专题02 平行线中的拐点问题（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行线中的拐点问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、平行线中含一个拐点问题.1 题型二、平行线中含两个拐点问题… .6 题型三、平行线中含多个拐点问题… .12 题型四、平行线中在生活上含拐点问题 .16 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、平行线中含一个拐点问题 1.如图，已知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则∠BCD的度数为 A 2.已知直线4∥12，直线马与直线4、马分别相交于C、D两点. C 少A kD/E D 图a 图b (1)如图a,有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中， ∠1、∠2、∠3又怎样的数量关系？试说明理由 (2)如图b,当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出 新的结论并说明理由。 3.如图，直线AB∥CD,点P为平面内一点（不在两条直线上）. 图② 图③ (1)如图①，若点P在直线AB与CD之间，且∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数； (2)如图②，若点P在直线AB上方，且∠AEP=50°，∠PFC=120°. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求∠EPF的度数； ②如图③，∠AEP的平分线和LPFC的平分线交于点G,求LG的度数。 4.直线AB∥CD,P为直线AB上方一点，连接PA、PD. D 图1 图2 (1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数： (2)如图1，设∠PAB=a,∠CDP=B,求∠APD的度数（用含a、的式子表示）： B)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3LPAN,连接CN,若∠DCN=3∠PCN,求AC的值. ∠ANC 题型二、平行线中含两个拐点问题 5.如图，AB∥CD,BF平分∠ABE,CF平分∠ECD,且∠BFC比∠BEC大I0.5°，则∠BEC的度数为_ 度 D 6.①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，AB∥CD,则∠E=∠A+∠C;③如图3，若AB∥ EF,则∠x=180°-∠a∠+∠B;④如图4，AB∥CD,则∠A=∠C+∠P.以上结论正确的是一· B B 图1 图2 图3 图4 7.(1)如图①，如果AB∥CD,求证：∠APC=∠A+∠C. (2)如图②，AB∥CD,根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C= (3)如图③，AB∥CD,若∠ABP=x,∠BPQ=y,∠PQC=2,∠QCD=m,则m= (用x、y、 z表示). 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 图① 图② 图③ 8.如图1，AB∥CD,点P为直线AB,CD间一点，点E,F分别是直线AB,CD上的点，连接EP,FP A E B A B B P --N D D 万 图1 图2 图3 (1)【证明推断】求证：∠EPF=∠AEP+∠CFP,请完善下面的证明过程，并在(）内填写依据。 证明：过点P作直线MN∥AB, :MN∥AB(己作)， .LAEP=∠EPN(), 又：MN∥AB,AB∥CD(已知) “-，() ∠CFP=LFPN, :ZAEP+ZCFP=ZEPN +ZFPN = (2)如图2，若∠AEP的平分线与LPFC的平分线交于点Q, ①【类比探究】试猜想∠EPF与∠EQF之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若LBEP+∠DFP=240°，求∠EQF的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线AB∥CD,点P,H为直线AB、CD间的点，请直接写出∠AEP，,∠PHF, ∠EPH,∠HFD的数量关系： 题型三、平行线中含多个拐点问题 9.如图，已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点G,H在两条平行线AB,CD之间，∠AEG与LFHG的 平分线交于点M.若LEGH=84°，∠HFD=20°，则∠M= F A -B G F 1O.已知AB∥CD,点E在BD连线的右侧，∠ABE与LCDE的角平分线相交于点F,则： ①LABF+∠CDF=LBFD; ②∠ABE+∠CDE+∠E=360°； 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③若∠E=65°，则∠BFD=115°； ④若∠ABM=2∠ABF,∠CDM=2∠CDF,则5∠BMD+∠E=360°； 5 5 以上说法正确的是 11.如图，己知AB∥CD,BE、DE的交点为E,现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平 分线，交点为E,第二次操作，分别作∠ABE,和∠CDE,的平分线，交点为E2,第三次操作，分别作 ∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E,第nn≥2)次操作，分别作∠ABEn1和∠CDE,-1的平分线，交点为 En,若∠E,=a度，则∠BED= 度 A E E2 E 题型四、平行线中在生活上含拐点问题 12.小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他： AB∥CD,∠A=40°，∠1=70°，小明马上运用己学的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道 ∠C= B 0 13.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动.图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间， 数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD,∠EAB=80°，∠ECD=110°，求∠AEC的度数. 图1 图2 (1)小明在解决问题时，过E点作EF IICD,则可以得到EF∥AB,其理由是-； 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)根据(1)中思路求∠AEC的度数， 14.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF,前支架OE与后支架OF分别与 CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,∠AOE=∠BNM. M -B E (1)请对OE∥DM说明理由； (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数. 5.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，图②是这盏台灯的示 意图.己知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的 夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=110°. -----E M- -N D 图① 图② (I)求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数： (2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.如图，直线a∥b,等腰直角三角形ABC的直角顶点A在直线b上，点B在直线a上，∠1=15°，则∠2的 度数为() b A.10° B.209 C.30° D.40° 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=150°，∠3=25°，则∠2的度数 是() 四工作篮 2 支撑平台 ○ A.55° B.50° C.60° D.65 3.如图，AB∥CD,∠MBN=3∠ABM,∠MDN=3∠CDM,∠N=160°，则∠M为() A M D A.45° B.50° C.60° D.65° 4.如图，AB∥CD∥EF,GF∥DH,∠=52°，∠0=87°，则∠B的度数为() A E G H A.35° B.52° C.139 D.87° 二、填空题 5.如图，己知AE∥DF,则LA+∠B+∠C+∠D= E B D F 6.如图，AB∥CD,∠B=155°，∠D=120°，则∠E= 6/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D 7.如图，∠EPF=75°，直线a平移后得到直线b,L2=45°，则∠1=__°. E 义j…a P 一b F 8.如图，直线AB∥CD,GN平分∠CNE,FM平分LAMG,点F,M,E在同一直线上，若 G+)ZE=54,则∠AMG= M A 、G --S M E 则GS‖AB II ET ICD, C N D .∠TEF=∠AMF,LTEN=∠DNE, :GN平分∠CNE,FM平分∠AMG, .∠CNG=∠GNE,∠FMA=∠FMG, 设LCNG=LGNE=x,，∠FMA=∠FMG=y :∠DNE=180°-∠FMA-∠FMG=180°-2x, GS II ABI ET I CD, .∠TEF=∠AMF=y,∠TEN=∠DNE=180°-2x, :∠FEN=∠TEF+∠TEN=y+180°-2x, :∠SGM=∠FMG+∠AMF=2y,∠SGF=LCNG=x, :∠FGM=∠SGF-∠SGM=x-2y, :∠FGM+∠FEN=54°， 7/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x-2y+2y+180°-2x=54, 解得：y=24°， ∠AMG=2y=48°. 故答案为：48°. 三、解答题 9.如图1，M为射线BA上一点，∠ABC=a,∠AMN=B(a>B).根据以上条件解答下列问题： M B M B 图1 图2 (1)若a=120°，B=45°，∠CBD=75°.求证：BD∥MN. (2)如图2，点E在BC上，过点E作PQ∥MN·求∠BEQ的度数.（用含a和B的代数式表示） (3)在(2)的条件下，过点E作射线EF⊥BC,若a=105°，B=45°，直接写出∠FEP的度数： 10.如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，LPCD=120°，求∠APC的度数.发现小明的思路是：过P作PE∥AB ,通过平行线性质来求∠APC. B D 图1 (1)按小明的思路，求∠APC的度数为 理由如下：过点P作PE∥AB, :AB∥CD,PE∥AB ·PE∥ ∴.∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°() :∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∠APE= °，∠CPE= :∠APC=∠APE+∠CPE= 迁移 (2)如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=a,LPCD=B,当点P在B、D两点之间运动 时，问∠APC与α、B之间有何数量关系？请说明理由； 8/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 应用 M B D B 一M 图2 备用图 (3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写 出∠APC与a、B之间的数量关系. 11.综合与实践 如图1，AB∥CD,M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E. E 9 B A- B M M D N D 图1 图2 (1)若∠EMB=35°，∠END=65°，则∠MEN的度数是 (2)写出∠MEN,∠END,∠EMB之间的数量关系，并说明理由 (3)如图2，MQ平分∠EMB,NQ平分∠END.∠MEN=a,直接用含a的代数式表示∠MQN的度数. 12.小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动. O B E 图1 图2 (I)【问题初探】如图1，∠CDF+∠DFE=I80°，∠C=∠DAE,求证：AD∥BC. (②)【拓展探究】在(I)的条件下，试问∠ADF,∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由. (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐 角度数为a,顶部支架EF与灯杆CD所成锐角度数为B,∠EFG的度数为·（用含a,B的式子表示） 13.如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那 么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”. 9/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G (1) (2) (3) (I)如图(2)所示，己知AB∥CD,请问∠BED=∠B+∠D成立吗？并说明理由； (2)如图(3)所示，已知AB∥CD,请问∠B,∠E,∠D又有何关系？并说明理由； (3)如图(4)所示，已知AB∥CD.若∠E+∠G=70°，则∠B+∠F+∠D=- 14.已知AB∥CD,点P为直线AB、CD所确定的平面内一点. G 图1 图2 图3 (1)如图1，∠A=30°，∠C=40°.求∠P的度数 (2)如图2，直接写出∠P,∠C和∠A的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图3，点E在直线AB上，若∠APC=18°，∠PAB=30°，∠EGC=40°，过点E作EF∥PC,求 LFEG的度数. 15.(1)如图1，AB∥CD,点P在AB,CD之间，连接AP,CP.易证：∠APC=LA+∠C. 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点P作PQ∥AB 小菲：如图3，延长AP交CD于点M· 请你选择一位同学的方法进行证明. (2)如图4，E,F分别是射线AB,CD上一点，G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点 P,连接AC,EG,若∠PAC+∠PEG=∠AGE,求证：AC‖EF, (3)如图5，在(2)的条件下，AB∥CD,AH平分∠PAC,FH平分∠PFC,AH与FH相交于点H, HF与GP相交于点T,若∠CAH=25°，∠H=LAEG,∠PGE=2LCAH+3LPEG,求∠CFP的度数. 10/11 专题02 平行线中的拐点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行线中含一个拐点问题 1 题型二、平行线中含两个拐点问题 6 题型三、平行线中含多个拐点问题 12 题型四、平行线中在生活上含拐点问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行线中含一个拐点问题 1.如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2.已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 3.如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 4.直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 题型二、平行线中含两个拐点问题 5.如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作，可得；进而得，，；结合可推出 ，即可求解． 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴ ∴，，， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴ 由①得： ∴ ∵比大， ∴, 解得：， 故答案为：． 6.①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【详解】解：①如图1，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误； ②如图2，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正确； ④如图4，过点P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 7.（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键． 8.如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 题型三、平行线中含多个拐点问题 9.如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点，，作，，，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，，，；根据角平分线的性质，则，推出，则，根据平行线的性质，等量代换，则，即可． 【详解】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．    10.已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 11.如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于． 故答案为：． 题型四、平行线中在生活上含拐点问题 12.小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 【答案】/30度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，如图，过点E作，则，再求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 13.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数． (1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ； (2)根据（1）中思路求的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行 (2)30° 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行公理推论得到即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过E点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， 故答案为：平行于同一直线的两直线平行； （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 14.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 15.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（    ） A． B．20° C． D．40° 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识，过点作，则，得到，，由等腰直角三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，则， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 3．如图，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设，，则，，，，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，再根据平行公理推论可得，，根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：设，，则，， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，得到，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．如图，已知，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点，分别作，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作， ∵， ∴， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 6．如图， ，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，由两直线平行得出同旁内角互补，，结合，，得出，再根据角的差关系列式计算，即可求出的度数． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，，直线平移后得到直线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，如图，过作，证明，再进一步利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图，过作， ∴， ∵直线平移后得到直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 故答案为： 8．如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 10．如图1，，求的度数．发现小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数为___________， 理由如下：过点作， ___________ （　　） ，， ___________°，___________° ___________°． 迁移 （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； 应用 （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）；；两直线平行，同旁内角互补；50；60；110；（2），见解析；（3）当P在延长线上时，；当P在线段上， 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）按小明的思路，求的度数为， 理由如下：过点作， ， ， （两直线平行，同旁内角互补） ，， ， ； （2）， 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图所示，当在的延长线时， 由（2）可知，， ， 如图所示，当在线段上时， 由（2）可知，， ． 11．综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 12．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”． (1)如图（2）所示，已知，请问成立吗？并说明理由； (2)如图（3）所示，已知，请问又有何关系？并说明理由； (3)如图（4）所示，已知．若，则 ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （2）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （3）分别过E，F，G作的平行线，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （3）解：如图，分别过E，F，G作的平行线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，再由可得结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，可得结论； （3）如图，设交于点，由（2）知得，根据平行线的性质得，，，再代入计算即可． 解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系为； （3）如图，设交于点， ∵，，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 15．（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）小强的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；小菲的方法：先由，得，再根据三角形的外角定理，得，据此即可得出结论； （2）先根据三角形的外角定理得，再根据，得，然后根据平行线的判定可得出结论； （3）设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，，得，由此解出，设，则，再根据得，，进而得，然后根据在（2）的条件下，得，则，由此得，据此求出即可得到的度数． 【详解】（1）解：小强的证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 小菲的证明如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即； （2）证明：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， 设， ∴， ∴， 在（2）的条件下，知， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $