专题01 平行线的判定与性质（6大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

专题01 平行线的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行线的性质求角度 1 题型二、利用平行线的性质求线段长 4 题型三、平行线的判定与性质多结论题 8 题型四、平行线的性质多解题问题 13 题型五、平行线的判定补空问题 18 题型六、平行线的判定与性质综合问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行线的性质求角度 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 2．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，，的平分线交于点，交于点，且，，的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理．根据平行线的性质可知，根据角平分线的性质可知，根据三角形内角和定理可知，可知. 【详解】解：， ， 平分， ， 在中，， ，， ， . 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余得，继而求得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；直角三角形两锐角互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 题型二、利用平行线的性质求线段长 5．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 故答案为：32． 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 ． 【答案】8 【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质可得，又根据角平分线的性质可得，结合求解即可． 本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：过点P作于点E， 则， 平分，，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于，，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度为 米． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是得到．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，由全等三角形的性质可得结果． 【详解】解：，， ， 根据题意可知：相邻两平行线间的距离相等， ， 在和中， ， ， （米）． 故答案为：16． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点返回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒．当，，三点在同一条直线上时，的值为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 当点P，Q，C三点共线时，先证明，可得，再证明， 然后分两种情况：当点P在沿向B运动时，根据可得答案； 当点P在沿向A运动时，根据得出答案即可． 【详解】解：当点P，Q，C三点共线时， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． 当点P在沿向B运动时，， ∴． ∵， ∴， 即， 解得； 当点P在沿向A运动时，， ∴． ∵， ∴， 即， 解得． 由，所以符合题意． 所以t的值为或5． 故答案为：或5． 题型三、平行线的判定与性质多结论题 9．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； 平分， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ，故④错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②⑤． 10．（2025·福建福州·模拟预测）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及余角关系，①根据条件，得，与为同位角，根据平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），可推导，故①正确； ②由，可得为等腰三角形（底角相等），但又因为，即可得出平分；故②正确；③由余角关系得，可得，故③正确，所以，结合，再通过平分及等腰三角形性质，计算，故④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确，符合题意； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判断，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定； ①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即 故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 即 故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 题目中未说明 即不一定等于 故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ， 即， 故⑤正确； 12．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，正确利用平行线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质、三角形外角性质、三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵平分平分， ，， 又∵， ，, ∴，故①正确； ， ∴，故②错误； 由现有条件无法证明，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，即④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为①④． 题型四、平行线的性质多解题问题 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，与交于点H．将线段绕点B以的速度逆时针旋转得到线段，同时线段绕点H以的速度顺时针旋转得到线段，当N，A，B三点第一次共线时，线段均停止转动，设旋转时间为．当时，t的值为 ． 【答案】10或40 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分解析中，两种情况，根据平行线的性质得到建立方程讨论求解即可． 【详解】解：依题意得，，， 如图所示，当时，则， ∴， 解得； 如图所示，当时，则， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为10或40， 故答案为：10或40． 15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】此题重点考查平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．由、、，可知，再分三种情况讨论，一是，则，求得，由，得；二是，则，求得；三是点E在上，则，由，证明，此时，于是得到问题的答案． 【详解】解：、、， ， 如图1，， ， ， ， ， 当或时，都有； 如图2，， ，，， ， ； 如图3，点E在上，则， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 ． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 题型五、平行线的判定补空问题 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．如图，，数学课上，老师请同学们根图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程． 小明添加的条件：． 请你帮小明将下面的证明过程补充完整． 证明：（__________） __________（__________） 又（已知） __________（__________） __________（__________） （__________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】证明：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （等量代换）． 18．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，，，点，，，在同一条直线上，且．求证：． 证明：（_________）， ____________________， 即， ， __________（__________）， 在和中 ， （________）， （________）． 【答案】已知，，，两直线平行，同位角相等，，已知；，全等三角形的对应角相等 【分析】根据平行线的性质，等式的性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，等式的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：（已知）                  即 （两直线平行，同位角相等）     在和中                   （全等三角形的对应角相等） 故答案为：已知，，，两直线平行，同位角相等，，已知；，全等三角形的对应角相等． 19．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：，（_____），（_____）， （_____），_____， ，_____， （_____），（_____）， ，，，（_____）． 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：，（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （垂直的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义． 20．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点F．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：， ∵① （依据② ）． ， ③ （依据④ ）， 即， 在和中， （依据⑥ ）． ⑦ ． 【答案】(1)见解析 (2)；两直线平行，同位角相等；；等式的性质；；； 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，作一个角等于已知角，熟练掌握基本作图方法，是解本题的关键． （1）作即可； （2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； （2）证明：， ①（依据②两直线平行，同位角相等）， ， ③（依据④等式的性质）， 即， 在和中， （依据⑥）． ⑦， ． 题型六、平行线的判定与性质综合问题 21．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 【答案】(1)见详解 (2)7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边的知识，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意可证，得到，由内错角相等，两直线平行即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，则，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据边角边证明全等即可； （2）直接根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 在与中， ∵ ； （2）， ． 23．（16-17七年级下·湖北武汉·期末）点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点B作，，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）解：． 理由如下： 过点B作，，二线交于点G， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 24．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 25．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据可得，再利用平角的定义可求得，最后再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， 又， ． 故选：C． 3．（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、互余的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由，得到，可判断①；由，得到，则有，推出，再根据同角的余角相等，推出，得到，可判断②；利用平行线的性质可判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵和互余， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 即与互余，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点F作,过点E作，得到，设，设，得到，解答即可． 本题考查平行线的判定和性质，等量代换，角平分线；熟练掌握平行线的判定和性质，灵活表示角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：过点F作,过点E作， ∵， ∴， 设，设， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键． 过点A作于M，过点C作于N，证明即可求解． 【详解】解：如图， 过点A作于M，过点C作于N， 由题意得，， 则， ∴，， 同理可得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 9．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查平行线的性质，周角的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补，先求出，再由周角为，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ， ∴， ∴． 故答案为：135． 10．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明，得出，从而可证，结合，，即可求出，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 三、解答题 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，，，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． （1）由平分，可得，由，可得，进而可得． （2）由，，可得，由，可得，由平分，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为． 12．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）请完成以下证明过程 如图，已知，，．求证：． 证明：， （   ）， ， ， 即， 在和中， ， （   ）； （   ）， （   ） ．（   ） 【答案】两直线平行，内错角相等；；；已证；；全等三角形的对应角相等；等角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．先根据全等三角形的判定方法证明，得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定，得出结论即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， ∴， 即， 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， ∵， （等角的补角相等）， ．（内错角相等，两直线平行） 13．（22-23八年级上·福建·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含t的式子表示）； (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)解：当时，；当时，． (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，以及三角形全等的判定定理． （1）证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据路程速度时间以及几何关系即可解答； （3）先求出，证明得到，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ． （2）解：当时，； 当时，， ． （3）解：根据题意得，则， 由（1）得，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 【点睛】 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点到直线的距离为 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，等面积法．熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）由平分，即可证明； （2）由（1）的，可以求出，再由即可求出的度数； （3）先求出，根据等面积法，即可求出点到直线的距离． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 15．（19-20七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证，则，再由即可求解． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行线的性质求角度 1 题型二、利用平行线的性质求线段长 4 题型三、平行线的判定与性质多结论题 8 题型四、平行线的性质多解题问题 13 题型五、平行线的判定补空问题 18 题型六、平行线的判定与性质综合问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行线的性质求角度 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 2．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，，的平分线交于点，交于点，且，，的度数为 ． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则 ．    4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 题型二、利用平行线的性质求线段长 5．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于，，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度为 米． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点返回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒．当，，三点在同一条直线上时，的值为 ． 题型三、平行线的判定与性质多结论题 9．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 10．（2025·福建福州·模拟预测）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 12．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是 ． 题型四、平行线的性质多解题问题 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当 时，． 14．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，与交于点H．将线段绕点B以的速度逆时针旋转得到线段，同时线段绕点H以的速度顺时针旋转得到线段，当N，A，B三点第一次共线时，线段均停止转动，设旋转时间为．当时，t的值为 ． 15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 ． 题型五、平行线的判定补空问题 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．如图，，数学课上，老师请同学们根图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程． 小明添加的条件：． 请你帮小明将下面的证明过程补充完整． 证明：（__________） __________（__________） 又（已知） __________（__________） __________（__________） （__________） 18．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，，，点，，，在同一条直线上，且．求证：． 证明：（_________）， ____________________， 即， ， __________（__________）， 在和中 ， （________）， （________）． 19．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：，（_____），（_____）， （_____），_____， ，_____， （_____），（_____）， ，，，（_____）． 20．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点F．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：， ∵① （依据② ）． ， ③ （依据④ ）， 即， 在和中， （依据⑥ ）． ⑦ ． 题型六、平行线的判定与性质综合问题 21．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 22．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（16-17七年级下·湖北武汉·期末）点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 24．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 25．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m． 9．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则 °． 10．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 三、解答题 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，，，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 12．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）请完成以下证明过程 如图，已知，，．求证：． 证明：， （   ）， ， ， 即， 在和中， ， （   ）； （   ）， （   ） ．（   ） 13．（22-23八年级上·福建·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含t的式子表示）； (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 15．（19-20七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $