精品解析：辽宁省沈阳市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025-2026学年上学期沈阳市普通高中一年级期末考试试卷 数学 命题：沈阳市第五中学 裴延峰 东北育才学校 庞德艳 主审：沈阳市教育研究院 周善富 （本试卷分第I卷和第II卷两部分.满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 5. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 6. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A. 平均数为15，标准差为10 B. 平均数为15，标准差为50 C. 平均数为17，标准差为10 D. 平均数为17，标准差为50 7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A 若，，则 B. 若是一组基底，则也是一组基底 C. 若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D. 若，则存在唯一的实数，使得 10. 为了了解某次数学测验学生的得分情况，数学老师从甲、乙两个班分别随机选取若干名学生成绩，整理后作出图表.甲班所选取同学成绩作出图（1），且图中；乙班所选取同学成绩作出图（2），且图中有一个数字污损不清.则下列说法正确的是（ ） A. B. 若图（2）中现有数据的平均数和污损前相等，则图（2）污损前数据的众数为76 C. 若直方图中每个数据都用该区间的中点值代替，则估计甲班同学成绩的平均数为76 D. 估计乙班同学成绩的75%分位数为85 11. 已知函数，，下列说法正确是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 设函数的所有零点之和为，则 C. 若，，且，则的取值范围为 D. 若，，且，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集是，则实数的值为___________. 13. ，使成立，则实数的取值范围是___________. 14. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“” 的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 袋中有5个大小质地完全相同小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． （1）求至少一个是白球概率； （2）设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 17. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为，其中和都是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物.求： （1）10h时还剩百分之多少的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间？（参考数据：，） 18. 如图，设点为的重心，连接并延长，交线段于点，过点的直线与线段和分别交于点和点.设，，，. （1）用，表示，； （2）求函数的解析式，并写出其定义域； （3）判断并证明函数在其定义域上的单调性. 19. 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点． （1）求函数与解析式； （2）若，求x的取值范围； （3）若，，使成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期沈阳市普通高中一年级期末考试试卷 数学 命题：沈阳市第五中学 裴延峰 东北育才学校 庞德艳 主审：沈阳市教育研究院 周善富 （本试卷分第I卷和第II卷两部分.满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用并集的运算法则求解． 【详解】，解得或， ， ，解得， ， ，故D正确． 故选：D． 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】依题意找到成立的等价条件，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】因， 对于，，当且仅当时等号成立. 则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 4. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 【答案】C 【解析】 【分析】 令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】解：令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选： 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 5. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 详解】移项得.故选B 6. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A. 平均数为15，标准差为10 B. 平均数为15，标准差为50 C. 平均数为17，标准差为10 D. 平均数为17，标准差为50 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【详解】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 8. 已知函数定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，原不等式可转化为，利用已知条件和函数单调性的定义判断的单调性，结合给出的特殊点求解即可. 【详解】因为对于，且，有成立， 不妨设，则， 不等式可转化为 令，任取且， 因为，即， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以的解集为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若是一组基底，则也是一组基底 C. 若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D. 若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 10. 为了了解某次数学测验学生的得分情况，数学老师从甲、乙两个班分别随机选取若干名学生成绩，整理后作出图表.甲班所选取同学成绩作出图（1），且图中；乙班所选取同学成绩作出图（2），且图中有一个数字污损不清.则下列说法正确的是（ ） A. B. 若图（2）中现有数据的平均数和污损前相等，则图（2）污损前数据的众数为76 C. 若直方图中每个数据都用该区间的中点值代替，则估计甲班同学成绩的平均数为76 D. 估计乙班同学成绩的75%分位数为85 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，可判断A的正误；根据平均数的求法及众数的概念，可判断B的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，代数计算，可判断C的正误；根据百分位数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以设，则， 由题意得， 所以，解得， 所以，故A错误； 选项B：图（2）中现有数据为58,64,66,73,76,83,85,88,91， 平均数为， 因为现有数据的平均数和污损前相等，所以被污损数字为6，成绩为76， 则图（2）污损前数据的众数为76，故B正确； 选项C：甲班同学成绩平均数，故C正确； 选项D：设被污损成绩为a，则， 所以乙班同学的成绩为58,64,66,73,76,a,83,85,88,91， 则，所以乙班同学成绩的75%分位数为85，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 设函数的所有零点之和为，则 C. 若，，且，则的取值范围为 D. 若，，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】分离常数，根据在上单调性，分析可得的单调性，即可判断A的正误；令，解得x值，分析即可判断B的正误；根据m的范围，可得的值域，即可得的值域，根据的解析式，可得n的范围，即可判断C的正误；分别求出和的表达式，化简计算，即可判断D的正误. 【详解】选项A：， 因为在上单调递减，则在上单调递减， 所以在上单调递增，故A正确； 选项B：令，解得， 解得，所以零点之和，故B正确； 选项C：由，得， 因为，所以，则， 所以，所以， 因为，所以，所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 又，， 所以，即，故D正确； 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集是，则实数的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】将原不等式移项通分，转化为分式不等式，再等价为整式不等式（注意分母不为0），根据已知解集，确定分式分子的根​，令分子等于0，代入即可求得a. 【详解】原式移项通分，得：，即， 等价于且，由解集可知：是的根，得. 故答案为：3. 13. ，使成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分离参变量法，来求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由于当时，不等式， 要，使成立，即满足 因为函数在上单调递增，所以， 即， 故答案为： 14. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“” 的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的定义求出结果即可. （2）因为“”是“” 的充分不必要条件，所以是的真子集，然后列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以集合， 集合， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“” 的充分不必要条件，所以是的真子集. 对于不等式，令，其判别式. 当时，即时，不等式的解集，此时不满足是的真子集. 当时，即时，方程的两根为 ，则不等式的解集. 因为，是的真子集，所以. 解得，所以实数的取值范围为. 16. 袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． （1）求至少一个是白球的概率； （2）设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）A与B是相互独立的，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由对立事件概率公式、独立乘法公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式和独立事件的定义求解即可. 【小问1详解】 由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立， 故至少一个是白球的概率为； 【小问2详解】 因为事件A为“第一次是白球”， 事件B为“两个小球的编号之和为6”，即为 所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”， 所以， 注意到， 所以， 而， 从而， 所以A与B是相互独立的. 17. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为，其中和都是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物.求： （1）10h时还剩百分之多少的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间？（参考数据：，） 【答案】（1）81% （2）37.5(h) 【解析】 【分析】（1）当时，得，然后代入，化简即可. （2）令，将和，两个式子化简然后取对数，两个式子把k消去，最后化简. 【小问1详解】 已知 ，时，。 代入得，化简得. 当 时，。 因此，10h时还剩81%的污染物。 【小问2详解】 污染物减少50%,即， 代入公式，化简得，即 由，两边取自然对数得，即。 将代入化简得， 即 利用换底公式，化简得 (h) 18. 如图，设点为的重心，连接并延长，交线段于点，过点的直线与线段和分别交于点和点.设，，，. （1）用，表示，； （2）求函数的解析式，并写出其定义域； （3）判断并证明函数在其定义域上的单调性. 【答案】（1）， （2）；定义域为 （3）单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形重心的定义得，结合图形利用向量的线性运算求解即可； （2）由三点共线可得，消去解出的关系得到解析式，根据，在线段，上求得定义域即可； （3）利用函数单调性定义判断即可. 【小问1详解】 因为点为的重心， 所以， 所以， . 【小问2详解】 因为三点共线，所以， 即， 又因为不共线，所以，消去得， 因为点分别是线段和线段上的点，由题意易知，，即，， 由解得，又由解得，即得 故函数的解析式为 ，其定义域为. 【小问3详解】 由（2）得，， 在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因，则，， ， 所以在上单调递减. 19. 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点． （1）求函数与的解析式； （2）若，求x的取值范围； （3）若，，使成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与函数（且）互为反函数，再代入点的坐标求解可得a值，则解析式可求； （2）将原不等式化为形式，利用指数函数与对数函数的单调性求解即可； （3）将原问题转化为时，的最大值大于时的最大值，再分、、三种情况进行讨论即可求出k的取值范围. 【小问1详解】 ∵函数与函数（且）互为反函数 ∴． 又函数的图象经过点 ∴，即． ∴，； 【小问2详解】 由不等式得： ∴ ∴ ∴． 故解集为； 【小问3详解】 因为，， 使成立， 所以时的最大值大于时的最大值． 又时，的值域为，时，的值域为 ∴①当时，，，，， 则，解得：． ②当时，，，，， 则，此不等式组无解. ③当时，，， ，， 则，解得： 综上，k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $