精品解析：辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度上学期期末考试高二试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 设，向量，，，且，，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 2. 图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】通过抛物线的定义将点到直线的距离进行转化，利用点到直线的最短距离公式求解距离之和的最小值. 【详解】设抛物线方程为，因为，，所以可得， 又点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线方程为， 过作准线的垂线，垂足为，则，， 则， 所以， 过作直线的垂线，垂足为，交抛物线于点， 则（当且仅当三点共线时，等号成立）， 所以点到轴的距离和到直线的距离之和的最小值比到直线的距离小， 所以. 故选：C 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.72 B. 0.28 C. 0.74 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的曲线及性质求解. 由服从正态分布得到为正态曲线的对称轴且，由的值求出的值，利用对称性得到，从而得到. 【详解】服从正态分布，为正态曲线的对称轴，， ，， 为正态曲线的对称轴， ，. 故选：A. 4. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 720种 B. 360种 C. 288种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中的与中的第项相乘为含的项，即为含的项，整理后令的次数为解出的值，从而求出这项的的系数，中的与中的第项相乘为含的项，即为含的项，整理后令的次数为解出的值，从而求出这项的的系数，将这两个的项的系数相加即为展开式中的系数. 【详解】中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：C. 6. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 7. 如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到面的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可判断A的正误；根据线面垂直的性质定理，可证，同理可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，进而判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，根据二面角的向量求法，判断C的正误；分析可得点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，可得点P坐标，根据点到平面距离的向量求法，即可判断D的正误. 【详解】选项A：连接，交于点O，连接，如图所示， 因为分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B：连接，因为点在面对角线上运动， 所以平面， 连接，因为正方体， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面， 又平面，所以，故B正确； 选项C：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 因为平面ABCD， 所以为平面ABCD的法向量，即为平面ABC的法向量， 所以， 由图象得，二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为，故C错误； 选项D：因为正方体， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为点在面对角线上运动， 所以点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，即， 所以， 所以点到面的距离，故D正确； 故选：C 8. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为 B. 不经过原点的直线都可以表示为 C. 已知直线与圆相切，则 D. 过点的直线与圆有公共点且斜率最大值为，若，，则的最小值是12 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两点之间的斜率公式，求出直线斜率，进而求出倾斜角，判断选项A的正误；根据直线截距式方程的概念，判断选项B的正误；根据直线与圆相切时的性质，以及点到直线距离公式，求出参数，判断选项C的正误；根据直线与圆有公共点时的情况，求出参数值，再根据基本不等式的性质，判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，直线经过和两点时，斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，所以A正确； 对于选项B，当直线与轴或轴垂直时，不可用截距式表示方程，所以B错误； 对于选项C，圆，变形为，可知圆心为，半径为， 当直线与圆相切时，可得，解得，所以C正确； 对于选项D，设直线方程为，即， 当直线与圆有公共点，且斜率最大时，即直线与圆相切且斜率为正实数时， 可知圆心，半径为，则，化简得，解得或， 即，则，则， 当且仅当，即时，取等号，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，直线经过焦点，则下列结论正确的（ ） A. 点的坐标为 B. C. 若，则直线的倾斜角为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，变形后，得到，得到焦点坐标；B选项，设直线方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，两根之积，并得到；C选项，由焦半径公式和得到方程，求出，，结合得到方程，求出，C错误；D选项，先得到，故，由基本不等式求出最小值，求出答案. 【详解】A选项，，故，故焦点坐标为，A正确； B选项，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立得，， ， 故，B正确； C选项，由焦半径公式可得， 由于，则，故，即， 又，所以，解得，负值舍去， 则， 又，所以， 解得，故直线的倾斜角为或，C错误； D选项，因为，所以， ， 所以，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故此时，满足要求， 综上，的最小值为，D正确. 故选：ABD 11. 现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据的意义，结合组合数公式，求，再根据古典概型概率公式，求，再写出所有的取值和概率，代入期望公式和方差公式，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误； B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法， 所以，故B正确； C.，，，, 所以，故C错误； D.，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则C的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线是双曲线的一条渐近线，得到求解. 【详解】解：因为直线是双曲线的一条渐近线， 所以， 所以C的离心率为， 故答案为： 13. 小明一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有3颗冰糖葫芦，一串有4颗冰糖葫芦，一串有5颗冰糖葫芦．若小明每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有___________种．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将“吃完的顺序”转化为12个取食位置的分配问题，结合同一串内顺序固定的约束，利用组合数计算不同的位置分配方式. 【详解】三串冰糖葫芦共含颗，吃完需完成12次取食操作. 因每串需从上往下吃，同一串内的取食顺序固定，故需从12个取食位置中选3个分配给3颗的串， 再从剩余9个位置中选4个分配给4颗的串，最后5个位置分配给5颗的串. . 故答案为： 14. P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先画出图形，利用数形结合转化为点也在另一个椭圆上，通过联立方程，即可求解. 【详解】如图，正方形是曲线表示的图形，，，，， 椭圆的焦点分别为，，， 所以，所以点也在以点，为焦点的椭圆上，椭圆方程为， 联立，解得：，则 所以点到轴的距离为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． （1）求正整数的值； （2）求与二项式系数和的比值； （3）问展开式各项系数的绝对值中哪个最大，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）中和均为最大，理由如下： 中和均为最大． 因为 展开式的通项， 所以， 即， 故判断系数中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由， 得，因为，所以或6． 故中和均为最大． 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的中间项最大的性质，结合第5、6项的二项式系数最大，得，求出正整数. （2）通过赋值法（令、）求出与，进而得，结合二项式系数和为计算比值. （3）将系数绝对值转化为的系数，通过列不等式组求解最大项对应的值，确定和最大. 【小问1详解】 因为的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大， 所以为奇数，且，所以. 【小问2详解】 因为，所以二项式系数和为， 令，得， 令，得， 所以， 因此与二项式系数和的比值为. 【小问3详解】 略 16. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． （1）给出的估计值； （2）现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【答案】（1）的估计值为，的估计值为，的估计值为； （2）的分布列为： X 1 2 3 期望为.【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解，法一：利用条件概率公式求解；法二利用缩小样本空间法求解即可； （2）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望（或者利用超几何分布结论求解）. 【小问1详解】 A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 【小问2详解】 按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 17. 已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，从而直线的方程为，与双曲线方程联立，求得点A，B的坐标，再由求解； （2）法一：根据过点，分不存在和存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据为中点，求得k，再利用弦长公式求解；法二：根据点为中点，利用点差法求得直线的斜率为，再利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题设双曲线， 因为， 所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 如图所示： 法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为． （1）证明：平面平面． （2）求四棱锥的体积． （3）若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：设的中点分别为，连接． 在中，由，所以． 由，所以， 因为，所以二面角的平面角为， 则． 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，则， 所以． 又，所以． 又因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）证明平面，再由棱锥体积公式得解； （3）建立空间直角坐标系，，利用求出，再由向量法求线面角的正弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为． 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 记，则．连接． 设， 则， ． 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 因为平面，所以， 则，解得， 则．又， 所以，． 设平面的法向量为， 则由得取，得． 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①是定值，；② 【解析】 【分析】（1）点到点的距离与到的距离相等，根据抛物线定义得到方程； （2）①设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，并求出，故，所以； ②表达出的方程，得到过定点，表达出. 【小问1详解】 由题可知，点到点的距离与到的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故轨迹方程为. 【小问2详解】 ①设， 由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然， ，联立曲线方程并消去可得 ， 则是方程的两根，， 所以，同理 因为，所以，所以； （2）由①知的方程为： 令，， 所以过定点. ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末考试高二试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 设，向量，，，且，，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.72 B. 0.28 C. 0.74 D. 0.36 4. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 720种 B. 360种 C. 288种 D. 144种 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到面的距离为 8. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为 B. 不经过原点的直线都可以表示为 C. 已知直线与圆相切，则 D. 过点的直线与圆有公共点且斜率最大值为，若，，则的最小值是12 10. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，直线经过焦点，则下列结论正确的（ ） A. 点的坐标为 B. C. 若，则直线的倾斜角为 D. 的最小值为 11. 现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则C的离心率为___________. 13. 小明一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有3颗冰糖葫芦，一串有4颗冰糖葫芦，一串有5颗冰糖葫芦．若小明每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有___________种．（结果用数字作答） 14. P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． （1）求正整数的值； （2）求与二项式系数和的比值； （3）问展开式各项系数的绝对值中哪个最大，并说明理由． 16. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． （1）给出的估计值； （2）现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 17. 已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为． （1）证明：平面平面． （2）求四棱锥的体积． （3）若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $