精品解析：山东省菏泽经济技术开发区2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

九年级数学试题 2026.1.4 一、单选题 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A 2，3，4，5 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 3. 在中，，，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形矩形 C. 如果AD平分，那么四边形是菱形 D. 如果且，那么四边形是正方形 5. 下列关于反比例函数的结论中，不正确的是（ ） A. 该函数图象为双曲线 B. 该函数图象在第二、四象限 C. 点在反比例函数图象上 D. 若，则 6. 如图，将长方形纸片折叠，使B，D两点重合，点A的对应点为，折痕分别交于点M，N，已知，，则DN的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 2 D. 3 7. 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，则下列正确的结论是有（ ）个 ①平分；②是等腰三角形；③四边形是平行四边形；④ A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 二、填空题 11. 已知，则的值为 ________ 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则________ 13. 若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系是______（用连接）． 14. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为__________米．（结果保留根号） 15. 如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为________m． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是___________．（填序号） 三、解答题 17. 计算并解方程： （1） （2）； （3）． 18. 如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点. （1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形. 19. 某校九年级二班数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． （1）小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． （2）请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 20. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 21. 已知双曲线的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若、是该双曲线上的两个点，且，判断m，n的大小关系． （3）判断关于x的一元二次方程的根的情况． 22. 某山区种植一种优质蜜桃，并将该种蜜桃在网络平台上销售，已知该种蜜桃的种植以及人工等成本为元/千克，该种蜜桃每日销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，现要求该种蜜桃销售单价不低于成本且不高于元/千克．下表是销售的相关数据． 销售单价x（元） 25 30 日销售量y（千克） 170 120 （1）求日销售量与销售单价的函数表达式； （2）若设销售该种蜜桃的日获利为元，当销售单价定为多少时，销售该种蜜桃的日获利最大？最大利润为多少元？ 23. 如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线上方抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 2026.1.4 一、单选题 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有C选项符合题意． 故选：C． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，在四条线段中，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 在中，，，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果AD平分，那么四边形是菱形 D. 如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定，掌握相关判定定理是解题关键； 【详解】解：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意； 如果，那么四边形是矩形，故B正确，不符合题意； 如果AD平分， 则； ∵， ∴； ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； 如果且，则AD平分， ∴四边形是菱形，故D错误，符合题意； 故选：D 5. 下列关于反比例函数的结论中，不正确的是（ ） A. 该函数图象为双曲线 B. 该函数图象在第二、四象限 C. 点在反比例函数图象上 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：∵反比例函数，故A正确； ∵， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故B正确， 当时，，则点在反比例函数的图象上，故C正确， 当时，，故D错误， 故选：D． 6. 如图，将长方形纸片折叠，使B，D两点重合，点A的对应点为，折痕分别交于点M，N，已知，，则DN的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理的应用，根据题意构建方程是解题的关键． 由题可知，，进而得到，设，则，再在中，应用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：根据折叠可知，，， ，， ，， ， 设，则， 在中，， 即， 化简整理得， 解得， 故选：B． 7. 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式．根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴且． 故选：B． 9. 若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意图象为D选项， 故答案为：D． 10. 如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，则下列正确的结论是有（ ）个 ①平分；②是等腰三角形；③四边形是平行四边形；④ A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接AE，根据线段之间的关系和梯形的性质即可证明③；同理证明四边形AECD为矩形，得到AE垂直平分BC，可得AB=AC，可证明②；过F作于G点，可得FG为△ABE的中位线，可得FG=AE，再根据三角形的底和高的关系可判断④；由于缺乏条件，故无法得到∠CDE和∠FDE的关系，可判断①． 【详解】解：连接AE，如图所示， ∵E为BC的中点， ∴，又， ∴，又， ∴四边形ABED为平行四边形，故③正确； 又∵， ∴四边形AECD为矩形， ∴，即， ∴AE垂直平分BC， ∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故②正确； 过作于G点，可得， 又∵F为AB的中点， ∴G为BE的中点， ∴FG为的中位线， ∴， 又∵AE=DC，BE=AD， ∴，故④正确； 无法得出∠CDE和∠FDE的关系， ∴DE不一定平分，故①错误． 故选A． 【点睛】本题考查了梯形性质，平行四边形和矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，中位线定理，解题的关键是根据BC=2AD和梯形的性质证明平行四边形． 二、填空题 11. 已知，则的值为 ________ 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则________ 【答案】4.8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小．将各点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的纵坐标，再比较大小．即可作答． 【详解】解：对于反比例函数， 当时，； 当时，； 当时，． ∵ ∴． 故答案为：． 14. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为__________米．（结果保留根号） 【答案】##米 【解析】 【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比是解题的关键；由题意得：，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15. 如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为________m． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：m，m，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点N作于点． 由题意，得， ． 又，， ， ． 故竹竿的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次函数的图象判断式子的符号、二次函数的图象与性质等知识点，从函数图象上得到相关信息是解题的关键． 先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当时，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，故①不正确； 代入点得，， 将代入得，，故②正确； 抛物线的对称轴为，且经过点， 抛物线也经过点， 当时，， 的解集是，故③正确； 当时，取得最大值，最大值为， ，即，故④正确； 综上，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题 17. 计算并解方程： （1） （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数、一元二次方程的解法、二次根式的运算． （1）特殊角的三角函数值、、，代入计算可得； （2）化系数为1、再直接开平方解方程即可； （3）应用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， ，     ， ； 【小问2详解】 解：化系数为1，得， 开平方，得， 所以方程的解为； 【小问3详解】 解：， 则， ， 方程有两个不同的根， 故方程的解为． 18. 如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点. （1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形. 【答案】（1）平行四边形（2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过中位线定理得出GFEH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形； （2）当添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形． 【详解】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点， ∴GFEC且GF=EC． 又∵H是EC的中点，EH=EC， ∴GFEH且GF=EH． ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）连接GH，EF． ∵G，H分别是BE，EC的中点， ∴GHBC且GH=BC． 又∵EF⊥BC且EF=BC， ∴EF⊥GH， 又∵EF=GH． ∴平行四边形EGFH是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角． 19. 某校九年级二班数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． （1）小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． （2）请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4个题型，且每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业， ∴小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，小诺同学和小真同学抽到同一题型的结果数有4种， ∴小诺同学和小真同学抽到同一题型概率是． 20. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 21. 已知双曲线的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若、是该双曲线上的两个点，且，判断m，n的大小关系． （3）判断关于x的一元二次方程的根的情况． 【答案】（1）；（2）；（3）无实根． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征以及根据一元二次方程根的判别式判断根的情况． （1）把A的坐标代入即可求得； （2）根据反比例函数的性质先判定图象在二、四象限，y随x的增大而增大，根据，可以确定、两个点在第四象限，从而判定m，n的大小关系； （3）根据（1）求得的k的值，一元二次方程为，由，从而判定一元二次方程的根的情况． 【详解】解：（1）∵双曲线经过点， ∴，解得， ∴该反比例函数的解析式为； （2）∵， ∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大， 又∵， ∴、两个点在第四象限， ∴； （3）∵， ∴一元二次方程为， ∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数根． 22. 某山区种植一种优质蜜桃，并将该种蜜桃在网络平台上销售，已知该种蜜桃的种植以及人工等成本为元/千克，该种蜜桃每日销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，现要求该种蜜桃销售单价不低于成本且不高于元/千克．下表是销售的相关数据． 销售单价x（元） 25 30 日销售量y（千克） 170 120 （1）求日销售量与销售单价的函数表达式； （2）若设销售该种蜜桃的日获利为元，当销售单价定为多少时，销售该种蜜桃的日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设日销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得：，解得， 则日销售量与销售单价函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 答：当销售单价定为元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为元． 23. 如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质、二次函数与四边形综合题等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数进行解答即可； （2）过点作轴，交直线于点，求出，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ，∴当时，取最大值27， 此时； 【小问3详解】 解：在抛物线：中，令，则；在直线中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $