精品解析：河北省保定市爱和城学校2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期自主学习反馈二 九年级数学试题 注意事项：考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 2. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOD等于(　　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 70° 3. 下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 把抛物线的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠ADC＝115°，则∠AOC的度数是（　　） A. 115° B. 130° C. 150° D. 100° 7. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M 8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝3，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（　　） A. B. π C. D. π 9. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(　　) A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 10. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 12. 如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点，在二次函数的图象上，若，则___________(填“”“”或“”) 14. 如图，点均在上，若，则的度数为___________． 15. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． （1）长为______ （2）当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 19. 已知函数是二次函数． （1）求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 20. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 21. 为迎接羽毛球比赛，小明进行了羽毛球练习．如图1所示，将羽毛球从点击出，在处落到地面，羽毛球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2所示，比赛前夕，组委会以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线一定经过两点，不一定经过点（落地点会发生变化），求出解析式中与之间满足的关系式； （3）在（2）的条件下，若羽毛球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 22. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 23. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． （3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 24. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE． （1）求证：∠AEB＝∠AFD． （2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长． （3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期自主学习反馈二 九年级数学试题 注意事项：考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴和增减性．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵抛物线解析式为，是顶点形式，其中，，， ∴顶点坐标为，故A正确． ∵，∴抛物线开口向下，故B错误． 对称轴是直线，故C错误． ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 选项D中当时，随的增大而增大，所以时，随增大而增大，故D错误． 因此，正确答案是A． 2. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOD等于(　　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=110°可得∠ACD=20°，再由圆周角定理可得结论． 【详解】如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=110°， ∴∠ACD=20°， ∵∠AOD与∠ACD都对着， ∴∠AOD=2∠ACD=2×20°=40°. 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 3. 下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧，弦，圆心角以及垂径定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解．判断四个说法关于圆的性质的正确性，需结合同圆或等圆的条件及垂径定理． 【详解】解：①∵相等的弦在不同圆中所对圆心角可能不等，∴①错误． ②∵等圆中半径相等，相等的圆心角所对弧相等，∴②正确． ③∵根据圆心角与弧的关系定理，同圆中等弧所对圆心角相等，∴③正确． ④∵平分弦的直径若弦为直径，不一定平分弧，∴④错误． ∴正确的有②和③，共2个， 故选：C． 4. 已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 5. 把抛物线的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行整理即可． 【详解】解：向右平移2个单位，得： ， 再向上平移3个单位，得： 所得的抛物线的函数关系式为 ， 故选：A． 6. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠ADC＝115°，则∠AOC的度数是（　　） A. 115° B. 130° C. 150° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B=180°-∠ADC=65°， 由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=130°， 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 7. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝3，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（　　） A. B. π C. D. π 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC＝60°，然后利用弧长公式l＝来计算劣弧的长． 【详解】解：如图，连接OB、OC， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， 又OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝3， ∴劣弧的长为：． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC＝60°是解题的关键所在． 9. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(　　) A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边的和相等， 所以四边形的周长为： 故选B. 点睛：圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边的和相等. 10. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 11. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近函数值越小， 当时， ∵当时，函数的最小值为， ∴，解得（舍去）； 当时，则， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时， ， ∴， 解得； 综上所述，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键， ． 12. 如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接OP、OA，根据垂径定理求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可． 【详解】解： 由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小， 连接OP、OA， 由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=AB=4， 在Rt△AOB中，OQ==3， ∴PQ=OP-OQ=2， 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点，在二次函数的图象上，若，则___________(填“”“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数单调递增． 【详解】解：由二次函数可知，其二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为y轴． ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，． 故答案为：． 14. 如图，点均在上，若，则的度数为___________． 【答案】##34度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______． 【答案】48° 【解析】 【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可． 【详解】连接OA， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB==72°， ∵△AMN是正三角形， ∴∠AOM==120°， ∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°， 故答案为48°． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，得出点在以点为圆心，半径为的圆上运动，再结合点E的运动路径，推出点的运动路径，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解； （2）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． （1）长为______ （2）当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，进而得出，再根据“角角边”证明，得到，则此题可解； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，接下来求出，然后根据勾股定理得即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【小问2详解】 解：如图，过点O作，交于点E， 则， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴小圆的半径为． 19. 已知函数是二次函数． （1）求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键； （1）根据二次函数的定义，得到，求出的值，进而写出函数解析式，化为顶点式求出对称轴和顶点坐标即可； （2）根据增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 解得； ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴． 20. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 21. 为迎接羽毛球比赛，小明进行了羽毛球练习．如图1所示，将羽毛球从点击出，在处落到地面，羽毛球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2所示，比赛前夕，组委会以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线一定经过两点，不一定经过点（落地点会发生变化），求出解析式中与之间满足的关系式； （3）在（2）的条件下，若羽毛球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形， 对于（1），将点代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），将点代入关系式整理可得答案； 对于（3），分别将点代入关系式得出b的值，进而得出取值范围． 【小问1详解】 解：由抛物线过点， 得 解得 该抛物线的解析式：； 【小问2详解】 解：点的坐标为， 抛物线经过点， ， 整理，得； 【小问3详解】 解：，圆筐的截面为矩形， ． 当抛物线经过点时，，解得； 当抛物线经过点时，，解得． 综上可得解析式中的取值范围：． 22. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 是等腰三角形， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 23. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． （3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为，此时的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，抛物线交轴于点和点，交轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 24. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE． （1）求证：∠AEB＝∠AFD． （2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长． （3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值． 【答案】（1） ∵直径AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE，∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAE+∠AFD=90°， ∴∠AEB＝∠AFD． （2） 6 （3）：2 【解析】 【分析】（1）根据AE是直径可得∠ABE=90°，由AE是角平分线可得∠BAE=∠DAE，根据直角三角形两锐角互余可得答案； （2）根据（1）中结论可得∠BFE=∠BEF，可得BE=BF，根据∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF可证明△ABE∽△ADF，根据相似三角形的性质可得，设DF=x，则AD=2x，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案； （3）由点G为AB中点，点O在DG上可证明OG是△ABE的中位线，根据中位线的性质可得OG//BE，OG=BE，即可得出DG⊥AB，∠AOG=∠AEB=∠AFD，可得OD=DF，△ABD是等腰直角三角形，根据圆周角定理可得∠AEB=∠ACB，可得∠ACB=∠AFC，可得AC=AF，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DF=CD，设BF=a，DF=b，根据等腰直角三角形的性质可得，可得，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵∠AEB＝∠AFD，∠AFD=∠BFE， ∴∠BFE=∠BEF， ∴BE=BF， ∵∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF， ∴△ABE∽△ADF， ∵AB=10，BF=5， ∴， 设DF=x，则AD=2x， ∴在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即102=（5+x）2+（2x）2， 解得：x=3，（负值舍去） ∴AD=2x=6． 【小问3详解】 ∵点G为AB中点，点O在DG上， ∴OG是△ABE的中位线， ∴OG//BE，OG=BE， ∵∠ABE=90°， ∴DG⊥AB，∠AOG=∠AEB=∠AFD， ∴OD=DF，△ABD是等腰直角三角形， ∵∠AEB和∠ACB是所对的圆周角， ∴∠AEB=∠ACB， ∴∠ACB=∠AFC， ∴AC=AF， ∵AD⊥CF， ∴DF=CD， 设BF=a，DF=b， ∴， ∴， ∴BF：FC=a：2b=：2． 【点睛】本题考查圆周角定理相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及等腰直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；有两组对应角分别相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $