第5章 一元一次方程（知识清单）数学新教材华东师大版七年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元一次方程”单元内容，涵盖方程概念、等式性质、一元一次方程的定义与解法、实际应用四大知识范畴，为学生搭建了从“概念理解”到“性质运用”再到“问题解决”的递进式学习支架。 清单采用“知识点-易错点-题型”三级架构呈现知识体系，将“解一元一次方程步骤”与等式性质深度关联，标注“去分母漏乘”“移项不变号”等易错点，培养学生的运算能力和推理意识。特别设计“实际问题类型库”，如行程问题中“相遇/追及等量关系”解析、利润问题“售价-成本=利润”模型构建，不同层次学生可按需训练，教师可直接用于课堂例题设计，提升教学效率。

第5章 一元一次方程 知识点1：方程的概念 1．定义：含有_________的_________叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①_______；②__________． 2．方程的解：使方程_________ 相等的_________值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)_________)，结果仍相等．即：若a=b，则_________； 等式的性质2：等式两边乘_________，或除以_________，结果仍_________．即若a=b，则_________，； 注意： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.定义：只含有_________未知数（元），且含有未知数的式子都是_________，未知数的次数都是_________，这样的方程叫做一元一次方程. 注意： 一元一次方程中的“元”是指_________，“次”是指_________的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个_________; ② 必须只含有一个_________; ③ 含有未知数的式子都是_________; ④ 未知数的次数都是_________． 2.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的_________．依据是等式的_________. (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．依据是等式的_________. (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为_________的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数项的_________得到方程的解(a≠0)．依据是等式的_________. (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：___________________________． （1）审：根据题意，审清已知条件与问题，审清题中数量及其关系； （2）设：设立适当的未知数表示题中的量； （3）列：表示出其他题中的量，并列出符合题意的一元一次方程的等式； （4）解：解一元一次方程； （5）验：验证方程的解是否符合题意； （6）答：根据方程的解和题意回答问题。 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： ___________________________ 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：_________ 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：__________________；“一般把_________设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 1.正确理解一元一次方程的概念 错误：认为“”是一元一次方程。 注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式”，而整式包括单项式和多项式，这个方程中含有，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程; 2.认识一元一次方程 错误：在没有整理前就根据定义判断是否为一元一次方程。 注意：判断一个等式是不是一元一次方程，要同时满足：①整理后等式中存在x；②等式两边均为整式；③未知数仅有一个；④未知数的最高次为一次。 3.解一般的一元一次方程 错误：“﹣”号在解一元一次方程时非常重要。在解一般方程时，去括号时括号前是“﹣”号的，对括号中的所有单项不变号；或在利用等式的性质1移项时没有变号，在利用等式的性质2将未知数系数化为1时，遇到同乘或除以一个负数时，漏掉“﹣”号。 注意：遇到有“﹣”号时，要格外注意： ①去括号时，遇到括号前是“﹣”号的，去括号后，括号中的每一项都要变号，或乘以括号前的系数时，每一项都要乘以“﹣”号； ②移项使用的是等式的性质1，效果是每一单项从左边移到右边（或从右边移到左边）时，单项要变号。 ③在合并同类项后，要将左边关于微指数的一次单项式的系数化为1，则需要两边同时除以这个系数，当系数为负数时，注意右边同样要除以这个负数，每一项的结果同样要变号。 4.根据新定义或规则列式解决问题 错误：对新定义运算的运算法则和运算顺序理解不够。 注意：新定义问题，首先要理清楚新的运算法则，以及运算顺序，尤其是括号不能省略。 5.已知一元一次方程的解探究字母参数 错误：遇到一元一次方程中，存在表示常数的字母参数时，不能根据方程的解的作用进行探究。 注意：学会将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的等式，进而求出字母参数的值，或进行其他探究。 6.解决一元一次方程的实际问题的基本步骤 错误：在实际问题中常见的错误：①不能用所设的未知数x表示题中其他数量；②不能根据题目描述，或根据实际问题中的等量关系列式；③解得的方程的解不进行验算，也不检验是否符合题意。 注意：解决实际问题要遵循：①审②设③列④解⑤验⑥答，具体注意回顾知识清单中的第6点。 7.相遇问题与追及问题 错误：不能根据相遇问题或者追及问题列出正确的关于路程的等量关系。 注意：相遇问题的等量关系：A的路程+B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度+B的速度）×时间=AB之间的距离；追及问题的等量关系：A的路程（速度快的）－B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度－B的速度）×时间=AB之间的距离。 8.分配问题中的配套 错误：搞反配套问题中比的关系，比如A和B的数量是2:3的关系，会列成2A=3B； 注意：要注意，比如当A和B的数量是2:3的关系时，要将比例写成A的数量：B的数量=2:3，根据比例的性质，得到的是3A=2B。 9.分段计费问题中的分类讨论 错误：不同数量时的计费方式是不同的，在未知具体数量的情况下没有分类讨论，就只能得到一种结果。 注意：此类问题一定首先要确定每次计费所在的计费分段。如果没有具体说明，一定要每种情况都进行讨论。 题型01 一元一次方程的概念 1．是下列哪个一元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 3．若等式是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 4．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 5．写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 6．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 7．如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 题型02一元一次方程的解法 8．解方程： (1)； (2)． 9．已知关于的方程． (1)若是方程的解，求的值； (2)若该方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 10．阅读材料：对于有理数，我们规定：． 例如： (1)计算的值； (2)当时，求的值． 11．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 12．已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是 ． 13．若的值与4互为相反数，则a的值为（   ） A． B． C．1 D． 14．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 题型03一元一次方程的应用 15．如图是某月的月历、用“H”形框（阴影部分）覆盖任意七个数并求它们的和，则这七个数的和可能是（） A．189 B．126 C．112 D．85 16．春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，2副春联和3个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸90张，一张红纸能制作2副春联或制作6个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？ 17．在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱：如果每人出6文钱，就差16文钱，买鸡 人． 18．综合与实践 在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案， 方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元， 设缴费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费共为N元． (1)分别用x表示M，N； (2)缴费时间为多少个月时，两种方案费用相同？并说明理由． (3)若垃圾桶使用时间为两年，哪种方案更省钱？ 19．为迎接东亚运动会我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲、乙两队合作一天，可完成总工作量的． (1)甲队一天可完成总工作量的_____； (2)乙队单独完成这项工程需要多少天? (3)已知每天需付甲队工程款与每天需付乙队工程款之比为．若该工程由甲队先做20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲乙两队的工程款共计360万元，求每天需付甲乙工程款各多少万元？ 20．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高 ． 21．在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是A网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+时长费）．若此题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： A网约车 起步费 6元（2公里以内） 里程费 元/公里（不足一公里按一公里计算） 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 (1)若乘车里程数为10公里，则时长费是_____元，打车费是_____元； (2)若打车费为35元，可乘坐的里程数是多少公里？ (3)小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用元购买了3张打车折扣券．到达目的地后，软件显示里程数为25公里，用了一张打车折扣券，包括买券费元在内一共花费了50元，请直接写出本次用的折扣券是几折券． 22．12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．即：若a=b，则a±c=b±c； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即若a=b，则ac=bc，或； 注意： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 注意： 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个方程; ② 必须只含有一个未知数; ③ 含有未知数的式子都是整式; ④ 未知数的次数都是1． 2.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．依据是等式的性质2. (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．依据是等式的性质1. (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数项的系数得到方程的解(a≠0)．依据是等式的性质2. (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）审：根据题意，审清已知条件与问题，审清题中数量及其关系； （2）设：设立适当的未知数表示题中的量； （3）列：表示出其他题中的量，并列出符合题意的一元一次方程的等式； （4）解：解一元一次方程； （5）验：验证方程的解是否符合题意； （6）答：根据方程的解和题意回答问题。 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 1.正确理解一元一次方程的概念 错误：认为“”是一元一次方程。 注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式”，而整式包括单项式和多项式，这个方程中含有，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程; 2.认识一元一次方程 错误：在没有整理前就根据定义判断是否为一元一次方程。 注意：判断一个等式是不是一元一次方程，要同时满足：①整理后等式中存在x；②等式两边均为整式；③未知数仅有一个；④未知数的最高次为一次。 3.解一般的一元一次方程 错误：“﹣”号在解一元一次方程时非常重要。在解一般方程时，去括号时括号前是“﹣”号的，对括号中的所有单项不变号；或在利用等式的性质1移项时没有变号，在利用等式的性质2将未知数系数化为1时，遇到同乘或除以一个负数时，漏掉“﹣”号。 注意：遇到有“﹣”号时，要格外注意： ①去括号时，遇到括号前是“﹣”号的，去括号后，括号中的每一项都要变号，或乘以括号前的系数时，每一项都要乘以“﹣”号； ②移项使用的是等式的性质1，效果是每一单项从左边移到右边（或从右边移到左边）时，单项要变号。 ③在合并同类项后，要将左边关于微指数的一次单项式的系数化为1，则需要两边同时除以这个系数，当系数为负数时，注意右边同样要除以这个负数，每一项的结果同样要变号。 4.根据新定义或规则列式解决问题 错误：对新定义运算的运算法则和运算顺序理解不够。 注意：新定义问题，首先要理清楚新的运算法则，以及运算顺序，尤其是括号不能省略。 5.已知一元一次方程的解探究字母参数 错误：遇到一元一次方程中，存在表示常数的字母参数时，不能根据方程的解的作用进行探究。 注意：学会将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的等式，进而求出字母参数的值，或进行其他探究。 6.解决一元一次方程的实际问题的基本步骤 错误：在实际问题中常见的错误：①不能用所设的未知数x表示题中其他数量；②不能根据题目描述，或根据实际问题中的等量关系列式；③解得的方程的解不进行验算，也不检验是否符合题意。 注意：解决实际问题要遵循：①审②设③列④解⑤验⑥答，具体注意回顾知识清单中的第6点。 7.相遇问题与追及问题 错误：不能根据相遇问题或者追及问题列出正确的关于路程的等量关系。 注意：相遇问题的等量关系：A的路程+B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度+B的速度）×时间=AB之间的距离；追及问题的等量关系：A的路程（速度快的）－B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度－B的速度）×时间=AB之间的距离。 8.分配问题中的配套 错误：搞反配套问题中比的关系，比如A和B的数量是2:3的关系，会列成2A=3B； 注意：要注意，比如当A和B的数量是2:3的关系时，要将比例写成A的数量：B的数量=2:3，根据比例的性质，得到的是3A=2B。 9.分段计费问题中的分类讨论 错误：不同数量时的计费方式是不同的，在未知具体数量的情况下没有分类讨论，就只能得到一种结果。 注意：此类问题一定首先要确定每次计费所在的计费分段。如果没有具体说明，一定要每种情况都进行讨论。 题型01 一元一次方程的概念 1．是下列哪个一元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．将代入每个方程，计算左右两边是否相等即可得解． 【详解】解：、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项符合题意； 故选：． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为且系数不为，据此即可列出条件求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， 即，且， 故的值为． 故答案为：． 3．若等式是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，因此． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程，所以x的指数， 解得． 故答案为：3． 4．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是1，且一次项的系数不为0的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 5．写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．根据定义即可求解． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 题型02一元一次方程的解法 8．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ． 9．已知关于的方程． (1)若是方程的解，求的值； (2)若该方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据方程的解的定义把代入方程，得到关于m的方程，求解得到m的值，再代入式子求值即可； （2）先分别求出两个方程的解，根据它们的解互为相反数得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． （2）解：解方程得， 解方程得， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴， ∴． 10．阅读材料：对于有理数，我们规定：． 例如： (1)计算的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握定义新运算法则，准确计算． （1）根据题干定义新运算列出算式进行计算即可； （2）根据定义新运算列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ， 且， ∴， 解得． 11．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 【答案】(1)方程是方程的前置方程，见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意是解题的步骤． （1）求出两个方程的解，利用“前置方程”的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“前置方程”的定义列出关于、的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】（1）解：方程是方程的“前置方程”， 理由：解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程是方程的“前置方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程是关于的方程的“前置方程”， ∴， ∴， ∴． 12．已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，数字类规律探索等知识点，解题的关键是找到的幂的个位数字的规律． 由方程恒成立条件，得系数相等和常数项相等，求出m和n的值，再计算，然后求其2026次幂的个位数字，通过3的幂的个位循环周期确定． 【详解】解：因为方程恒成立， 所以，， 解得，， 所以， 因为的幂的个位数字周期为：即个位，个位，个位，个位，依此循环．余，对应个位数字为． 故答案为：9． 13．若的值与4互为相反数，则a的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，据此列出方程并求解． 【详解】解：∵与4互为相反数， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故选：C． 14．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的错解问题． （1）根据“方程右边的忘记乘12”得到小明去分母后的方程，进而将代入求解即可； （2）得到正确的方程，进而根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， ∵小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12， ∴小明去分母后的方程应为， ∵求出的解为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴方程为， 两边乘12，得， 去括号得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 题型03一元一次方程的应用 15．如图是某月的月历、用“H”形框（阴影部分）覆盖任意七个数并求它们的和，则这七个数的和可能是（） A．189 B．126 C．112 D．85 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点是解题的关键． 设“H”形框框出7个数的中间的数为x，则另外6个数分别为，将7个数相加，可得出这7个数的和为，代入各选项中的数，可求出x的值，即可确定结论． 【详解】解：设“H”形框框出7个数的中间的数为x，则另外6个数分别为， ∴这7个数的和为， A．根据题意得：， 解得：， ∵，不符合题意， ∴框出的这7个数的和不可能是189，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：，符合题意， ∴框出的这7个数的和可能是126，选项B符合题意； C．根据题意得：， 解得：，由图可得不符合题意， ∴框出的这7个数的和不可能是112，选项C不符合题意； D．根据题意得：， 解得：，不符合题意， ∴框出的这7个数的和不可能是85，选项D不符合题意． 故选：B． 16．春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，2副春联和3个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸90张，一张红纸能制作2副春联或制作6个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？ 【答案】 用张红纸制作春联，用张红纸制作福字． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设用张红纸制作春联，则用张红纸制作福字，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设用张红纸制作春联，则用张红纸制作福字， 根据题意可得， 解得， ∴（张） ∴用张红纸制作春联，用张红纸制作福字． 17．在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱：如果每人出6文钱，就差16文钱，买鸡 人． 【答案】9 【分析】本题考查的是运用一元一次方程解决实际问题，设未知数，通过等量关系建立方程是解题的关键．设买鸡的人数为x人，根据鸡的价钱不变，列出方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 根据题意，， 解得， 答：买鸡的有9人． 故答案为：9． 18．综合与实践 在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案， 方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元， 设缴费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费共为N元． (1)分别用x表示M，N； (2)缴费时间为多少个月时，两种方案费用相同？并说明理由． (3)若垃圾桶使用时间为两年，哪种方案更省钱？ 【答案】(1)； (2)交费时间为8个月时，两种方案费用相同，理由见详解 (3)方案一更省钱，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式及代数式的求值，解题的关键是理解题意，正确列出方程； （1）根据题意列式即可； （2）根据费用相同列方程求解即可； （3）分别计算两种方案的费用，作比较即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得，； （2）解：缴费时间为8个月时，两种方案费用相同，理由如下， 由题意，得， 解得； （3）解：方案一更省钱，理由如下： 当时，（元），（元）， ， 方案一更省钱． 19．为迎接东亚运动会我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲、乙两队合作一天，可完成总工作量的． (1)甲队一天可完成总工作量的_____； (2)乙队单独完成这项工程需要多少天? (3)已知每天需付甲队工程款与每天需付乙队工程款之比为．若该工程由甲队先做20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲乙两队的工程款共计360万元，求每天需付甲乙工程款各多少万元？ 【答案】(1) (2)乙队单独完成这项工程需要90天 (3)每天需付甲工程款6万元；每天需付乙工程款4万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）将这项工程的工作量看作单位1，根据工作效率＝工作量÷工作时间，进行计算即可得答案； （2）将这项工程的工作量看作单位1，根据工作时间=工作总量÷工作效率，进行求解即可； （3）设每天需付甲乙工程款分别为万元、万元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， 答：乙队单独完成这项工程需要90天． （3）解：设甲、乙两队合作了天， 根据题意得：，解得． 设每天需付甲乙工程款分别为万元、万元， 根据题意得： ， 解得， ∴，， 答：每天需付甲队工程款6万元；每天需付乙队工程款4万元． 20．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，得等量关系为：容器的底面积容器中水的原来高度玻璃棒的截面积（容器中水的高度水增加的高度）容器的底面积（容器中水原来的高度水增加的高度）． 【详解】解：设容器内的水将升高， 依题意有：， 解得． 故容器内的水将升高． 故答案为：． 21．在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是A网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+时长费）．若此题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： A网约车 起步费 6元（2公里以内） 里程费 元/公里（不足一公里按一公里计算） 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 (1)若乘车里程数为10公里，则时长费是_____元，打车费是_____元； (2)若打车费为35元，可乘坐的里程数是多少公里？ (3)小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用元购买了3张打车折扣券．到达目的地后，软件显示里程数为25公里，用了一张打车折扣券，包括买券费元在内一共花费了50元，请直接写出本次用的折扣券是几折券． 【答案】(1)3，21 (2)15 (3)本次用的折扣券是7折券 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减的应用． （1）根据时长费及打车费的计费方式进行计算即可； （2）设乘坐的里程数为公里（为整数），然后用的式子表示出打车费，再根据“打车费为35元”列出方程求解即可； （3）根据，可直接根据（2）中打车费代数式求出原打车费，求出折扣后打车费，进而求比值即可． 【详解】（1）解：乘车里程10公里，车速40公里/小时， 时间小时分钟， 时长费(元)， 起步费6元，里程费超过2公里部分8公里， 里程费(元)，远途费0元， 打车费(元)， 答：时长费3元，打车费21元． 故答案为：3，21； （2）解：设可乘坐的里程数是x公里（为整数）， ∵， ∴， 时间小时分钟，时长费(元)， 起步费6元，里程费元，远途费(元)， 打车费(元)， 则， 解得：， 答：可乘坐的里程数是15公里； （3）解：∵， ∴原打车费(元)， 用券后总花费50元包括买券费元，折扣后打车费(元) 折扣率， 即本次用的折扣券是7折券． 22．12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 【答案】(1)5， (2)5 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据题干中参赛者的成绩和参赛者的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由题干中参赛者的成绩可知：每答对一道题得分， 由题干中参赛者的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，． （2）解：设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题， 根据题意：， 解得：， 答错了：道， 答：参赛学生李明答错了5道题． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $