，掌握以上知识是解题的关键． 17．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤： （1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为 ； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为 ； （3）重复上述的作法，图（1）经过第 次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是 ，面积是 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故可求解； （3）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图（3）的图形，得出图（1）经过第2次分形后即可得到； （4）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变． 【详解】（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为4a， 观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故此时图形的周长为； （3）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变． ∴经过n次分形得到的图形周长是4a×2n=，面积是． 故答案为；；2；；． 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度． 三、解答题 18．若，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，首先根据积的乘方，可将原式转化，得到等式，即可求出，解答本题的关键是掌握积的乘方的运算法则． 【详解】解：， ， 即， ， 解得． 19．计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了负指数幂的运算，同底数幂的乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握运算法则. （1）先根据幂的乘方运算，再根据同底数幂的乘法公式计算，最后将负整数幂化成正指数幂的倒数形式. （2）先根据积的乘方与幂的乘方运算，再根据负整数幂公式将化成正指数幂的倒数形式. （3）先根据积的乘方与幂的乘方运算，再根据同底数幂的除法公式计算正指数幂的形式. （4）先根据积的乘方与幂的乘方运算，再根据同底数幂的乘法公式计算，最后将负整数幂化成正指数幂的倒数形式. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式. （3）解：原式． （4）解：原式． 20．计算： (1)； (2)； (3)（是正整数）； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （4）根据同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 21．将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 22．已知 a、b、c为有理数，且满足． (1)求 a、b、c 的值； (2)求 的值，其中 k 为最大的负整数； (3)若数轴上点 M、N、P 分别表示a、b、c ，点 Q 是数轴上一点，且点 Q 到点 M、N、P 的距离之和为 10，求点 Q 表示的数． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】此题考查了解一元一次方程、负整数指数幂、绝对值等知识，分情况求解是关键． （1）根据绝对值的非负性即可得到答案； （2）先根据k 为最大的负整数得到，再求代数式的值即可； （3）设点 Q 表示的数为 x，根据点 Q 到点 M、N、P 的距离之和为 10得到，根据x的范围得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：因为，且绝对值具有非负性， 所以， 解得； （2）解：因为 k 为最大的负整数，所以， 则 ， （3）解：设点 Q 表示的数为 x， 则，即， 当 时，， ， 解得， 当时，, 解得（舍去） 当 时，, 解得（舍去） 当时，, 解得， ∴点 Q 表示的数是或 ． 23．规定两数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明： 设，则，即， 所以，即， 所以． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：； ②猜想：________※________（结果化成最简形式）． 【答案】(1)4， (2)①证明见详解；② 【分析】（1）利用新定义，直接求得即可； （2）①设间接未知数，利用新定义推导即可； ②利用前面的结论，直接运算即可． 【详解】（1）∵2c=16=24， ∴2※16=4， ∵a※36=-2， ∴a-2=36， ∴， ∴a=±． 故答案为：4；±． （2）①∵设5※7=x，5※9=y， ∴5x=7，5y=9， ∴5x×5y=7×9=63， ∴5x+y=63， ∴5※63=x+y， 即5※7+5※9=5※63； ②∵3n※4n=3※4， ∴（x-2）n※（y+1）n+（x-2）n※（y-3）n =（x-2）※（y+1）+（x-2）※（y-3） =（x-2）※[（y+1）（y-3）] =（x-2）※（y2-2y-3）． 故答案为： 【点睛】本题考查的是幂的新定义，解题关键是了解新定义的运算规则． 24．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $