第06讲 一元二次方程及其应用（复习讲义，5考点19题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”专题，覆盖概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用五大核心考点，通过“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-分层练习”系统架构，帮助学生构建知识体系，结合真题训练突破配方法、韦达定理等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“重难突破”模块设计，如通过配方法求最值培养数学思维，结合根的判别式与二次函数综合题提升推理能力，分层练习适配不同学生需求。教师可依托考情分析把控复习节奏，助力学生高效掌握中考高频考点，提升应试能力。

第二章 方程(组)与不等式(组) 第06讲 一元二次方程及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 一元二次方程的有关概念及解 题型01 一元二次方程的定义 题型02 一元二次方程的一般式与各项的系数 题型03 由一元二次方程的解求参数或代数式的值 命题点二 一元二次方程的解法 题型01 利用配方法对方程进行配方 题型02 解一元二次方程（计算题） 命题点三 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02 已知根的情况求参数的取值范围 题型03 根的判别式综合应用 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 题型01 利用根与系数的关系直接求解 题型02 利用根与系数的关系整体带入 题型03 利用根与系数的关系降次求解 题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型05已知根与系数的关系求参数 命题点五 一元二次方程的实际应用 题型01 传播问题 题型02 增长率问题 题型03 与图形相关的问题 题型04 数字问题 题型05 销售问题 题型06 握手循环问题 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 利用配方法求最值 突破二 根的判别式和根与系数的关系的综合应用 突破三 一元二次方程中定义新运算 突破四 一元二次方程中动点问题 06·优题精选·练能提分 31 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 一元二次方程的有关概念 / / 理解一元二次方程的定义，掌握一般形式，会识别各项系数。 一元二次方程的解法 湖南省卷 T12 湖南省卷T25 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 一元二次方程根的判别式 湖南省卷T25 湖南省卷T15 长沙卷T25 会用判别式判断根的情况，并求参数取值范围。 一元二次方程根与系数的关系 / / 理解并应用韦达定理解决对称式、参数等问题。 一元二次方程的应用 / / 能列一元二次方程解决增长率、面积、利润等实际问题。 命题预测 题型分布：主要结合二次函数、判别式、实际应用等综合考查，选择题、填空题中可能出现判别式或根与系数的简单应用，解答题中多融入函数与几何综合。 热点考点：根的判别式：常与含参二次函数结合，判断交点个数、求参数范围。根与系数的关系：多隐含在二次函数与一元二次方程的综合题中，考查对称式或参数关系。实际应用：近年以二元一次方程组为主，但需具备转化建模能力，一元二次方程应用题仍可能出现在增长率、几何面积等问题中。 备考建议 强化判别式与含参二次函数、不等式结合的训练；掌握一元二次方程与二次函数图象交点的转化关系；熟练解一元二次方程的基本方法，并能与函数、几何结合；关注实际应用题中列方程的思维训练，虽近年以一次方程为主，但需具备转化与建模能力。 考点一 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 1.（2025·湖南郴州·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南岳阳·一模）是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知一元二次方程的一个根是3，则k的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 考点二 一元二次方程的解法 解一元二次方程的核心逻辑是“根据方程结构选最优解法”,不同解法对应不同步骤，以下按中考优先选择的顺序梳理四种解法的完整步骤： 一、直接开平方法(适用于完全平方形式或缺一次项方程) 1.变形：将方程整理为，示例：方程变形为，即。 2.开方：等式两边同时开平方，得 注意：必须加“士”，否则会漏根。 3.求解：移项计算，得到方程的两个根，示例：，即。 4.特殊情况：若n<0，方程无实数根。 二、因式分解法(适用于左边易分解、右边为0的方程) 1.移项：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为。 2.分解：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。示例：方程分解为 3.转化：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程。示例：或。 4.求解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。示例：。 关键注意：严禁两边同除以含未知数的代数式(如x)，避免漏根。 三、配方法(适用于所有方程，多用于推导或指定解法的题目) 1.移项：把常数项移到等号右边，得示例：方程移项为。 2.化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1示例：方程先化为，再移项。 3.配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，示例：的一次项系数为，一半的平方是4,两边加4得。 4.变形：将左边化为完全平方形式，得，示例：。 5.开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解，例：，即。 四、公式法(通用解法，适用于所有一元二次方程) 1.化一般式：将方程整理为的标准形式。 2.算判别式：计算的值。 3.判根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 4.代入公式：当时，代入求根公式，示例：方程代入得。 5.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 1.（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2.（2025·湖南武冈·模拟）解方程： 3.（2025-2026·湖南衡阳·模拟）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（    ） 解方程：． 解：，① ，② ，③ ． A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 考点三 一元二次方程根的判别式 一、判别式的定义与表达式 对于一元二次方程的一般形式，我们把代数式 叫做这个一元二次方程根的判别式，其中“△”是判别式的专用符号。 关键前提：使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数，若，方程退化为一元一次方程，不存在判别式。 二、判别式与根的情况的关系 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1．（2024·湖南省卷·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 2.（2025·湖南怀化·一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ 　　） A． B． C． D．a＜3且a≠0 3.（2025·湖南永州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点四 一元二次方程根与系数的关系 一、定理的适用前提 1.方程必须是一元二次方程，即化为一般形式。 2.方程有实数根，即根的判别式，这是使用韦达定理的关键前提，若忽略此条件易导致解题错误。 二、定理的核心内容 1.若一元二次方程的两个实数根为和，则： 简单记忆：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 2.特殊形式方程的根与系数关系 ·当二次项系数时，方程为，此时两根关系简化为： ·当常数项时，方程为，两根为，满足 ， 3.常用变形公式： 1.（2025·湖南娄底·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，已知，则 ． 2.（2025·湖南·模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 3．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 考点五 一元二次方程的应用 一、解题通用步骤 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式—— ①直接设元：问什么设什么; ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验—— ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。6.答：写出答案，带单位。 二、中考常见题型及解题模型 1.增长率/下降率问题 核心公式 若初始量为，平均增长率(或下降率)为，增长(或下降)n次后的量为，则： 注意：增长时用“+”，下降时用“一”。 解题关键 ●确定初始量、变化次数n、最终量; ●增长率x的取值范围是下降率同理。 2.销售利润问题 核心公式 ①单件利润=单件售价-单件成本； ②总利润=单件利润×销售量； 销量变化规律：售价每提高(或降低)m元，销量相应减少(或增加)n件。 3.传播问题 核心公式 若1个传染源每次传播给x个对象，经过n轮传播后，总感染人数为： (中考常考两轮传播，公式简化为) 4.面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 1.（2025-2026·湖南衡阳·模拟）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·一模）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． (1)求这条小道的宽度； (2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 命题点一 一元二次方程的有关概念及解 ►题型01 一元二次方程的定义 一元二次方程的定义相关求解，核心是围绕定义三要素(只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），结合一般形式解决参数取值、方程判定等问题，是中考基础题型的高频考点。 一、定义核心要点回顾 1.一元二次方程的三要素 整式方程：方程两边都是整式，分母不含未知数，根号内不含未知数； ①只含一个未知数； ②未知数的最高次数是2(且二次项系数)。 2. 一般形式：，是关键条件)。 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）下列方程中一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1-1】（2025·湖南常德·模拟）有如下方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元二次方程共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1-2】（2025·湖南怀化·模拟）已知是关于的一元二次方程，则 ． 【变式1-1-3】（2025·湖南岳阳·模拟）当 时，关于的方程是一元二次方程． ►题型02 一元二次方程的一般式与各项的系数 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 【典例】（2025·湖南邵阳·一模）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2-1】（2025·湖南邵阳·模拟）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，6，10 B．6，2，10 C．2，6， D．6，8， 【变式1-2-2】（2025·湖南益阳·模拟）一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为1，其一次项系数为（   ） A．3 B． C． D．7 【变式1-2-3】（2025·湖南湘西·一模）一元二次方程化为一般形式后二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． ►题型03 由一元二次方程的解求参数或代数式的值 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值，通常将它的解代入原方程中，求出参数或变形进行整体代入求出代数式的值，求参数时要注意隐形条件二次项的系数a不等于0. 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 【变式1-3-1】（2025·湖南长沙·模拟）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A．0 B．5 C． D．5或 【变式1-3-2】（2025·湖南长沙·三模）如果是一元二次方程的解，则 ． 【变式1-3-3】（2025·湖南·模拟预测）若是一元二次方程的一个根，则 的值是 ． 命题点二 一元二次方程的解法 ►题型01 利用配方法对方程进行配方 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1-1】（2025·湖南·模拟预测）用配方法解方程，配方后的方程，则（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 【变式2-1-2】（2025·湖南·二模）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1-3】（2025·湖南常德·模拟预测）将方程x2﹣4x＝2配方成（x+a）2＝b（b≥0）的形式时，则ba＝ ． ►题型02 解一元二次方程（计算题） 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错类型 具体易错场景 错误示例 因式分解法漏根 方程两边同除以含未知数的代数式，未保证右边为0就分解 解方程，两边除以x得x=2，遗漏x=0 直接开平方法丢根 解时，开平方忘记加± 配方法步骤错误 1.二次项系数不为1时，未先化为1就配方； 2.配方时仅给左边加常数，右边不加 解方程,直接给加4配方 公式法参数代入错误 取值错误 解方程x²=3x-1,误取b=3、c=-1,未整理为 符号处理失误 1.求根公式中−b的符号错误，尤其b为负数时； 2.去括号、移项时未变号 解方程,移项后误写 根式化简不彻底 求根公式计算后，未将根式化为最简形式，或分子分母未约分 ， 【典例】（2025·湖南邵阳·月考）解下列方程： (1)（用配方法）； (2) （用公式法）； (3)（因式分解法）； (4)（选适当方法）． 【变式2-2-1】（2025·湖南长沙·月考）用你喜欢的方法解下列一元二次方程： (1)； (2) 【变式2-2-2】（2025·湖南常德·模拟）解方程 (1)(用配方法解) (2)(用公式法解) 【变式2-2-3】（2025·湖南·模拟预测）解方程： (1)； (2)． 命题点三 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用根的判别式判断根的情况 当方程含参数时，需结合“方程是一元二次方程”的前提，分两步解题： 1.确定参数限制条件 若题目明确是一元二次方程，先列出的不等式；若未明确，需分类讨论时为一元二次方程，时为一元一次方程)。 2.根据根的情况列不等式/等式 ①若方程有两个不相等的实数根：且 ②若方程有两个相等的实数根：且 ③若方程有实数根：且 ④若方程无实数根：且 【典例】（2025·湖南娄底·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式3-1-1】（2025·湖南武冈·模拟）一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【变式3-1-2】（2025·湖南衡阳·二模）若，下列关于的方程一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1-3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． ►题型02 已知根的情况求参数的取值范围 【典例】（2025·湖南怀化·一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ 　　） A． B． C． D．a＜3且a≠0 【变式3-2-1】（2025·湖南邵阳·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2-2】（2025·湖南衡阳·三模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣ 【变式3-2-3】（2025·湖南永州·二模）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 ►题型03 根的判别式综合应用 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于，求的取值范围． 【变式3-3-1】（2025·湖南郴州·模拟）如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或7 【变式3-3-2】（2025·湖南邵阳·模拟）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3-3】（2025·湖南怀化·模拟预测）已知平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根． (1)若平行四边形是菱形，求k的值； (2)求证：无论k取何值，方程总有一定有实数根； (3)若，求k的值． 【变式3-3-4】（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程． (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 利用根与系数的关系直接求解 一、直接求解的核心公式(前提条件) 1.适用前提 方程为一元二次方程，即化为一般形式； 方程有实数根，即判别式(求参数时需验证)。 2.核心公式 若方程的两根为、，则 当二次项系数时，方程为，公式简化为 二、直接求解的两类典型题型及解题步骤 题型1：已知方程，直接求、 解题步骤 1.将方程化为一般形式，确定a、b、c的值(注意符号)； 2.直接代入韦达定理公式计算，无需解方程。 题型2：已知方程的一个根，求另一个根及参数值解题步骤 1.设已知根为，待求根为，确定方程的、； 2.利用：，直接解出； 3.再利用，求出参数c(若方程含参数)。 【典例1】（2025·湖南衡阳·模拟）已知方程的两个根分别为，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 【典例2】（2025·湖南株洲·模拟）关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是（    ） A． B．5 C． D．3 【变式4-1-1】（2025·湖南邵阳·模拟）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1-2】（2025·湖南长沙·一模）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 【变式4-1-3】（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． ►题型02 利用根与系数的关系整体带入求值 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【变式4-2-1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【变式4-2-2】（2025·湖南湘潭·一模）一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ） A．2 B．-4 C．4 D．3 【变式4-2-3】（2025·湖南常德·模拟）若，为方程的两根，则的值是（　　）． A．1 B． C． D．4043 ►题型03 利用根与系数的关系求参数 一、核心公式(前提条件) 1.适用前提 方程为一元二次方程，即化为一般形式； 方程有实数根，即判别式(求参数时需验证)。 2.核心公式 若方程的两根为、，则 当二次项系数时，方程为，公式简化为 二、这种典型题型的解题步骤 解题步骤 1.根据根的关系(如互为相反数、互为倒数),结合韦达定理列方程； 2.解方程求出参数的可能值； 3.验证：将参数值代入判别式，确保△≥0(方程有实数根)。 【典例】（2025·湖南常德·模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（　　） A．0 B．﹣2 C．0 或﹣ D．﹣2或0 【变式4-3-1】（2025·湖南岳阳·学业考试）若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 【变式4-3-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【变式4-3-3】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． ►题型04 利用根与系数的关系降次求解 【典例】（2025·湖南邵阳·模拟）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式4-4-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式4-4-2】（2025·湖南常德·模拟）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． ►题型05 利用根与系数的关系构造一元二次方程 【典例】（2024·湖南·模拟预测）若实数，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-5-1】（2025·湖南郴州·开学考试）下列方程中两根之和为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-5-2】（2025九年级·湖南永州·期中）阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，，则______，______； (2)已知实数m、n满足，，且，求的值； (3)已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 命题点五 一元二次方程的应用 ►题型01 传播问题 通用解题步骤 1.审清题意，设未知数 设每人每轮传播的人数为(这是传播问题的核心未知数)。 2.分析轮次，列等量关系 根据传播轮次，结合核心模型列出总感染人数的方程： 两轮传播：=两轮后总感染人数 注意：若初始传染源不是1人，而是人，则两轮后总感染人数为 3.解方程，求未知数 用直接开平方法或因式分解法解方程，得到的解。 4.检验根的合理性 传播人数必须是非负整数（人数不能为负数或小数）； 根需满足实际情境，舍去不符合题意的解。 5.写答句 【典例】（2025·湖南娄底·模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-1-1】（2025九年级上·湖南浏阳·期中）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 【变式5-1-2】（2025·湖南长沙宁乡·调研卷）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ ►题型02 增长率问题 1.审清题意，提取三要素 从题干中明确三个关键量： 初始量a：变化前的基础数量(如初始产值、初始人数、初始价格); 变化次数n：增长/下降的轮次，时间间隔等于变化次数(如“2025到2027年”间隔2年，)； 最终量b：变化后的目标数量。 2.设未知数 设平均增长率(或下降率)为x,注意x的单位为“1”(最终需化为百分数)。 3.根据公式列方程 增长问题：代入; o下降问题：代入；中考常考n=2的情况，对应一元二次方程。 4.解方程，优先用直接开平方法 步骤拆解： ①方程两边同时除以a，化简为; ②对等式两边开平方，得； ③解出x的两个值，注意符号取舍。 5.检验根的合理性 增长率：必须满足x>0,舍去负数根； o下降率：必须满足,舍去负数根和大于1的根；o根需符合实际情境(如增长率不能过大导致数量不符合常理)。 6.规范写答 将x的值化为百分数，明确回答题目所求的“平均增长率/下降率”。 【典例】（2025·湖南长沙·三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 【变式5-2-1】（2024·湖南·模拟预测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2-2】（2025·湖南长沙·二模）6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售：每份产品标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈利超过800元？ 【变式5-2-3】（2025·湖南永州·二模）随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同． (1)求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？ (2)若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？ ►题型03 与图形相关的问题 【典例】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙的长为米）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【变式5-3-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3-2】（2025九年级上·湖南长沙浏阳·期中）如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． (1)若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． (2)已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 【变式5-3-3】（2026·湖南长沙·模拟）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． ►题型04 数字问题 【典例】（2025·湖南长沙·开学考试）两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 【变式5-4-1】（2025·湖南邵阳·月考）如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 【变式5-4-2】（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【变式5-4-3】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． ►题型05 销售问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%；单利润x商品数量=总利润. 【典例】（2025·湖南湘西·一模）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【变式5-5-1】（25-26九年级上·湖南常德·月考）百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十．一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价 元． 【变式5-5-2】（2025·湖南衡阳·一模）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【变式5-5-3】（2025·湖南学易金卷·二模）某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情．下表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 火腿的进价为40元/千克． 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ ►题型06 握手循环问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式5-6-1】（2025·湖南衡阳·模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-6-2】（2025·湖南怀化·模拟）假设每一位参加宴会的人跟其他与会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手28次，则参加宴会的人数为（   ） A．4 B．8 C．14 D．28 【变式5-6-3】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 突破一 利用配方法求最值 【典例】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 【变式1】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ． ∵无论x取何实数，总有，∴． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1 【变式3】试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【变式4】阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知；，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 突破二 根的判别式和根与系数的关系的综合应用 【典例】关于的一元二次方程 (1)设是方程的两根．当时，求及的值． (2)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (3)求证：． 【变式1】已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【变式2】试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程的两根中一个大于1，另一个小于1． 【变式3】阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)【直接应用】 解方程：； (2)【间接应用】 已知实数a，b满足：，，且，求的值； (3)【拓展应用】 已知实数m，n满足：，，且，求的值． 【变式4】已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 突破三 一元二次方程中定义新运算 【典例】关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【变式1】如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（    ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【变式3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 突破四 一元二次方程中动点问题 【典例】如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 【变式1】如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【变式2】如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 1.（2025·湖南株洲·三模）关于的方程的一个根为，则的值为 ． 2.（2025·湖南娄底·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3.（2025·湖南长沙·一模）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 4.（2025·湖南邵阳·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 5.（2025·湖南·模拟预测）若x＝－1是方程的根，则a＋b＋c＋2025的值为 ． 6.（2025·湖南·模拟）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 7.（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程： (1) (2) 8.（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 9.（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（    ） A．为函数图象的“相反点” B．函数的图象存在两个“相反点” C．为函数的图象上唯一的“相反点” D．当时，函数的图象上无“相反点” 10.（2025·湖南·模拟预测）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． (1)第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ (2)第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 11.（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 1.（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3.（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5.（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6.（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 7.（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8.（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 9.（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 10．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 11.（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 13.（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程(组)与不等式(组) 第06讲 一元二次方程及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 一元二次方程的有关概念及解 题型01 一元二次方程的定义 题型02 一元二次方程的一般式与各项的系数 题型03 由一元二次方程的解求参数或代数式的值 命题点二 一元二次方程的解法 题型01 利用配方法对方程进行配方 题型02 解一元二次方程（计算题） 命题点三 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02 已知根的情况求参数的取值范围 题型03 根的判别式综合应用 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 题型01 利用根与系数的关系直接求解 题型02 利用根与系数的关系整体带入 题型03 利用根与系数的关系降次求解 题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型05已知根与系数的关系求参数 命题点五 一元二次方程的实际应用 题型01 传播问题 题型02 增长率问题 题型03 与图形相关的问题 题型04 数字问题 题型05 销售问题 题型06 握手循环问题 05·重难突破·思维进阶难 61 突破一 利用配方法求最值 突破二 根的判别式和根与系数的关系的综合应用 突破三 一元二次方程中定义新运算 突破四 一元二次方程中动点问题 06·优题精选·练能提分 80 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 一元二次方程的有关概念 / / 理解一元二次方程的定义，掌握一般形式，会识别各项系数。 一元二次方程的解法 湖南省卷 T12 湖南省卷T25 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 一元二次方程根的判别式 湖南省卷T25 湖南省卷T15 长沙卷T25 会用判别式判断根的情况，并求参数取值范围。 一元二次方程根与系数的关系 / / 理解并应用韦达定理解决对称式、参数等问题。 一元二次方程的应用 / / 能列一元二次方程解决增长率、面积、利润等实际问题。 命题预测 题型分布：主要结合二次函数、判别式、实际应用等综合考查，选择题、填空题中可能出现判别式或根与系数的简单应用，解答题中多融入函数与几何综合。 热点考点：根的判别式：常与含参二次函数结合，判断交点个数、求参数范围。根与系数的关系：多隐含在二次函数与一元二次方程的综合题中，考查对称式或参数关系。实际应用：近年以二元一次方程组为主，但需具备转化建模能力，一元二次方程应用题仍可能出现在增长率、几何面积等问题中。 备考建议 强化判别式与含参二次函数、不等式结合的训练；掌握一元二次方程与二次函数图象交点的转化关系；熟练解一元二次方程的基本方法，并能与函数、几何结合；关注实际应用题中列方程的思维训练，虽近年以一次方程为主，但需具备转化与建模能力。 考点一 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 1.（2025·湖南郴州·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：A．方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．化简后得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．是分式方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2.（2025·湖南岳阳·一模）是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知一元二次方程的一个根是3，则k的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】考查一元二次方程的解的定义．方程的解就是能使左、右两边相等的未知数的值． 将代入方程再解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：∵方程的有一个根是3， ， ． 故答案为：D． 考点二 一元二次方程的解法 解一元二次方程的核心逻辑是“根据方程结构选最优解法”,不同解法对应不同步骤，以下按中考优先选择的顺序梳理四种解法的完整步骤： 一、直接开平方法(适用于完全平方形式或缺一次项方程) 1.变形：将方程整理为，示例：方程变形为，即。 2.开方：等式两边同时开平方，得 注意：必须加“士”，否则会漏根。 3.求解：移项计算，得到方程的两个根，示例：，即。 4.特殊情况：若n<0，方程无实数根。 二、因式分解法(适用于左边易分解、右边为0的方程) 1.移项：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为。 2.分解：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。示例：方程分解为 3.转化：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程。示例：或。 4.求解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。示例：。 关键注意：严禁两边同除以含未知数的代数式(如x)，避免漏根。 三、配方法(适用于所有方程，多用于推导或指定解法的题目) 1.移项：把常数项移到等号右边，得示例：方程移项为。 2.化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1示例：方程先化为，再移项。 3.配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，示例：的一次项系数为，一半的平方是4,两边加4得。 4.变形：将左边化为完全平方形式，得，示例：。 5.开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解，例：，即。 四、公式法(通用解法，适用于所有一元二次方程) 1.化一般式：将方程整理为的标准形式。 2.算判别式：计算的值。 3.判根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 4.代入公式：当时，代入求根公式，示例：方程代入得。 5.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 1.（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 2.（2025·湖南武冈·模拟）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得：． 3.（2025-2026·湖南衡阳·模拟）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（    ） 解方程：． 解：，① ，② ，③ ． A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法步骤．根据解方程的步骤，由，得到，解得或，进而逐一判断即可． 【详解】解：． ，① ，② ，③ 或 解得或． A、小李解方程的过程错误，不符合题意； B、也是该方程的一个解，符合题意； C、小李解方程的方法是因式分解法，不符合题意； D、解方程的过程是从第③步时出现错误，不符合题意； 故选：B． 考点三 一元二次方程根的判别式 一、判别式的定义与表达式 对于一元二次方程的一般形式，我们把代数式 叫做这个一元二次方程根的判别式，其中“△”是判别式的专用符号。 关键前提：使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数，若，方程退化为一元一次方程，不存在判别式。 二、判别式与根的情况的关系 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1．（2024·湖南省卷·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 2.（2025·湖南怀化·一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ 　　） A． B． C． D．a＜3且a≠0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出且，列式计算，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根，则且， ∴且． 解得且． 故选：C． 3.（2025·湖南永州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式及一元二次方程根的判别式．根据二次函数的性质得出顶点坐标，再根据一元二次方程无实根得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 又关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， ， 抛物线的顶点所在象限是第一象限． 故选：A． 考点四 一元二次方程根与系数的关系 一、定理的适用前提 1.方程必须是一元二次方程，即化为一般形式。 2.方程有实数根，即根的判别式，这是使用韦达定理的关键前提，若忽略此条件易导致解题错误。 二、定理的核心内容 1.若一元二次方程的两个实数根为和，则： 简单记忆：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 2.特殊形式方程的根与系数关系 ·当二次项系数时，方程为，此时两根关系简化为： ·当常数项时，方程为，两根为，满足 ， 3.常用变形公式： 1.（2025·湖南娄底·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得和，再根据，得到，代入即可求出c的值． 【详解】解：由题意可得： ，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：6． 2.（2025·湖南·模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；设该方程的另一个根为，然后根据“”可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 由关于x的一元二次方程的一个根是， 可得：， ∴； 故答案为：4． 3．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 考点五 一元二次方程的应用 一、解题通用步骤 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式—— ①直接设元：问什么设什么; ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验—— ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。6.答：写出答案，带单位。 二、中考常见题型及解题模型 1.增长率/下降率问题 核心公式 若初始量为，平均增长率(或下降率)为，增长(或下降)n次后的量为，则： 注意：增长时用“+”，下降时用“一”。 解题关键 ●确定初始量、变化次数n、最终量; ●增长率x的取值范围是下降率同理。 2.销售利润问题 核心公式 ①单件利润=单件售价-单件成本； ②总利润=单件利润×销售量； 销量变化规律：售价每提高(或降低)m元，销量相应减少(或增加)n件。 3.传播问题 核心公式 若1个传染源每次传播给x个对象，经过n轮传播后，总感染人数为： (中考常考两轮传播，公式简化为) 4.面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 1.（2025-2026·湖南衡阳·模拟）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次， ∵2025年预计为165万人次， ∴， 故选：A． 2.（2025·湖南长沙·一模）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． (1)求这条小道的宽度； (2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【答案】(1)这条小道的宽度为2米 (2)需要56米篱笆 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设这条小道的宽度为米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 【详解】（1）解：设这条小道的宽度为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：这条小道的宽度为2米． （2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米）， 则（米）， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．每件玩具应降价元，则单价为元，销量为个，根据单价销量销售额（批发额）列方程求解即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． 命题点一 一元二次方程的有关概念及解 ►题型01 一元二次方程的定义 一元二次方程的定义相关求解，核心是围绕定义三要素(只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），结合一般形式解决参数取值、方程判定等问题，是中考基础题型的高频考点。 一、定义核心要点回顾 1.一元二次方程的三要素 整式方程：方程两边都是整式，分母不含未知数，根号内不含未知数； ①只含一个未知数； ②未知数的最高次数是2(且二次项系数)。 2. 一般形式：，是关键条件)。 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）下列方程中一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A、∵方程的未知数的最高次数为3， ∴方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、∵方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程， ∴方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、∵方程含有分式，不是整式方程，∴方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1-1】（2025·湖南常德·模拟）有如下方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元二次方程共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据形如是一元二次方程的一般形式解答即可 【详解】解：当时，不是一元二次方程，所以不符合题意； 因为不是整式方程，所以不符合题意； 因为是二元方程，所以不符合题意； 因为整理得是一元一次方程，所以不符合题意. 是一元二次方程，一共有2个. 故选：B 【变式1-1-2】（2025·湖南怀化·模拟）已知是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：， 解得：， 所以． 故答案为：． 【变式1-1-3】（2025·湖南岳阳·模拟）当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． ►题型02 一元二次方程的一般式与各项的系数 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 【典例】（2025·湖南邵阳·一模）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式1-2-1】（2025·湖南邵阳·模拟）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，6，10 B．6，2，10 C．2，6， D．6，8， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为标准形式，再识别系数即可，注意需先整理成标准形式再确定系数． 【详解】解：原方程可化为， 故二次项系数为 2，一次项系数为 6，常数项为， 故选：C． 【变式1-2-2】（2025·湖南益阳·模拟）一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为1，其一次项系数为（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般式化简，关键是通过展开和移项得到标准形式． 将方程化简为一般形式后，直接读取一次项系数． 【详解】解：∵ ， 展开左边：， 移项得：， 合并同类项：， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 【变式1-2-3】（2025·湖南湘西·一模）一元二次方程化为一般形式后二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般形式，进而根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程化为一般形式后二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故答案为：，，． ►题型03 由一元二次方程的解求参数或代数式的值 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值，通常将它的解代入原方程中，求出参数或变形进行整体代入求出代数式的值，求参数时要注意隐形条件二次项的系数a不等于0. 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解的定义和解一元二次方程，熟练掌握方程的根就是能使方程左右两边相等的未知数的值，二次项系数不等于0，是解题的关键． 先把代入方程得到，根据，即可求出k的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为1， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-3-1】（2025·湖南长沙·模拟）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A．0 B．5 C． D．5或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．将根代入方程，求出k的可能值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解，即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式1-3-2】（2025·湖南长沙·三模）如果是一元二次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3-3】（2025·湖南·模拟预测）若是一元二次方程的一个根，则 的值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据是一元二次方程的一个根，得，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18 命题点二 一元二次方程的解法 ►题型01 利用配方法对方程进行配方 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． 通过移项和添加一次项系数一半的平方，将方程化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1-1】（2025·湖南·模拟预测）用配方法解方程，配方后的方程，则（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方通过配方法将原方程转化为完全平方形式，从而求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ∴ ． 故选：D． 【变式2-1-2】（2025·湖南·二模）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法， 先把11移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 故选D． 【变式2-1-3】（2025·湖南常德·模拟预测）将方程x2﹣4x＝2配方成（x+a）2＝b（b≥0）的形式时，则ba＝ ． 【答案】 【分析】先利用配方法将一元二次方程变形为完全平方式，然后进行对照，确定a，b值，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ，对照， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用配方法化简一元二次方程及负整数指数幂的运算，熟练运用配方法，掌握负整数指数幂的运算法则是解题关键． ►题型02 解一元二次方程（计算题） 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错类型 具体易错场景 错误示例 因式分解法漏根 方程两边同除以含未知数的代数式，未保证右边为0就分解 解方程，两边除以x得x=2，遗漏x=0 直接开平方法丢根 解时，开平方忘记加± 配方法步骤错误 1.二次项系数不为1时，未先化为1就配方； 2.配方时仅给左边加常数，右边不加 解方程,直接给加4配方 公式法参数代入错误 取值错误 解方程x²=3x-1,误取b=3、c=-1,未整理为 符号处理失误 1.求根公式中−b的符号错误，尤其b为负数时； 2.去括号、移项时未变号 解方程,移项后误写 根式化简不彻底 求根公式计算后，未将根式化为最简形式，或分子分母未约分 ， 【典例】（2025·湖南邵阳·月考）解下列方程： (1)（用配方法）； (2) （用公式法）； (3)（因式分解法）； (4)（选适当方法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用配方法解答即可； （2）先运用根的判别式判断方程根的情况，再运用求根公式求解即可； （3）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （4）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以． （2）解：， ∵， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， 或， ∴． （4）解：， ， 或， ∴． 【变式2-2-1】（2025·湖南长沙·月考）用你喜欢的方法解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 【变式2-2-2】（2025·湖南常德·模拟）解方程 (1)(用配方法解) (2)(用公式法解) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和用公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：配方得，， 即， 所以，， 所以，，； （2）解：，，， ， ， 解得：， 【变式2-2-3】（2025·湖南·模拟预测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得解； （2）利用因式分解法求解可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ，， ∴，． 命题点三 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用根的判别式判断根的情况 当方程含参数时，需结合“方程是一元二次方程”的前提，分两步解题： 1.确定参数限制条件 若题目明确是一元二次方程，先列出的不等式；若未明确，需分类讨论时为一元二次方程，时为一元一次方程)。 2.根据根的情况列不等式/等式 ①若方程有两个不相等的实数根：且 ②若方程有两个相等的实数根：且 ③若方程有实数根：且 ④若方程无实数根：且 【典例】（2025·湖南娄底·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，求解判断即可． 【详解】解： ∵ ∴一元二次方程的根的情况是无实数根， 故选：D． 【变式3-1-1】（2025·湖南武冈·模拟）一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根据得判断即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【变式3-1-2】（2025·湖南衡阳·二模）若，下列关于的方程一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出根的判别式的值，再比较其与0的大小即可求解．本题考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键． 【详解】A．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意； B．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意； C．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意； D．，因为，所以，一定有两个不相等的实数根，故符合题意． 故选：D． 【变式3-1-3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 【答案】(1)见解析； (2),． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题； （2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题知， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：当时，关于x的一元二次方程为， 整理得， 则或， 解得，． ►题型02 已知根的情况求参数的取值范围 【典例】（2025·湖南怀化·一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ 　　） A． B． C． D．a＜3且a≠0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出且，列式计算，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根，则且， ∴且． 解得且． 故选：C． 【变式3-2-1】（2025·湖南邵阳·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程有两个相等的实数根，得到，求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， 故选：B． 【变式3-2-2】（2025·湖南衡阳·三模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣ 【答案】C 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，即可得△＜0，继而求得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选C． 【点睛】此题考查了根的判别式．注意△＜0⇔方程没有实数根． 【变式3-2-3】（2025·湖南永州·二模）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． ►题型03 根的判别式综合应用 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及根的判别式、十字相乘法解一元二次方程及解一元一次不等式等知识，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系及解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出，即可得证； （2）利用十字相乘法因式分解求出关于的一元二次方程的解，由题意列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程中，， ， 关于的一元二次方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程可分解为， 解得， 方程有一根小于， ， 解得． 【变式3-3-1】（2025·湖南郴州·模拟）如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得． 【详解】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根， ， 解得， 此时方程为，解得， 此时三边长为3，2，2，因为，所以能构成三角形； 当腰为3时，把代入关于的方程得， 解得， 此时方程为，解得，， 三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，的值为4或3． 故选：C． 【变式3-3-2】（2025·湖南邵阳·模拟）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，由一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，从而可联立方程，即，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点， ∴联立方程． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【变式3-3-3】（2025·湖南怀化·模拟预测）已知平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根． (1)若平行四边形是菱形，求k的值； (2)求证：无论k取何值，方程总有一定有实数根； (3)若，求k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则关于x的方程有两个相等的实数根，可得，解之即可得到答案； （2）只需要证明即可； （3）可解方程得到或，不妨设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 解得，即； （2）证明：由题意得， ， ∴无论k取何值，方程总有一定有实数根； （3）解：∵， ∴， 解得或， ∵平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根，且， ∴不妨设， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【变式3-3-4】（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程． (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)方程的另一根为；或 【分析】本题综合考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． （1）根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，即可求得直角三角形的面积为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，即可求得直角三角形的面积为． 【详解】（1）证明：， ， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 ， 解得， ， ， 或， 则方程的另一根为； ①当该直角三角形的两直角边是1、3时， 该直角三角形的面积为； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时， 该直角三角形的另一直角边为； 该直角三角形的面积为； 综上，该直角三角形的面积为或． 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 利用根与系数的关系直接求解 一、直接求解的核心公式(前提条件) 1.适用前提 方程为一元二次方程，即化为一般形式； 方程有实数根，即判别式(求参数时需验证)。 2.核心公式 若方程的两根为、，则 当二次项系数时，方程为，公式简化为 二、直接求解的两类典型题型及解题步骤 题型1：已知方程，直接求、 解题步骤 1.将方程化为一般形式，确定a、b、c的值(注意符号)； 2.直接代入韦达定理公式计算，无需解方程。 题型2：已知方程的一个根，求另一个根及参数值解题步骤 1.设已知根为，待求根为，确定方程的、； 2.利用：，直接解出； 3.再利用，求出参数c(若方程含参数)。 【典例1】（2025·湖南衡阳·模拟）已知方程的两个根分别为，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：A． 【典例2】（2025·湖南株洲·模拟）关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据韦达定理即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根是n，则，故， 故答案为：B． 【变式4-1-1】（2025·湖南邵阳·模拟）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【变式4-1-2】（2025·湖南长沙·一模）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ， 解得：， 又， ， 解得：， 故选：C． 【变式4-1-3】（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． ►题型02 利用根与系数的关系整体带入求值 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识．先根据题意得到，，再把变形为整体代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 【变式4-2-1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式4-2-2】（2025·湖南湘潭·一模）一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ） A．2 B．-4 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：方程中， ∴该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3． 方程中 ，所以该方程无解． ∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3． 故选：D． 【变式4-2-3】（2025·湖南常德·模拟）若，为方程的两根，则的值是（　　）． A．1 B． C． D．4043 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 根据方程的解以及根与系数的关系可得、、，再对所求代数式变形，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，为方程的两根， ∴，，， ∴ ． 故选B． ►题型03 利用根与系数的关系求参数 一、核心公式(前提条件) 1.适用前提 方程为一元二次方程，即化为一般形式； 方程有实数根，即判别式(求参数时需验证)。 2.核心公式 若方程的两根为、，则 当二次项系数时，方程为，公式简化为 二、这种典型题型的解题步骤 解题步骤 1.根据根的关系(如互为相反数、互为倒数),结合韦达定理列方程； 2.解方程求出参数的可能值； 3.验证：将参数值代入判别式，确保△≥0(方程有实数根)。 【典例】（2025·湖南常德·模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（　　） A．0 B．﹣2 C．0 或﹣ D．﹣2或0 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得到,,再由，然后整体代入即可得到关于m方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：∵方程的两个根分别是x1，x2， ∴， ∵，即， ∴， 解得m＝0或m＝﹣， ∵方程的两个根， ∴， ∴m为任意实数，方程均有实数根， 当m＝0， ＞0；当 m＝﹣，＞0 ∴m＝0或m＝﹣均符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键． 【变式4-3-1】（2025·湖南岳阳·学业考试）若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1， 由题意可知：m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0， 当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键． 【变式4-3-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【变式4-3-3】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， 由（）得：， ∴， ∴的值为． ►题型04 利用根与系数的关系降次求解 【典例】（2025·湖南邵阳·模拟）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根， ∴x12﹣3x1+1＝0， ∴x12＝3x1﹣1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3， 根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 【变式4-4-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根和根与系数的关系，解此题的关键在于利用方程的根，和根与系数的关系得到的关系式，再利用整体代入思想求解即可． 根据题意可得，，再将所求式子变形，然后利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为： 【变式4-4-2】（2025·湖南常德·模拟）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 【详解】∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴=====-1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键． ►题型05 利用根与系数的关系构造一元二次方程 【典例】（2024·湖南·模拟预测）若实数，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，，且， ∴为方程的两个不同的根， ∴，， ∴， 故选：． 【变式4-5-1】（2025·湖南郴州·开学考试）下列方程中两根之和为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以，此方程无解，故A不符合题意； B、因为，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故B不符合题意； C、因为，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故C不符合题意； D、因为，移项得：，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故D符合题意； 故选：D． 【变式4-5-2】（2025九年级·湖南永州·期中）阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，，则______，______； (2)已知实数m、n满足，，且，求的值； (3)已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根，进而求解； （2）对条件变形可推出、是方程的两个不相等的实数根，进而求解； （3）对条件变形可推出和可看作方程的两个不相等的实数根，进而求解． 【详解】（1）解：由材料知，可将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵，，且， ∴、可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴； （3）解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 命题点五 一元二次方程的应用 ►题型01 传播问题 通用解题步骤 1.审清题意，设未知数 设每人每轮传播的人数为(这是传播问题的核心未知数)。 2.分析轮次，列等量关系 根据传播轮次，结合核心模型列出总感染人数的方程： 两轮传播：=两轮后总感染人数 注意：若初始传染源不是1人，而是人，则两轮后总感染人数为 3.解方程，求未知数 用直接开平方法或因式分解法解方程，得到的解。 4.检验根的合理性 传播人数必须是非负整数（人数不能为负数或小数）； 根需满足实际情境，舍去不符合题意的解。 5.写答句 【典例】（2025·湖南娄底·模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-1-1】（2025九年级上·湖南浏阳·期中）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1-2】（2025·湖南长沙宁乡·调研卷）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 【答案】每轮传播中平均一人传播了11人 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． ►题型02 增长率问题 1.审清题意，提取三要素 从题干中明确三个关键量： 初始量a：变化前的基础数量(如初始产值、初始人数、初始价格); 变化次数n：增长/下降的轮次，时间间隔等于变化次数(如“2025到2027年”间隔2年，)； 最终量b：变化后的目标数量。 2.设未知数 设平均增长率(或下降率)为x,注意x的单位为“1”(最终需化为百分数)。 3.根据公式列方程 增长问题：代入; o下降问题：代入；中考常考n=2的情况，对应一元二次方程。 4.解方程，优先用直接开平方法 步骤拆解： ①方程两边同时除以a，化简为; ②对等式两边开平方，得； ③解出x的两个值，注意符号取舍。 5.检验根的合理性 增长率：必须满足x>0,舍去负数根； o下降率：必须满足,舍去负数根和大于1的根；o根需符合实际情境(如增长率不能过大导致数量不符合常理)。 6.规范写答 将x的值化为百分数，明确回答题目所求的“平均增长率/下降率”。 【典例】（2025·湖南长沙·三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 【答案】(1) (2)120盒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，根据利润不低于2000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 【变式5-2-1】（2024·湖南·模拟预测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，由第一月月销售量为辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是， 根据题意得：， 故选：D． 【变式5-2-2】（2025·湖南长沙·二模）6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售：每份产品标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈利超过800元？ 【答案】(1)平均每次下调的百分率约为； (2)该摊主至少卖21份香辣虾才能盈利超过800元． 【分析】（1）设平均每次下调的百分率为，根据某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该摊主卖份香辣虾，则卖份油爆虾，根据盈利超过800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程及列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：平均每次下调的百分率约为； （2）解：设该摊主卖份香辣虾，则卖份油爆虾， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为21， 答：该摊主至少卖21份香辣虾才能盈利超过800元． 【变式5-2-3】（2025·湖南永州·二模）随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同． (1)求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？ (2)若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？ 【答案】(1)该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是 (2)新能源车至少要销售850辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意可得，进而求解即可； （2）由题意易得2025年的汽车销售数量为1440辆，设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是． （2）解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆）， 设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得： ， 解得：； 答：新能源车至少要销售850辆． ►题型03 与图形相关的问题 【典例】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙的长为米）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 (2)不能，理由见解析 【分析】（）设矩形的边，则边，根据题意列出方程即可求解； （）根据（）列出方程，进而根据方程解的情况即可判断求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边， 由题意得，， 化简得，， 解得， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）解：不能，理由如下： 由题意得，， 化简得，， ， ∴一元二次方程没有实数根， ∴羊圈的面积不能达到． 【变式5-3-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得 ． 故选：A． 【变式5-3-2】（2025九年级上·湖南长沙浏阳·期中）如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． (1)若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． (2)已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 【答案】(1)画框（空白部分）的宽度为； (2)当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设画框宽度为未知数，根据工艺品长和宽与画框宽度的关系表示出风景画的长和宽，再利用面积公式列方程求解； （2）设降价金额为未知数，根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用的关系列方程求解． 【详解】（1）解：设画框（空白部分）的宽度为， 可列方程， 整理得， 解得，， 因为，当时，，不符合实际，舍去， 所以， 答：画框（空白部分）的宽度为． （2）设销售单价降低元， 可列方程， 整理得， 解得（不符合降价让顾客得到优惠的题意，舍去），． 答：当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 【变式5-3-3】（2026·湖南长沙·模拟）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 【答案】（1）①；②的长为8米或10米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时的长为8米或10米； （2）设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，依题意得： ， 整理得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． ►题型04 数字问题 【典例】（2025·湖南长沙·开学考试）两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， 那么， 求出n再求奇数即可． 【详解】解：设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， ， 解得：或， 当时 奇数为15， 17； 当时奇数为， ． 故选：C． 【变式5-4-1】（2025·湖南邵阳·月考）如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 【变式5-4-2】（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 【变式5-4-3】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． ►题型05 销售问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%；单利润x商品数量=总利润. 【典例】（2025·湖南湘西·一模）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【变式5-5-1】（25-26九年级上·湖南常德·月考）百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十．一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价 元． 【答案】20 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可． 设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，则 ， 即：， 解得：，， 要扩大销售量，减少库存， 舍去． 所以每件童装应降价20元， 故答案为：20． 【变式5-5-2】（2025·湖南衡阳·一模）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)230 (2)当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，根据题意知单价增加5元，则销量减少50件可得结果； （2）设销售单价为x元，则每件的销售利润为（x-30）元，每天可销售件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据题意设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到3700元． 【详解】（1）解：（件）． 故答案为：230． （2）解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，    整理，得， 解得（不合题意，舍去），．    答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）解：不能，理由如下： 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，   整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元． 【变式5-5-3】（2025·湖南学易金卷·二模）某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情．下表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 火腿的进价为40元/千克． 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ 【答案】（1）火腿的售价为60元/千克；（2）当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大． 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 问题1：设火腿的售价为x元/千克，根据每千克火腿的利润×销售量=1600列出方程，解方程求出x的值即可； 问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元，根据该店每天的利润=每千克火腿的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】解：问题1：设火腿的售价为x元/千克， 由题意得：， 解得：或， ∵要让顾客得到更大的实惠， ∴， 答：火腿的售价为60元/千克； 问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元， 由题意得： ， ∵， ∴当时，y最大，最大值为1800， 答：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大． ►题型06 握手循环问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 设共有个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 故选：D ． 【变式5-6-1】（2025·湖南衡阳·模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 【变式5-6-2】（2025·湖南怀化·模拟）假设每一位参加宴会的人跟其他与会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手28次，则参加宴会的人数为（   ） A．4 B．8 C．14 D．28 【答案】B 【分析】设这次宴会有人参加，则根据两两握手一次，每个人都需要和人握手，除去重复的，共握了次手，由题意可列出方程，解出即可． 本题考查一元二次方程的应用，识别是单循环问题，排除重复的情况是解答本题的关键， 【详解】解：设这次宴会有人参加， 则根据分析可得：， 解得：（不合题意舍去）． 即参加的人数为8人． 故选：B． 【变式5-6-3】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 突破一 利用配方法求最值 【典例】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）将变形为，即可求解； （2）先求与的差为，再将变形为，即可求解； （3）由，，得，，，将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． ∴代数式的最小值为5． （2） ， ， ． ． ． （3），， ，，． ． 【变式1】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ． ∵无论x取何实数，总有，∴． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】C 【分析】把化为，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】解： ； ∵， ∴，即代数式有最大值为1． 故选C 【点睛】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，熟记配方法的步骤是解本题的关键． 【变式3】试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法和非负数的性质（平方的非负性），熟练掌握配方法的技巧是解题的关键． 通过完成平方将代数式配方变形，利用平方的非负性证明其值恒为正． 【详解】证明： 又 对于所有实数， ， ， 因此，无论取何实数，代数式的值一定是正数． 【变式4】阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知；，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）16 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方、完全平方公式的几何背景等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解； （3）依据题意，设，长方形的面积为，从而，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （2），理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． （3）由题意，设，长方形的面积为， ． 当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为． 答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为． 突破二 根的判别式和根与系数的关系的综合应用 【典例】关于的一元二次方程 (1)设是方程的两根．当时，求及的值． (2)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (3)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，根与系数的关系求出即可； （2）求出判别式的符号，即可得证； （3）根据根与系数的关系进行证明即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 整理，得：， ∴， ∴； （2）解：， 整理，得：， ∴； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （3）由（2）知：， ∴，， ∴ ． 【变式1】已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系以及韦达定理的内容是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，结合韦达定理中两根之积的符号确定的取值范围； （2）根据根的符号特征对进行变形，再结合韦达定理和完全平方公式建立关于的方程，进而求解． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． （2）， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 【变式2】试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程的两根中一个大于1，另一个小于1． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．设方程两根分别为，，根据题意有，，（其中，），解不等式组即可得到m的取值范围，然后在此范围内任取一值即可． 【详解】解：设，是方程的两根， 则，， 依题意，， 解得 解得：． ∴取时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1． 【变式3】阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)【直接应用】 解方程：； (2)【间接应用】 已知实数a，b满足：，，且，求的值； (3)【拓展应用】 已知实数m，n满足：，，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)27． 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，理解题意是解此题的关键． （1）仿照材料1计算即可得解； （2）仿照材料2，并分两种情况计算即可得解； （3）令，，则，，从而得出，即，再仿照材料2计算即可得解． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴（舍去），， ∴，． （2）解：∵， ∴或． ①当时，令，， ∴，则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，此时． ②当时，， 此时， 综上：的值为或． （3）解：令，，则，， ∵， ∴，即， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【变式4】已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，矩形的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． 【详解】（1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 突破三 一元二次方程中定义新运算 【典例】关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 【变式1】如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（    ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，利用“潇湘”函数的定义结合二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断即可． 【详解】解：当时，， ∵二次函数的系数，，满足， ∴该“潇湘”函数必过定点，故①正确； 由“潇湘”函数定义得，，解得或，故②错误； ∵该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点， ∴，而，即， ∴，即， ∴，故③正确； 当时， 由一元二次方程根与系数的关系得到，， 由得， ∴， 由得， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 【变式2】【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】(1)②③ (2)的值是3或 (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键． （1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：①解方程， 可得：； ②解方程， 可得：，； ③解方程， 可得：，； 其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根， 方程②③是“同伴方程”； 故答案为：②③； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：； 此时方程为， 可得，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是3或； （3）解：由条件可知方程的解是，， 方程可整理为 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 突破四 一元二次方程中动点问题 【典例】如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 【答案】(1)3秒钟 (2)2秒钟或4秒钟 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确表示出线段和的长是解题的关键． （1）设时间为t秒，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：设时间为t秒，则 ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：经过3秒钟，． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过2秒钟或4秒钟，的面积等于． 【变式1】如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能，秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 【详解】（1）解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； （2）解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为。 【变式2】如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； （2）解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中，， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分，， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 1.（2025·湖南株洲·三模）关于的方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解，把代入得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得：． 故答案为：． 2.（2025·湖南娄底·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，求解判断即可． 【详解】解： ∵ ∴一元二次方程的根的情况是无实数根， 故选：D． 3.（2025·湖南长沙·一模）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ， 解得：， 又， ， 解得：， 故选：C． 4.（2025·湖南邵阳·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 利用根的定义得到的值，借助根与系数的关系求出的值并代入计算． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，即， ， ∴． 故答案为：3． 5.（2025·湖南·模拟预测）若x＝－1是方程的根，则a＋b＋c＋2025的值为 ． 【答案】2025 【分析】根据x=-1是方程ax2-bx+c=0根，得到a+b+c=0，整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵x=-1是方程ax2-bx+c=0根， ∴a+b+c=0， ∴原式=0+2025=2025， 故答案为：2025． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 6.（2025·湖南·模拟）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，直接代入求值即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系， 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， ∴由根与系数关系，，， ∴． 故选：C． 7.（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）先计算判别式，用公式法求解可得． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 8.（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值以及代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先解方程得出m、n的值，进而判断出m、n均小于0，然后化简分式，最后整体代入求值即可； （2）先化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是方程的两根， ， ， ∴原式， 是方程的两根， ， 原式； （2）解：， ， ， 原式． 9.（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（    ） A．为函数图象的“相反点” B．函数的图象存在两个“相反点” C．为函数的图象上唯一的“相反点” D．当时，函数的图象上无“相反点” 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，根据“相反点”的定义可知，相反点一定在直线上，判断函数与直线的交点情况即可． 【详解】解：A选项：在函数图象上，且横坐标与纵坐标互为相反数， 为函数图象的“相反点”， 故A选项正确； B选项：当时，， 点在函数的图象上， 当时，， 点在函数的图象上， 函数的图象存在两个“相反点”， 故B选项正确； C选项：当时，， 点也是函数的图象上的“相反点”， 不是函数的图象上唯一的“相反点”， 故C选项错误； D选项：函数的图象上无“相反点”， 则函数与直线没有交点， 则方程无解， 整理得：， ， 解得：， 当时，函数的图象上无“相反点”， 故D选项正确． 故选：C． 10.（2025·湖南·模拟预测）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． (1)第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ (2)第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 【答案】(1)个 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等式以及一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过元”列出一元一次不等式，解之即可求解； （2）根据“第二批头盔的销售利润为元”列出一元二次方程，解之即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进款头盔个，则购进款头盔个， 根据题意，得：， 解得， 答：款头盔至少购进个； （2）解：根据题意，可得， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为． 11.（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 1.（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2.（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 3.（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 4.（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 5.（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 6.（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 7.（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 8.（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 9.（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 10．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根． 【详解】解：方程 可变形为 ， 直接开平方得 ，即 ； 或者，因式分解得 ， 则 或 ， 解得 或 ． 故答案为： 或 ． 11.（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 13.（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $