第八章 证明（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

第八章 证明 清单01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 清单02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 清单03 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 清单04 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 易错点1 平行线中的旋转问题 1. **忽略“旋转后直线位置关系”**：易默认旋转后两线仍平行，实则旋转角度可能让直线相交，需先判断旋转后是否仍满足“同位角相等”等平行条件。 2. **漏算“旋转产生的多解情况”**：旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转中心不同，会导致角度、线段长度等结果不同，需全面分析所有可能情形，避免漏解。 例题1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ． 易错点2 平行线判定与性质中的多结论问题 1. **混淆判定与性质逻辑**：易把“由角等推平行”（判定）和“由平行推角等”（性质）弄反，比如用性质条件证平行，导致逻辑链错误。 2. **漏用隐含条件**：常忽略对顶角相等、邻补角互补等隐含角关系，无法串联已知与结论，导致关键角的等量关系缺失，无法判定或推导。 例题2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ． 易错点3 平行线的判定与性质综合问题 1. **逻辑链断裂**：不会串联判定与性质，比如用判定证出平行后，忘了用性质推角的关系，或反之，导致解题中途卡住。 2. **辅助线添加不当**：遇“折线”“拐角”类图形，常漏加或错加平行线辅助线，无法构造“同位角、内错角”，找不到角的传递桥梁。 例题3．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则的度数为___________． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．若，则与所在的直线存在的位置关系是___________． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点与交于点G，射线交于点H． ①若，，求的度数． ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 易错点4 平行线中的拐点问题 1. **辅助线添加错误**：不会过拐点作已知平行线的平行线，或作线后漏标字母、错连线段，导致无法构建“内错角”“同旁内角”等关键角关系。 2. **角的关系算反**：推导时混淆角的“和”与“差”，比如“铅笔头模型”错用角差、“锯齿模型”错用角和，违背拐点模型的角度规律。 例题4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】 （2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数； 如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 一、单选题 1．如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 2．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 4．如图，，O是AB上一点，直线与所夹的，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转 °． 5．如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 6．月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为 ． 三、解答题 7．已知：如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 9．如图所示，点B，C在线段的异侧，点E，F分别在线段，上，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由．（不必写出每步推理的依据） (2)若， ①求的度数（用含的式子表示）． ②若，求的度数． 10．（1）如图①，点在上，．求证：； （2）如图②，，平分的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数； （3）如图③，，的度数与（2）中求出的相同，平分平分，作，求的度数． 11．如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 12．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 证明 清单01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 清单02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 清单03 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 清单04 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 易错点1 平行线中的旋转问题 1. **忽略“旋转后直线位置关系”**：易默认旋转后两线仍平行，实则旋转角度可能让直线相交，需先判断旋转后是否仍满足“同位角相等”等平行条件。 2. **漏算“旋转产生的多解情况”**：旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转中心不同，会导致角度、线段长度等结果不同，需全面分析所有可能情形，避免漏解。 例题1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及与第1次平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设转动时间为时，与第1次平行， 如图所示： 当，则与第1次平行， 依题意， ∴ 解得， 故答案为： 易错点2 平行线判定与性质中的多结论问题 1. **混淆判定与性质逻辑**：易把“由角等推平行”（判定）和“由平行推角等”（性质）弄反，比如用性质条件证平行，导致逻辑链错误。 2. **漏用隐含条件**：常忽略对顶角相等、邻补角互补等隐含角关系，无法串联已知与结论，导致关键角的等量关系缺失，无法判定或推导。 例题2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，余角的定义，角平分线的定义．由，得出，可判断①；由得出，结合，可判断②；根据的余角比大，，可判断③；设，，根据角平分线的定义及角的和差关系，分别表示出和，即可判断④． 【详解】解：，， ， ；故①正确； ， ， ， 平分；故②正确； 的余角比大，， ， ；故③正确； 设，， ，， ， ， 平分， ， ， 解得， 即；故④正确； 综上可知，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 易错点3 平行线的判定与性质综合问题 1. **逻辑链断裂**：不会串联判定与性质，比如用判定证出平行后，忘了用性质推角的关系，或反之，导致解题中途卡住。 2. **辅助线添加不当**：遇“折线”“拐角”类图形，常漏加或错加平行线辅助线，无法构造“同位角、内错角”，找不到角的传递桥梁。 例题3．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则的度数为___________． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．若，则与所在的直线存在的位置关系是___________． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点与交于点G，射线交于点H． ①若，，求的度数． ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据邻补角的性质求出，再根据垂直的定义即可解答； （2）根据平行线的性质得到，，据此证明即可； （3）①根据平行线的性质和对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案； ②根据平行线的性质和对顶角相等得到，则可求出，再由垂线的定义得到，平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②． ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 易错点4 平行线中的拐点问题 1. **辅助线添加错误**：不会过拐点作已知平行线的平行线，或作线后漏标字母、错连线段，导致无法构建“内错角”“同旁内角”等关键角关系。 2. **角的关系算反**：推导时混淆角的“和”与“差”，比如“铅笔头模型”错用角差、“锯齿模型”错用角和，违背拐点模型的角度规律。 例题4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】 （2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数； 如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 【答案】（）；（），，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质及结合图形进行角的和差运算是解题的关键． （）过点作，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立； （）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（）的结论，即可求出答案； 由平行线的性质，角平分线的定义，结合（）的结论，即可求出答案． 【详解】解：（）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵平分， ∴， ∴，        由平行凸折线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ，理由如下， 如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， 由平行凸折线性质可得：， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理等逐个判定即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； 无法说明， 故③错误； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②， 故选：C． 2．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 3．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． ①根据平行线的传递性可以判断出来； ②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得， 即，联立可求得结果； ③根据以及，可求得结果； ④根据即以及，可求得结果； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确 ②∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴故④不正确； 正确的有个：①②③， 故选：A． 二、填空题 4．如图，，O是AB上一点，直线与所夹的，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转 °． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和角度的计算．根据平行线的性质求出再根据角度的计算即可得到答案． 【详解】解：如图，， ∵， ∵ 即直线绕点O按逆时针方向至少旋转， 故答案为：． 5．如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，垂直定义，由，，则，延长至，过作，则有，所以，，，通过角度和差可得，，又，则，最后通过角度和差即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，延长至，过作， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．已知：如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质和对顶角的知识， （1）根据平行线的性质得和，即可得； （2）根据平行线的性质得，结合对顶角得，即可求得． 【详解】（1）证明：． ∴． 又， ∴， 则； （2）解：． ∴． 又， ∴． 8．如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； 根据题意，先计算出，再得到，利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图所示，点B，C在线段的异侧，点E，F分别在线段，上，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由．（不必写出每步推理的依据） (2)若， ①求的度数（用含的式子表示）． ②若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 由已知推出，根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）①根据对顶角相等结合已知可以求出，得出，根据两直线平行同旁内角互补即可得到；②根据已知得到，解出，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出结果． 【详解】（1）解：位置关系：，理由如下： 因为，，， 所以， 所以； （2）①因为，， 所以， 所以，所以， 即， 所以的度数为； ②因为，， 所以，解得， 因为， 所以，即． 10．（1）如图①，点在上，．求证：； （2）如图②，，平分的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数； （3）如图③，，的度数与（2）中求出的相同，平分平分，作，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2）100° （3） 【分析】（1）延长交于点．利用同角的补角相等得到，利用平行线的判定得，由性质得，则有，即可判定平行； （2）作，则，结合角平分线得到，进一步得到，再次利用角平分线得到，则．设，有．结合已知有即可； （3）过点E作，设直线和射线相交于点G．由角平分线得和由平行得，，．由（2）可知，则．结合平行得，即可列出求解即可． 【详解】（1）证明：如答图①，延长交于点． ， ， ， ∴， ， ∴， ． （2）解：如答图②，作． ， ∴， ． 平分， ． ， ∴， ， ∴， ． 平分， ， ， ， ． 设， ． 比大60°， ， ，解得， 的度数为100°． （3）解：如答图③，过点E作，设直线和射线相交于点G． 平分，平分， ， ， ， ，，． 由（2）可知， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查同角的补角相等、平行线的判定和性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，解题的关键是熟悉平行线的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握辅助线是解题的关键． 11．如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 12．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $