2.5 二次函数与一元二次方程（第1课时）（导学案）数学北师大版九年级下册

2.5二次函数与一元二次方程 导学案 第1课时 1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数间的联系。 2.理解二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根个数的对应关系。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。 学习重点：二次方程根与抛物线交点关系。 学习难点：辨析抛物线与x轴相交的几种情形及其判别式运用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 （1）一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式Δ= , 当 时,方程有两个不相等的实数根; 当 时,有两个相等的实数根; 当 时,没有实数根.  （2）一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根． 2.情景引入 一个小球从地面被竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.你能从图象看出什么信息呢？ 现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？ 新知自研：自研课本第51--52页的内容． 【学法指导】 自研课本51-52页的内容，思考： ●探究一：二次函数与一元二次方程交点的对应关系 ◆1.尝试思考 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5＋t＋表示，其中(m)是抛出时的高度，(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么 (1)h与t的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. ◆2.议一议 二次函数y＝x²＋2x，y＝x²－2x＋1，y＝x²－2x＋2的图象分别如图所示. (1)每个图象与x轴有几个交点?交点坐标分别是什么？ 【解答】解：（1）二次函数y＝x²＋2x的图象与x轴有 个交点，为 和 . 二次函数y＝x²－2x＋1的图象与x轴有 个交点，为 . 二次函数y＝x²－2x＋2的图象与x轴 交点. (2)一元二次方程x²＋2x＝0，x²－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x²－2x＋2＝0有实数根吗?分别求出它们的根. 【解答】解： 一元二次方程x²＋2x＝0的Δ= ＞ 0， ∴方程有 的实数根. 解方程： 一元二次方程x²－2x＋1＝0的Δ 0， ∴方程有 实数根. 解方程： ∵一元二次方程x²－2x＋2＝0的Δ= 0, ∴方程 实数根. （3）思考：二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系? ◆3.知识归纳 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax²＋bx＋c=0根的关系： 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有 交点、有 交点、 交点. 与此相对应，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两 的实数根（－4ac>0）、有 的实数根（－4ac＝0）、 （－4ac<0）. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的 就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根. ◆4.练一练 若一元二次方程ax²＋bx＋c=0有两个相等的实数根，则函数y=ax²＋bx＋c与x轴的交点个数为( ) A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.以上都不对 探究点2：二次函数与方程的数形结合应用 ◆1.想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 【解答】解：方法一：令h＝ ，即 解得： , ∴当 或 时，小球离地面的高度是 . 方法二：由图象可得. 【方法归纳】 利用图象，也可以解方程. ◆2.做一做 一元二次方程−6x+9=1的根与二次函数y=−6x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来. ◆1.知识归纳 二次函数与一元二次方程的关系: 一般地，当二次函数y=a+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程 , 反过来，解方程 又可以看作已知二次函数y=a+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 已知关于x的二次函数y＝m－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 例2 如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.从“数”和“形”的两个方面探讨二次函数与一元二次方程的关系； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.抛物线 与坐标轴的交点个数是(　 　) A. 3个  B. 2个  C. 1个  D. 0个 2.小兰画了一个函数 的图象如图，则关于的方程 的解是(　　 ) A. 无解  B.   C.   D. 3.小兰画了一个函数 的图像如图,则关于的方程 的解是(     ) A. 无解  B.   C.   D. 4.抛物线 与坐标轴的交点个数是(     ) A. 3个  B. 2个  C. 1个  D. 0个 5. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为_____. 6.已知方程a+bx+c=0的两个根分别为=−1,=3,那么可知抛物线y=a+bx+c与x轴的交点为_____. 7. 抛物线 与轴有交点，则的取值范围是？ 8. 已知二次函数y＝ (1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标. 9.已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解 题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标 1．二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣6） B．（﹣6，0）、（1，0） C．（﹣1，0）、（6，0） D．（3，0）、（2，0） 2．二次函数y＝2x2﹣3x+1的图象与y轴的交点坐标为 　 　． 3．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则另一个交点的横坐标为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 题型二 判断抛物线与坐标轴的交点情况 5．二次函数y＝9x2+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．1个 B．2个 C．1个或者2个 D．0个 6．抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．二次函数y＝x2﹣6x+9与坐标轴的交点个数是（　　） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 8．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与y轴交于点（0，3），求该函数的图象与x轴的交点坐标． 题型三 由二次函数解一元二次方程 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝0的解是 　 　． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 … y … 0 n ﹣3 m ﹣3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5 C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7 11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b的解为（　　） A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝﹣7 题型四 已知二次函数的值求自变量或代数式的值 13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 　 　． 14．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 15．已知，二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x＝x1+x2时，则y的值为（　　） A．2019 B．2017 C．2018 D．﹣2017 16．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　） A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b 题型五 由二次函数与x轴交点个数求值或取值范围 17．已知二次函数y＝x2+（k﹣1）x+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣1 18．若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 19．若抛物线y＝kx2﹣3x+1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 　 ． 20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接AC，若AB＝6，AC＝5，则a的值是 　 ． ▲1、二次函数y=ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax²＋bx＋c=0根的关系： 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有 交点、有 交点、 交点. 与此相对应，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两 的实数根（－4ac>0）、有 的实数根（－4ac＝0）、 （－4ac<0）. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的 就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根. ▲2、二次函数与一元二次方程的关系: 一般地，当二次函数y=a+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程 , 反过来，解方程 又可以看作已知二次函数y=a+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5二次函数与一元二次方程 导学案 第1课时 1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数间的联系。 2.理解二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根个数的对应关系。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。 学习重点：二次方程根与抛物线交点关系。 学习难点：辨析抛物线与x轴相交的几种情形及其判别式运用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 （1）一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式Δ= , 当Δ ＞ 0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ ＝ 0时,有两个相等的实数根; 当Δ ＜ 0时,没有实数根.  （2）一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根． 2.情景引入 一个小球从地面被竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.你能从图象看出什么信息呢？ 现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？ 新知自研：自研课本第51--52页的内容． 【学法指导】 自研课本51-52页的内容，思考： ●探究一：二次函数与一元二次方程交点的对应关系 ◆1.尝试思考 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5＋t＋表示，其中(m)是抛出时的高度，(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么 (1)h与t的关系式是什么？ 解：（1）由图象可得＝0，＝40. ∴h与t的关系式为h＝－5＋40t. (2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 解：（2）方法一：由图象可得小球经过8 s后落地. 方法二：令h＝0，得－5＋40t＝0，即－8t＝0， ∴ t(t－8)＝0. 解得＝0，＝8. ∵ t＝0是小球没抛时的时间， ∴ t＝8是小球落地时的时间. ∴ 小球经过8 s后落地. ◆2.议一议 二次函数y＝x²＋2x，y＝x²－2x＋1，y＝x²－2x＋2的图象分别如图所示. (1)每个图象与x轴有几个交点?交点坐标分别是什么？ 【解答】解：（1）二次函数y＝x²＋2x的图象与x轴有2个交点，为（-2，0）和（0，0）. 二次函数y＝x²－2x＋1的图象与x轴有1个交点，为（1，0）. 二次函数y＝x²－2x＋2的图象与x轴没有交点. (2)一元二次方程x²＋2x＝0，x²－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x²－2x＋2＝0有实数根吗?分别求出它们的根. 【解答】解： 一元二次方程x²＋2x＝0的Δ= 4 ＞ 0， ∴方程有2个不相等的实数根. 解方程：解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ =-2，=0 一元二次方程x²－2x＋1＝0的Δ = 0， ∴方程有2个相等的实数根. 解方程：解： =0 ∴ ==1 ∵一元二次方程x²－2x＋2＝0的Δ=-4＜0, ∴方程没有实数根. （3）思考：二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系? ◆3.知识归纳 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax²＋bx＋c=0根的关系： 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（－4ac>0）、有两个相等的实数根（－4ac＝0）、没有实数根（－4ac<0）. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根. ◆4.练一练 若一元二次方程ax²＋bx＋c=0有两个相等的实数根，则函数y=ax²＋bx＋c与x轴的交点个数为( ) A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.以上都不对 解：B 探究点2：二次函数与方程的数形结合应用 ◆1.想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 【解答】解：方法一：令h＝60，即－5＋40t＝60, 解得： =2，=6, ∴当2s或6s时，小球离地面的高度是60m. 方法二：由图象可得. 【方法归纳】 利用图象，也可以解方程. ◆2.做一做 一元二次方程−6x+9=1的根与二次函数y=−6x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来. 解：一元二次方程−6x+9=1的根即为二次函数y=−6x+9当y值为1时，对应的x的值. 由图象得一元二次方程−6x+9=1的根为=2，=4. ◆1.知识归纳 二次函数与一元二次方程的关系: 一般地，当二次函数y=a+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程a+bx+c=m. 反过来，解方程a+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=a+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 已知关于x的二次函数y＝m－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； 解：(1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝－4m×2＝＋4m＋4－8m＝. ∵≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 解：(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 ＝1，＝. 当m为正整数1时，为整数且≠，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 例2 如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 解：(1)设二次函数的解析式为y=a+3， 把（0，0.6）代入得 0.6=a+3， 解得a=−, ∴y=−+3. (2)当y=0时，0=−+3 解得=4+2,=4−2（舍去）. 答：该同学把铅球推出去(4+2)m远． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.从“数”和“形”的两个方面探讨二次函数与一元二次方程的关系； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.抛物线 与坐标轴的交点个数是(　 　) A. 3个  B. 2个  C. 1个  D. 0个 解：A． 2.小兰画了一个函数 的图象如图，则关于的方程 的解是(　　 ) A. 无解  B.   C.   D. 解：D． 3.小兰画了一个函数 的图像如图,则关于的方程 的解是(     ) A. 无解  B.   C.   D. 解：D. 4.抛物线 与坐标轴的交点个数是(     ) A. 3个  B. 2个  C. 1个  D. 0个 解：A． 5. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为_____. 解：-1 6.已知方程a+bx+c=0的两个根分别为=−1,=3,那么可知抛物线y=a+bx+c与x轴的交点为_____. 解：（-1，0）（3，0） 7. 抛物线 与轴有交点，则的取值范围是？ 解： 8. 已知二次函数y＝ (1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标. 解：(1)证明：＝0，Δ＝－4×2×(－)＝9. ∵≥0，∴ 9≥0， ∴ 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点. （2）解：把(1，0)代入二次函数表达式， 得2－m－＝0， ∴ 解得＝－2，＝1. 当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2＋2x－4, 令y＝0，得2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2， ∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0). 又∵ A点坐标为(1，0)， ∴ B(－2，0). 当m＝1时，同理可得B（−,0）. 9.已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解 解：（1）∵一元二次方程 ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即1+4m＞0， ∴m＞−， ∴m的取值范围为m＞−； （2）∵二次函数y＝图象的对称轴为直线x=， ∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=−对称， 由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴一元二次方程＝0＝0的解为=1，=−2. 题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标 1．二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣6） B．（﹣6，0）、（1，0） C．（﹣1，0）、（6，0） D．（3，0）、（2，0） 【分析】根据题意可知，抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，将y＝0代入函数解析式求出相应的x的值，即可得到二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣5x﹣6， ∴当y＝0时，0＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）， 解得x1＝6，x2＝﹣1， ∴二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（6，0）， 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确抛物线与x轴的交点的纵坐标为0． 2．二次函数y＝2x2﹣3x+1的图象与y轴的交点坐标为 　 　． 【分析】将x＝0代入解析式求解． 【解答】解：将x＝0代入y＝2x2﹣3x+1得， y＝1， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1）， 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 3．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 【分析】先把x＝2代入ax2+k＝0得出k＝﹣4a，再把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k，然后令y＝0，解方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是解方程方法的应用． 4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则另一个交点的横坐标为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 【分析】先求出二次函数对称轴，再根据对称性求出另一个交点的横坐标． 【解答】解：∵对称轴为直线x， ∴另一个交点的横坐标为2×2﹣（﹣1）＝5， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象的对称性，求出二次函数对称轴是解题的关键． 题型二 判断抛物线与坐标轴的交点情况 5．二次函数y＝9x2+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．1个 B．2个 C．1个或者2个 D．0个 【分析】根据一元二次方程的判别式的符号判断方程9x2+1＝0根的情况即可解答． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣36＜0， ∴方程9x2+1＝0无实数根， ∴二次函数y＝9x2+1的图象与x轴无交点，即0个交点， 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的图象与x轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解答的关键． 6．抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据b2﹣4ac的取值情况来进行判断． 【解答】解：∵b2﹣4ac ＝4﹣4×3 ＝﹣8＜0， ∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是0， 故选：A． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握根据b2﹣4ac的取值情况判断抛物线与x轴的交点，其中二次函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键． 7．二次函数y＝x2﹣6x+9与坐标轴的交点个数是（　　） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 【分析】令x2﹣6x+9＝0，根据判别式Δ＝0，判断二次函数y＝x2﹣6x+9与x轴只有一个交点，再由二次函数的图象与y轴一定有一个交点可得出结论． 【解答】解：令x2﹣6x+9＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝36﹣36＝0， ∴二次函数y＝x2﹣6x+9与x轴只有一个交点． ∵二次函数的图象与y轴一定有一个交点， ∴二次函数y＝x2﹣6x+9与坐标轴的交点个数是2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解答本题的关键是通过判别式来判断二次函数与x轴交点的个数． 8．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与y轴交于点（0，3），求该函数的图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，计算判别式即可得出结论． （2）根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解． 【解答】（1）解：令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0， ∴Δ＝[﹣（m+2）2]﹣4（2m﹣1）， ＝m2+4m+4﹣8m+4， ＝m2﹣4m+8 ＝（m﹣2）2+4≥4， ∴Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点； （2）∵函数的图象与y轴交于点（0，3）． ∴2m﹣1＝3， ∴m＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， 当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣1， ∴x1＝3，x2＝1， ∴该函数的图象与x轴的交点坐标（3，0）或（1，0）． 【点评】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型三 由二次函数解一元二次方程 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝0的解是 　 　． 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣8，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程x2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣8，0）， 即x＝﹣8或2时，y＝0， ∴一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣8，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣8，x2＝2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 … y … 0 n ﹣3 m ﹣3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5 C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7 【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则x＝﹣2或x＝7时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵x＝1时，y＝﹣3；x＝4时，y＝﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵x＝﹣2时，y＝0， ∴x＝7时，y＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b的解为（　　） A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝﹣7 【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），b+4a＝0可得，b＝﹣4a，c＝﹣12a，方程ax2+bx+c＝0的解为﹣2或6，整理a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b可得a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，进而得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6，求出x的值即可得解． 【解答】解：由题意可知，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0， 则有4a﹣2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝﹣12a， ∴方程ax2+bx+c＝0可化为x2﹣4x﹣12＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， 整理关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b可得， a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0， ∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6， 解得x1＝﹣1，x2＝7， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0后得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6． 题型四 已知二次函数的值求自变量或代数式的值 13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 　 　． 【分析】将（m，0）代入函数解析式可得m2﹣m的值，进而求解． 【解答】解：将（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1， ∴m2﹣m+2022＝1+2023， 故答案为：2023． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 14．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】把（m，0）代入抛物线解析式即可求得答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 15．已知，二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x＝x1+x2时，则y的值为（　　） A．2019 B．2017 C．2018 D．﹣2017 【分析】因为二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，所以x1+x2＝﹣b，当x＝x1+x2＝﹣b时，y＝（﹣b）2+b•（﹣b）﹣2017＝﹣2017，由此即可解决问题． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点， ∴x1+x2＝﹣b， ∴当x＝x1+x2＝﹣b时，y＝（﹣b）2+b•（﹣b）﹣2017＝﹣2017， 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　） A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b 【分析】设函数y′＝（x﹣c）（x﹣c﹣d），该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c+d，0），函数y′向下平移3个单位得到y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3，该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），则a＜c＜c+d＜b，或a＜c+d＜c＜b即可求解． 【解答】解：设函数y′＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）， 则该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c+d，0）， ∵函数y′向下平移3个单位得到y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3， ∴该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0）， ∴a＜c＜c+d＜b，或a＜c+d＜c＜b． ∴|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a， 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象的平移，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标所代表的意义及函数特征等． 题型五 由二次函数与x轴交点个数求值或取值范围 17．已知二次函数y＝x2+（k﹣1）x+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣1 【分析】根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，得出Δ＝0，即可求出k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+（k﹣1）x+1的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2﹣4＝0， ∴k＝3或k＝﹣1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题． 18．若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k， 又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k且k≠0． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确记忆对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题关键． 19．若抛物线y＝kx2﹣3x+1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 　 ． 【分析】根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴有两个交点，得到Δ＝（﹣2）2﹣4k×1＞0，k≠0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝9﹣4k＞0， 解得：k， 由于该函数为二次函数， 则k≠0． ∴k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接AC，若AB＝6，AC＝5，则a的值是 　 ． 【分析】过C作CD⊥x轴于点D，可求CD＝4，设出各点坐标A（m，0），则B（m+6，0），C（m+3，﹣4），重新设抛物线表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6），代入点C即可求解． 【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D． 由题意可知， ∵AC＝5， ∴， 设A（m，0），则B（m+6，0），C（m+3，﹣4）， 抛物线解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）， 把C（m+3，﹣4）代入得： ﹣4＝a（m+3﹣m）（m+3﹣m﹣6）， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． ▲1、二次函数y=ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax²＋bx＋c=0根的关系： 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（－4ac>0）、有两个相等的实数根（－4ac＝0）、没有实数根（－4ac<0）. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根. ▲2、二次函数与一元二次方程的关系: 一般地，当二次函数y=a+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程a+bx+c=m. 反过来，解方程a+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=a+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $