第二单元 比例（知识清单）数学北师大版六年级下册

该小学数学“比例”单元知识清单系统梳理了比例的意义与基本性质、解比例方法、比例尺应用及图形放大缩小等核心内容，构建了从概念理解到实际应用的递进式学习支架，涵盖基础知识点与多样化题型训练。 清单通过“知识点+题型”分类呈现知识体系，如将比例尺分为数值与线段两类并结合实例应用，培养学生抽象能力与应用意识。设计“一看二算三画”图形缩放步骤等实用技巧，搭配填空、解答等分层练习，助力学生高效掌握，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

第二单元 比例 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：比例的意义和基本性质 1、 判断两个比能否组成比例，关键是看这两个比的比值是否相等。 2、 判断四个数能否组成比例时，先把最大数与最小数相乘，再把另外两个数相乘，如果两个积相等，就能组成比例。 知识点02：解比例的方法 1、 求比例中的未知项的过程叫作解比例； 2、 解比例的方法：根据比例中两个内项的积等于两个外项的积，先把比例转化乘外项的积与内项的积相等的形式，再根据等式的性质解方程，求出未知项的值。 知识点03：比例尺的意义，分类和应用 1、 2、 比例尺分为数值比例尺和线段比例尺； 3、 比例尺是涂爽距离与实际距离的比，而图上面积与实际面积的比是比例尺的平方。 知识点04：在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小 1、 把一个图形放大或缩小后所得图形与原图形相比，形状相同，大小相同。 2、 在方格纸上按比将图形放大或缩小的步骤：一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算出的结果画出原图形的放大图或缩小图。 题型1：比例的意义和基本性质 【例1】甲、乙两人都有存款，如果甲的存款数增加25%，乙的存款数减少20%，则此时两人的存款数相等，原来甲、乙两人存款数的比是( )∶( )。 【答案】 16 25 【分析】由于甲的存款数增加25%，即此时的存款数相当于原来的1＋25%＝125%，即此时的存款数：甲原来的存款×125%；乙的存款数减少20%，即此时乙的存款数相当于原来的1－20%＝80%，即此时乙的存款数：乙原来的存款×80%，由于此时两人的存款相等，即甲原来的存款×125%＝乙原来的存款×80%，根据比例的基本性质，内项积＝外项积，即甲原来的存款∶乙原来的存款＝80%∶125%，由此化简80%∶125%即可求解。 【详解】由分析可知： 甲原来的存款×125%＝乙原来的存款×80% 甲原来的存款∶乙原来的存款＝80%∶125% ＝（80%×20）∶（125%×20） ＝16∶25 【点睛】本题主要考查比例的基本性质以及比一个数多（或少）百分之几的数是多少，熟练掌握它们的运算方法并灵活运用。 【例2】若（A，B均不为0），A∶B写成最简整数比是( )。 【答案】8∶15 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；A×＝B×化为：A∶B＝∶；再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。 【详解】A×＝B× A∶B＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝8∶15 【点睛】利用比例的基本性质和比的基本性质进行解答。 题型2：解比例的方法 【例3】四个小朋友有一些零花钱，小聪有6元，小明有15元，小智有3元，小慧的零花钱数刚好能和他们三个的零花钱数组成一个比例，你觉得小慧有多少零花钱？请说明你的理由。 【答案】小慧有30元或7.5元或1.2元，理由见详解。 【分析】因为四人的零花钱能组成一个比例，根据比例的基本性质：内项积等于外项积。分成不同的情况解比例，求出x的值。 【详解】解：设小慧的零花钱为x元。 第一种：6和15作为比例的内项。 3x＝6×15 3x＝90 x＝90÷3 x＝30 第二种：15和3作为比例的内项。 6x＝3×15 6x＝45 x＝45÷6 x＝7.5 第三种：6和3作为比例的内项。 15x＝3×6 15x＝18 x＝18÷15 x＝1.2 答：小慧有30元或7.5元或1.2元 【例4】淘气和笑笑收集的邮票张数的比是3∶5，淘气收集36张邮票，笑笑收集多少张邮票？ 【答案】60张 【分析】根据题意可知，淘气收集36张邮票，淘气和笑笑收集的邮票张数比是3∶5，设：笑笑收集x张邮票，根据比例的基本性质，列出比例的式子，即：3∶5＝36∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设笑笑收集x张邮票 3∶5＝36∶x 3x＝36×5 3x＝180 x＝180÷3 x＝60 答：笑笑收集60张邮票。 【点睛】本题主要考查了比例的应用，关键是要认真分析题意，找出成比例关系的量进行解答。 【例5】广州塔高600米，是目前中国第一高的电视塔。星星公司设计制作了这座电视塔的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶300。模型的高度是多少米？ 【答案】2米 【分析】由题意可知，设模型的高度是x米，再根据模型的高度与实际的高度比是1300，列出比例解比例即可。 【详解】解：设模型的高度是x米。 x∶600＝1∶300 300x＝600 300x÷300＝600÷300 x＝2 答：模型的高度是2米。 题型3：比例尺的意义，分类和应用 【例6】一幅地图的比例尺是把它改成数值比例尺是( )。如果图上距离为3.5厘米，表示实际距离是( )千米。 【答案】 1∶4000000 140 【分析】由题意可知，图上1厘米代表实际距离40千米，根据比例尺的意义求出数值比例尺即可，最后利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出3.5厘米对应的实际距离。 【详解】比例尺：1cm∶40km＝1cm∶4000000cm＝1∶4000000 实际距离：3.5÷÷100000 ＝14000000÷100000 ＝140（千米） 【点睛】比例尺表示图上距离与实际距离的比，解题过程中注意单位的换算。 【例7】北京到广州的实际距离大约是1920千米，在一幅地图上量得这两地的距离是20厘米。这幅地图的比例尺是多少？ 【答案】1∶9600000 【分析】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答，注意单位名数的统一。 【详解】1920千米＝192000000厘米 20∶192000000 ＝（20÷20）∶（192000000÷20） ＝1∶9600000 答：这幅地图的比例尺是1∶9600000。 【例8】两张不同的图纸，A图纸的比例尺是1∶2000，B图纸的比例尺是1∶500。那么，这两张图纸上3厘米长的线段表示的实际长度各是多少米？ 【答案】A图60米；B图15米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入相关数据分别求出图上距离3厘米分别表示的实际距离是多少厘米，再把厘米化成米即可。 【详解】3÷ ＝3×2000 ＝6000（厘米） 6000厘米＝60米 3÷ ＝3×500 ＝1500（厘米） 1500厘米＝15米 答：A图纸上3厘米表示实际长度60米，B图纸上3厘米表示实际长度15米。 题型4：在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小 【例9】把①号三角形按( )∶( )的比放大得到②号三角形，①、②号三角形面积的比是( )∶( )。 【答案】 2 1 1 4 【分析】找出②号三角形与①号三角形对应边的比即可；分别算出①、②号三角形的面积化到最简即可。 【详解】b1∶b＝8∶4＝2∶1；①号三角形面积4×2÷2＝4，②号三角形的面积8×4÷2＝16，①、②号三角形的面积比是4∶16＝1∶4，故答案为：2∶1；1∶4 【点睛】掌握图形的放大或缩小的比是放大或缩小后图形与原图对应边的比是解题关键。 一、填空题 1．在3∶2＝12∶8这个比例中，两个外项是( )和( )，两个内项是( )和( )。 【答案】 3 8 2 12 【详解】离等号较远的两个数是3和8，故3和8是外项，靠近等号的两个数是2和12，故2和12是内项。 2．在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是( )和( )。 【答案】 3 15 【分析】在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；据此解答。 【详解】根据对比例的认识可知：在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是3和15。 3．明明身高1.6米，在照片上他的身高是4厘米。这张照片的比例尺是( )。 【答案】1∶40 【分析】利用比例尺的意义求解，注意单位之间的进率。 比例尺＝图上距离∶实际距离 1米＝100厘米 【详解】4厘米∶1.6米 ＝4厘米∶160厘米 ＝4∶160 ＝1∶40 故答案为1∶40 【点睛】求比例尺时，一定要先统一单位，不要忘记化简。 4．在比例尺是的地图上量得A、B两地的距离是30厘米，两列客车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每时行52千米，乙车每时行48小时，( )时后两车相遇。 【答案】9 【分析】根据比例尺可知，1厘米表示30千米，用30×30，求出A、B两地的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，用A、B两地的路程÷甲车和乙车的速度和，即可解答。 【详解】30×30＝900（千米） 900÷（52＋48） ＝900÷100 ＝9（时） 在比例尺是的地图上量得A、B两地的距离是30厘米，两列客车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每时行52千米，乙车每时行48小时，9时后两车相遇。 【点睛】本题考查图上距离和实际距离之间的换算，以及路程、速度和时间三者关系进行解答。 5．甲的和乙的相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。 【答案】 8 15 【分析】根据题意，甲的和乙的相等，即甲×＝乙×，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，求出甲和乙的最简比；再利用方程计算出当甲数是0.8时，乙数的值。 【详解】甲×＝乙× 甲∶乙＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝8∶15 当甲数等于0.8时， 解：设乙数为x。 0.8∶x＝8∶15 8x＝0.8×15 8x＝12 x＝12÷8 x＝ 甲的和乙的相等，甲∶乙＝8∶15，当甲数是0.8时，乙数是。 【点睛】熟练掌握比例的基本性质以及解比例的方法是解答本题的关键。 6．一个三角形的底是4厘米，高2.5厘米，把它按5∶1放大后高是( )厘米，放大后的三角形与原三角形的面积比是( )。 【答案】 12.5 25∶1 【分析】（1）按5∶1放大后底和高均扩大到原来的5倍，根据求一个数的几倍用乘法即可得解； （2）按5∶1放大后底和高均扩大到原来的5倍，那么面积就扩大到原来的25倍，据此得出面积比。 【详解】（1）2.5×5=12.5（厘米），则放大后的高是12.5厘米； （2） 则放大后的三角形与原三角形的面积比是25∶1。 7．一条公路长400千米，在一幅地图上量得长是8厘米，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶5000000/ 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把单位统一后代入数据解答即可。 【详解】400千米＝40000000厘米 8∶40000000 ＝（8÷8）∶（40000000÷8） ＝1∶5000000 即这幅地图的比例尺是1∶5000000。 8．在一个比例里，两个内项的积是最小的合数，一个外项是0.5，另一个外项是( )。 【答案】8 【分析】最小的合数是4，再根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，用4除以0.5求出另一个外项即可。 【详解】另一个外项： 【点睛】本题考查合数、比例的基本性质，解答本题的关键是掌握比例的基本性质。 9．a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 【答案】3∶10； 【分析】b是c的，即b＝c，又a与b的比是3∶4，将b用c进行等量代换，所以a∶c＝3∶4，化简即可得a∶c的值；求a比c少几分之几，先求出（c－a），再除以c即可。 【详解】因为b＝c，a∶b＝3∶4，所以 a∶c＝3∶4 c＝4a a∶c＝3∶10 a为3份，c为10份 则a比c少几分之几列式为： （10－3）÷10 ＝7÷10 ＝ 【点睛】本题属于求多个数的连比和一个数比另一个数少几分之几的问题，要掌握等量代换的方法。 10．笑笑买了一个作文本和两支钢笔，淘气也买了一个同样的作文本和一支同样的钢笔，他们用去钱数的比为5∶3。已知一个作文本是1.8元，那么一支钢笔是( )元。 【答案】3.6 【分析】设钢笔的价格是x元，根据题意：（1.8＋2x）∶（1.8＋x）＝5∶3，再利用比例的基本性质进行解答。 【详解】解：设一支钢笔的价格是x元。 （1.8＋2x）∶（1.8＋x）＝5∶3 3×（1.8＋2x）＝5×（1.8＋x） 5.4＋6x＝9＋5x x＝3.6 【点睛】利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，设方程解答比较便捷。 二、判断题 11．一种昆虫的实际长度是4mm，用4∶1的比例尺把它画在图纸上，应画1mm。( ) 【答案】× 【分析】这道题是已知比例尺、实际距离，求图上距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。 【详解】4×＝16（mm） 一种昆虫的实际长度是4mm，用4∶1的比例尺把它画在图纸上，应画16mm。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查图上距离和实际距离的换算，图上距离＝实际距离×比例尺。 12．2千克：5吨的比值是千克．( ) 【答案】× 【详解】比值不能加单位 13．比例尺100：1表示图上距离是实际距离的100倍．( ) 【答案】正确 【详解】【考点】比例尺    【解答】解：比例尺100：1表示图上距离是实际距离的100倍． 此题说法正确； 故答案为正确． 【分析】比例尺=图上距离：实际距离，比例尺100：1表示图上距离与实际距离的比是100：1，即图上距离是实际距离的100倍，据此解答即可．此题考查了比例尺的定义，要注意比例尺有时会放大原距离，有时会缩小原距离． 14．在比例中，如果两个内项的积是10，那么两个外项的积也一定是10。( ) 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，解答即可。 【详解】由分析可得：在比例中，如果两个内项的积是10，那么两个外项的积也一定是10，原题说法正确。 故答案为：√ 15．在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比的基本性质。( ) 【答案】× 【详解】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质。 如：比例2∶3＝4∶6，外项之积为2×6＝12，内项之积为3×4＝12。原题说法错误； 故答案为：× 16．一个零件实际长9.6毫米，在比例尺是8∶1的图纸上量得这个零件长12厘米。( ) 【答案】× 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可解答。 【详解】9.6毫米＝0.96厘米 0.96× ＝0.96×8 ＝7.68（厘米） 一个零件实际长9.6毫米，在比例尺是8∶1的图纸上量得这个零件长7.68厘米。 故答案为：× 【点睛】本题考查实际距离和图上距离的换算，注意单位名数的换算。 17．把10克的农药溶入90克水中，农药水与农药的比是9∶1。( ) 【答案】× 【分析】把10克的农药溶入90克水中，农药水为（10＋90）克，根据比的意义，用农药水的质量∶农药质量，化简，即可解答。 【详解】（10＋90）∶10 ＝100∶10 ＝（100÷10）∶（10÷10） ＝10∶1 把10克的农药溶入90克水中，农药水与农药的比是10∶1。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要是考查对比的应用情况，做题时应看清谁与谁比，最后要化成最简整数比。 18．一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长和面积都扩大了5倍。( ) 【答案】× 【分析】设原来长方形的长是2厘米，宽是1厘米，则放大后的长是（2×5）厘米，宽是（1×5）厘米。长方形面积＝长×宽，把数据代入算出原来长方形的面积和放大后的长方形面积，再算出面积比。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和放大后的长方形周长，再算出周长比。 【详解】2×5＝10（厘米） 1×5＝5（厘米） （10×5）÷（2×1） ＝50÷2 ＝25 [（10＋5）×2]÷[（2＋1）×2] ＝[15×2]÷[3×2] ＝30÷6 ＝5 一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的25倍。 故答案为：× 19．已知3∶4＝6∶8，如果将式子中的6改为9，那么8就应改为12。( ) 【答案】√ 【分析】比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，如果将式子中的6改为9，那么两内项之积是，再用36除以一个外项3，求出另一个外项，也就是8应该改为的数，据此解答即可。 【详解】另一个外项： 所以如果将式子中的6改为9，那么8就应改为12，本题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查比例的基本性质，解答本题的关键是掌握比例的基本性质。 20．把边长是5cm的正方形按2∶1放大后，放大后的正方形的面积是100cm2。( ) 【答案】√ 【分析】图形的放大或缩小是指围成图形的每条边按比例放大或缩小。已知一个边长是5cm的正方形按2∶1放大，那么放大后正方形的边长是cm；根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可求出放大后正方形的面积。 【详解】5×2＝10（cm） 10×10＝100（cm2） 放大后的正方形的面积是100cm2。 故答案为：√ 三、选择题 21．一幅图的比例尺是（    ）。 A．图上距离∶实际距离 B．实际距离∶图上距离 C．是一把尺子 【答案】A 【详解】根据比例尺的意义：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，即图上距离∶实际距离。 故答案为：A 22．下列现象中，放大的是（    ）。 A．画楼房的平面图 B．给小明拍一寸照 C．复印稿件 D．用显微镜观察植物细胞 【答案】D 【分析】根据实际情况逐项分析即可。 【详解】A．画楼房的平面图将楼房缩小后画出来，不符合题意； B．一寸照片小于本人，拍一寸照是缩小的现象，不符合题意； C．复印稿件是按照原件的大小进行复印，没有改变大小，不符合题意； D．用显微镜观察植物细胞是将植物细胞放大一定的倍数进行观察，符合题意。 故答案为：D 【点睛】本题较为基础，平时注意总结生活经验即可。 23．已知，且x、y均不为0，则xy的值是（    ）。 A．7 B． C． D．12 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，xy的值等于3和4的积，据此解答。 【详解】xy＝3×4＝12 xy的值是12。 故答案为：D 24．下面2个长方形的面积相等，根据它们边的关系写出的比例正确的是（    ）。 A．8∶a＝9∶b B．8∶9＝a∶b C．8∶9＝b∶a D．9∶a＝b∶8 【答案】C 【分析】长方形面积＝长×宽，2个长方形的面积相等，由此可以写出8a＝9b，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，将各选项比例写成两内项积＝两外项积的形式，得到8a＝9b的比例正确。 【详解】8a＝9b A．8∶a＝9∶b，根据比例的基本性质，可得8b＝9a，排除； B．8∶9＝a∶b，根据比例的基本性质，可得8b＝9a，排除； C．8∶9＝b∶a，根据比例的基本性质，可得8a＝9b，正确； D．9∶a＝b∶8，根据比例的基本性质，可得ab＝9×8，排除。 根据它们边的关系写出的比例正确的是8∶9＝b∶a。 故答案为：C 25．某人从A地到B地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（    ）米/秒。 A．4.2 B．4.8 C．5 D．5.4 【答案】A 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，所以这个人去时和返回时用的时间的比是7：3，然后设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离的2倍除以来回用的时间，求出此人一个来回的平均速度是多少即可。 【详解】因为这个人去时和返回时的速度的比是， 所以这个人去时和返回时用的时间的比是， 设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒， （米/秒） 此人一个来回的平均速度是4.2米/秒。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：路程一定时，速度和时间成反比。 26．如图是现藏于三星堆博物馆的青铜大立人像，青铜大立人像是现存最高。最完整的青铜立人像，被誉为“世界铜像之王”。在一张比例尺为1∶80的图上，这个青铜大立人像的高为（    ）。 A．3.26厘米 B．32.6厘米 C．208.64厘米 D．2.608厘米 【答案】A 【分析】已知青铜大立人像实际高为2.608米，图纸的比例尺为1∶80，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出这个青铜大立人像在图纸上的高。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】2.608米＝260.8厘米 260.8×＝3.26（厘米） 这个青铜大立人像的高为3.26厘米。 故答案为：A 27．在一幅图上，3厘米的线段表示的实际距离是15千米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶500000 B． C．1∶5 D． 【答案】A 【分析】根据比例尺的意义可知，比例尺＝图上距离∶实际距离，先将单位统一成厘米，然后代入数据计算即可。注意：为了方便，通常把比例尺的前项化作1（图上距离大于实际距离的，常把后项化为1）。 【详解】15千米＝1500000厘米 即这幅图的比例尺是； 故答案为：A 28．下面各比中，可以与24∶18组成比例的是（    ）。 A．10∶5 B．0.6∶0.4 C．∶ D．15∶12 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】24∶18＝24÷18＝ A．10∶5＝10÷5＝2 2≠，所以10∶5不能与24∶18组成比例； B．0.6∶0.4＝0.6÷0.4＝ ≠，所以0.6∶0.4不能与24∶18组成比例； C．∶＝÷＝×＝ ＝，所以∶能与24∶18组成比例； D．15∶12＝15÷12＝ ≠，所以15∶12不能与24∶18组成比例。 故答案为：C 29．如下图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果其中图形A、B、C的面积分别是2cm2、4cm2和5cm2那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由于长方形A与长方形B等长，长方形B与长方形C等宽，设阴影所在的长方形的面积为x平方厘米，即可列比例求出这个长方形的面积，阴影部分占这个长方形面积的一半，由此即可求出阴影部分面积。 【详解】解：设阴影所在的长方形的面积为x平方厘米。 2：x＝4：5 4x＝10 x＝2.5 2.5÷2＝（平方厘米） 答：阴影部分面积是厘米。 故选：C。 【点睛】关键是求出阴影部分所在的长方形的面积。也可这样理解，长方形A与长方形B等长，长方形B与长方形C等宽，由于长方形A的面积是长方形B的一半，因此阴影部分所在的长方形的面积是长方形C的一半，从而求出阴影所在的长方形的面积，进而求出阴影部分面积。 四、计算题 30．解方程或比例。 1.2x＋2x＝4.8              【答案】x＝1.5；x＝；x＝ 【分析】（1）先把方程左边化简为3.2x，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以3.2； （2）先把方程左边化简为0.25x，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以0.25； （3）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，先把比例化为方程，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以。 【详解】（1）1.2x＋2x＝4.8 解：3.2x＝4.8 3.2x÷3.2＝4.8÷3.2 x＝1.5 （2）x－75%x＝ 解：25%x＝ 0.25x＝ 0.25x÷0.25＝÷0.25 x＝ x＝ （3） 解：x＝ x＝ x＝ 31．解方程。 2.5x÷3＝1.9                      ∶2 【答案】x＝2.28；x＝0.15；x＝ 【分析】（1）先在等式的左右两边同时乘3，再同时除以2.5即可； （2）先将方程转换成比例，利用比例内项的乘积等于外项的乘积将比例转换成方程，再在等式的左右两边同时除以8即可； （3）利用比例内项的乘积等于外项的乘积将比例转换成方程，再在等式的左右两边同时除以即可。 【详解】2.5x÷3＝1.9 解：2.5x÷3×3＝1.9×3 2.5x＝5.7 2.5x÷2.5＝5.7÷2.5 x＝2.28 解：x∶0.4＝3∶8 8x＝0.4×3 8x÷8＝1.2÷8 x＝0.15 ∶2 解：x＝×2 x÷＝÷ x＝× x＝ 五、作图题 32．下图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图形。 （1）把图①按2∶1的比放大。 （2）把图①绕B点逆时针旋转90度。 （3）在表格中找到O点（15，4），并以O点为圆心，画一个直径为4厘米的半圆。 【答案】见详解 【分析】（1）把图①按2∶1放大，相当于把图①的三条边都扩大到原来的2倍，由此画图即可； （2）根据旋转的特征，①号图形绕点B逆时针旋转90°，点B的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （3）再根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可找到圆心，由于直径是4厘米，则半径：4÷2＝2，由此画图即可。 【详解】如下图： （画法不唯一） 【点睛】本题考查的知识点比较多，要熟练掌握图形的旋转和半圆的画法以及图形的放大和用数对表示位置的方法并灵活运用。 33．2022年6月5日10时44分，“神舟十四号”载人飞船开启了“天宫”空间站的新纪元，距地380千米高度的“天宫”空间站即将成型，我国的载人航天事业将正式进入“空间站”时代。请在下图中画出我国空间站距离地面的位置。 【答案】见详解 【分析】先将380千米化成38000000厘米，然后根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算出图上距离，然后在合适位置画出空间站距离地面的位置即可。 【详解】380千米＝38000000厘米 38000000÷20000000＝1.9（厘米） 则画图如下： 六、解答题 34．调制两杯甜度一样的糖水，第一杯用了25克糖和200克的水，第二杯水重300克，第二杯应加糖多少克？ 【答案】37.5克 【分析】两杯甜度一样的糖水，糖和水的质量比相等，据此设第二杯应加糖x克，列出比例：，根据比例的基本性质解出比例即可。 【详解】解：设第二杯应加糖x克。 200x＝25×300 200x＝7500 x＝37.5 答：第二杯应加糖37.5克。 【点睛】本题考查比例的应用。明确糖和水的质量比相等，根据比例的意义列出方程是解题的关键。 35．学校要在操场边上新建一个篮球场，如图是篮球场的平面示意图。篮球场每平方米造价300元，建造这个篮球场大约需要多少元？ 【答案】126000元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可以分别求出足球场实际长与宽；然后根据长方形的面积＝长×宽，先求出足球场的面积，然后再乘上300即可。 【详解】量得篮球场的宽为3cm，长为5.6cm。 3×5＝15（m） 5.6×5＝28（m） 15×28×300 ＝420×300 ＝126000（元） 答：建造这个足球场大约需要126000元。 【点睛】此题主要依据图上距离、实际距离和比例尺的关系解决问题的能力。 36．一种农药是用药液和水按1∶1500的比例配制而成的，现有3千克药液，能配制这种农药多少千克？ 【答案】4503千克 【分析】由题意可知，3千克药液对应的份数是1份，从而求出一份是多少，再用一份的质量乘总份数即可求出配制的农药质量。 【详解】3÷1×（1500＋1） ＝3×1501 ＝4503（千克） 答：能配制这种农药4503千克。 【点睛】明确已知量对应的份数是解答本题的关键。 37．甲、乙两地之间的实际距离是640千米，在图上只有32厘米，在同一比例尺的地图上，乙、丙两地之间的图上距离是12厘米，乙、丙两地之间的实际距离是多少千米？ 【答案】240千米 【详解】解：设乙、丙两地之间的实际距离是x千米。 12∶x=32∶640 x=12×640÷32 x=240 答：乙、丙两地之间的实际距离是240千米。 【点睛】本题考查的知识点是比例尺的应用。因为是在同一比例尺的地图上，甲、乙两地之间的图上距离与实际距离的比和乙、丙两地之间的图上距离与实际距离的比相等，根据这个条件即可列出比例。 38．在学校开展的“变废为宝，从我做起”活动中，五、六年级捡的废品的质量比是4∶5，其中五年级捡了120千克废品。 （1）六年级捡了多少千克废品？ （2）学校规定：10千克废品可以换2个笔记本。两个年级捡的废品一共可以换多少个笔记本？ 【答案】（1）150千克 （2）54个 【详解】（1）解：设六年级捡了x千克废品。 120∶x＝4∶5 4x＝120×5 4x＝600 x＝600÷4 x＝150 答：六年级捡了150千克废品。 （2）解：设两个年级捡的废品一共可以换y个笔记本。 10∶2＝（120＋150）∶y 10y＝（120＋150）×2 10y＝270×2 10y＝540 y＝540÷10 y＝54 答：两个年级捡的废品一共可以换54个笔记本。 39．3D打印是一种快速成型技术，而3D打印机是可以“打印”出真实的3D物体的一种设备。一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是1∶20，一种物体的高是150厘米，这款3D打印机生成该物体的3D模型的高度是多少？ 【答案】7.5厘米 【分析】根据题意，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是1∶20，即生成的3D模型是实物高度的，把物体的高度看作单位“1”，用实物的高度×，即可求出这款3D打印机生成该物体的3D模型的高度。 【详解】150×＝7.5（厘米） 答：这款3D打印机生成该物体的3D模型的高度是7.5厘米。 【点睛】利用比与分数之间的关系，把比换成分数，再根据求一个数的几分之几的计算方法进行解答。 40．在一幅比例尺1∶20000的地图上量的乐乐家到学校的距离是7.5厘米。在另一幅比例尺是1∶50000的地图上，乐乐家到学校的距离是多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出乐乐家到学校的实际距离；再根据“实际距离×比例尺＝图上距离”求出再另一幅地图上的图上距离；据此解答。 【详解】7.5÷＝150000（厘米） 150000×＝3（厘米） 答：乐乐家到学校的距离是3厘米。 【点睛】本题主要考查图上距离与实际距离的换算，灵活运用实际距离、图上距离、比例尺三者之间的关系是解题的关键。 41．在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B城用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】50千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B两地间的实际距离，再根据路程÷时间＝速度，求出这辆货车的速度即可。 【详解】9 ＝9×4000000 ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 360÷7.2＝50（千米/时） 答：这辆汽车平均每小时行驶50千米。 【点睛】本题主要考查比例尺的应用，求出实际距离是解题的关键。 42．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。已知甲车平均每小时行驶85千米，乙车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离。再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，再减甲车的速度，即可求出乙车的速度，据此解答。 【详解】6÷＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷3＝160（千米/时） 160－85＝75（千米/时） 答：乙车平均每小时行驶75千米。 43．深圳湾区之光摩天轮高128米，淘气设计并制作了这座摩天轮的模型，模型高度与实际高度的比是3∶400，模型的高度是多少？ 【答案】96厘米 【分析】128米＝12800厘米。设模型的高度是x厘米，已知模型高度与实际高度的比是3∶400，据此可列出比例：x∶12800＝3∶400，根据比例的基本性质解出比例即可。 【详解】128米＝12800厘米 解：设模型的高度是x厘米。 x∶12800＝3∶400 400x＝12800×3 x＝12800×3÷400 x＝96 答：模型的高度是96厘米。 44．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 【答案】90立方分米 【分析】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 【详解】解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 45．小明体重的与小华体重的相等。小明体重的比小华体重的轻1.5千克。求小明和小华的体重各是多少千克？ 【答案】小明体重70千克，小华体重42千克 【分析】根据小明体重的与小华体重的相等，即小明体重∶小华体重＝∶，化简后得小明的体重等于小华体重的，设小华的体重为x，则小明的体重为x，又因为小明体重的比小华体重的轻1.5千克，据此列方程进行解答即可。 【详解】小明体重∶小华体重＝∶＝ 设小华的体重为x，则小明的体重为x 根据题意列方程如下： x－×x＝1.5 x－x＝1.5 x＝42 小明的体重：42×＝70（千克） 答：小明的体重是70千克，小华的体重是42千克。 【点睛】本题综合考查比例和分数混合运算相关知识，用比例表示出小明和小华的体重关系是解答此题的突破口。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 比例 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：比例的意义和基本性质 1、 判断两个比能否组成比例，关键是看这两个比的比值是否相等。 2、 判断四个数能否组成比例时，先把最大数与最小数相乘，再把另外两个数相乘，如果两个积相等，就能组成比例。 知识点02：解比例的方法 1、 求比例中的未知项的过程叫作解比例； 2、 解比例的方法：根据比例中两个内项的积等于两个外项的积，先把比例转化乘外项的积与内项的积相等的形式，再根据等式的性质解方程，求出未知项的值。 知识点03：比例尺的意义，分类和应用 1、 2、 比例尺分为数值比例尺和线段比例尺； 3、 比例尺是图上距离与实际距离的比，而图上面积与实际面积的比是比例尺的平方。 知识点04：在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小 1、 把一个图形放大或缩小后所得图形与原图形相比，形状相同，大小相同。 2、 在方格纸上按比将图形放大或缩小的步骤：一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算出的结果画出原图形的放大图或缩小图。 题型1：比例的意义和基本性质 【例1】甲、乙两人都有存款，如果甲的存款数增加25%，乙的存款数减少20%，则此时两人的存款数相等，原来甲、乙两人存款数的比是( )∶( )。 【例2】若（A，B均不为0），A∶B写成最简整数比是( )。 题型2：解比例的方法 【例3】四个小朋友有一些零花钱，小聪有6元，小明有15元，小智有3元，小慧的零花钱数刚好能和他们三个的零花钱数组成一个比例，你觉得小慧有多少零花钱？请说明你的理由。 【例4】淘气和笑笑收集的邮票张数的比是3∶5，淘气收集36张邮票，笑笑收集多少张邮票？ 【例5】广州塔高600米，是目前中国第一高的电视塔。星星公司设计制作了这座电视塔的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶300。模型的高度是多少米？ 题型3：比例尺的意义，分类和应用 【例6】一幅地图的比例尺是把它改成数值比例尺是( )。如果图上距离为3.5厘米，表示实际距离是( )千米。 【例7】北京到广州的实际距离大约是1920千米，在一幅地图上量得这两地的距离是20厘米。这幅地图的比例尺是多少？ 【例8】两张不同的图纸，A图纸的比例尺是1∶2000，B图纸的比例尺是1∶500。那么，这两张图纸上3厘米长的线段表示的实际长度各是多少米？ 题型4：在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小 【例9】把①号三角形按( )∶( )的比放大得到②号三角形，①、②号三角形面积的比是( )∶( )。 一、填空题 1．在3∶2＝12∶8这个比例中，两个外项是( )和( )，两个内项是( )和( )。 2．在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是( )和( )。 3．明明身高1.6米，在照片上他的身高是4厘米。这张照片的比例尺是( )。 4．在比例尺是的地图上量得A、B两地的距离是30厘米，两列客车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每时行52千米，乙车每时行48小时，( )时后两车相遇。 5．甲的和乙的相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。 6．一个三角形的底是4厘米，高2.5厘米，把它按5∶1放大后高是( )厘米，放大后的三角形与原三角形的面积比是( )。 7．一条公路长400千米，在一幅地图上量得长是8厘米，这幅地图的比例尺是( )。 8．在一个比例里，两个内项的积是最小的合数，一个外项是0.5，另一个外项是( )。 9．a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 10．笑笑买了一个作文本和两支钢笔，淘气也买了一个同样的作文本和一支同样的钢笔，他们用去钱数的比为5∶3。已知一个作文本是1.8元，那么一支钢笔是( )元。 二、判断题 11．一种昆虫的实际长度是4mm，用4∶1的比例尺把它画在图纸上，应画1mm。( ) 12．2千克：5吨的比值是千克．( ) 13．比例尺100：1表示图上距离是实际距离的100倍．( ) 14．在比例中，如果两个内项的积是10，那么两个外项的积也一定是10。( ) 15．在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比的基本性质。( ) 16．一个零件实际长9.6毫米，在比例尺是8∶1的图纸上量得这个零件长12厘米。( ) 17．把10克的农药溶入90克水中，农药水与农药的比是9∶1。( ) 18．一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长和面积都扩大了5倍。( ) 19．已知3∶4＝6∶8，如果将式子中的6改为9，那么8就应改为12。( ) 20．把边长是5cm的正方形按2∶1放大后，放大后的正方形的面积是100cm2。( ) 三、选择题 21．一幅图的比例尺是（    ）。 A．图上距离∶实际距离 B．实际距离∶图上距离 C．是一把尺子 22．下列现象中，放大的是（    ）。 A．画楼房的平面图 B．给小明拍一寸照 C．复印稿件 D．用显微镜观察植物细胞 23．已知，且x、y均不为0，则xy的值是（    ）。 A．7 B． C． D．12 24．下面2个长方形的面积相等，根据它们边的关系写出的比例正确的是（    ）。 A．8∶a＝9∶b B．8∶9＝a∶b C．8∶9＝b∶a D．9∶a＝b∶8 25．某人从A地到B地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（    ）米/秒。 A．4.2 B．4.8 C．5 D．5.4 26．如图是现藏于三星堆博物馆的青铜大立人像，青铜大立人像是现存最高。最完整的青铜立人像，被誉为“世界铜像之王”。在一张比例尺为1∶80的图上，这个青铜大立人像的高为（    ）。 A．3.26厘米 B．32.6厘米 C．208.64厘米 D．2.608厘米 27．在一幅图上，3厘米的线段表示的实际距离是15千米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶500000 B． C．1∶5 D． 28．下面各比中，可以与24∶18组成比例的是（    ）。 A．10∶5 B．0.6∶0.4 C．∶ D．15∶12 29．如下图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果其中图形A、B、C的面积分别是2cm2、4cm2和5cm2那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 四、计算题 30．解方程或比例。 1.2x＋2x＝4.8              31．解方程。 2.5x÷3＝1.9                        ∶2 五、作图题 32．下图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图形。 （1）把图①按2∶1的比放大。 （2）把图①绕B点逆时针旋转90度。 （3）在表格中找到O点（15，4），并以O点为圆心，画一个直径为4厘米的半圆。 33．2022年6月5日10时44分，“神舟十四号”载人飞船开启了“天宫”空间站的新纪元，距地380千米高度的“天宫”空间站即将成型，我国的载人航天事业将正式进入“空间站”时代。请在下图中画出我国空间站距离地面的位置。 六、解答题 34．调制两杯甜度一样的糖水，第一杯用了25克糖和200克的水，第二杯水重300克，第二杯应加糖多少克？ 35．学校要在操场边上新建一个篮球场，如图是篮球场的平面示意图。篮球场每平方米造价300元，建造这个篮球场大约需要多少元？ 36．一种农药是用药液和水按1∶1500的比例配制而成的，现有3千克药液，能配制这种农药多少千克？ 37．甲、乙两地之间的实际距离是640千米，在图上只有32厘米，在同一比例尺的地图上，乙、丙两地之间的图上距离是12厘米，乙、丙两地之间的实际距离是多少千米？ 38．在学校开展的“变废为宝，从我做起”活动中，五、六年级捡的废品的质量比是4∶5，其中五年级捡了120千克废品。 （1）六年级捡了多少千克废品？ （2）学校规定：10千克废品可以换2个笔记本。两个年级捡的废品一共可以换多少个笔记本？ 39．3D打印是一种快速成型技术，而3D打印机是可以“打印”出真实的3D物体的一种设备。一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是1∶20，一种物体的高是150厘米，这款3D打印机生成该物体的3D模型的高度是多少？ 40．在一幅比例尺1∶20000的地图上量的乐乐家到学校的距离是7.5厘米。在另一幅比例尺是1∶50000的地图上，乐乐家到学校的距离是多少厘米？ 41．在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B城用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 42．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。已知甲车平均每小时行驶85千米，乙车平均每小时行驶多少千米？ 43．深圳湾区之光摩天轮高128米，淘气设计并制作了这座摩天轮的模型，模型高度与实际高度的比是3∶400，模型的高度是多少？ 44．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 45．小明体重的与小华体重的相等。小明体重的比小华体重的轻1.5千克。求小明和小华的体重各是多少千克？ 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $