福建省福州高级中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题

福州高级中学2025-2026学年高二第一学期数学科期末考模拟试卷 班级： 座号： 姓名： 一、单选题： 1.双曲线 =1的渐近线方程为() 169 B.y=士x D=3 x 4 4 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若4=7,4o=2,则S4=（) A.49 B.63 C.70 D.126 3.若直线1：(a-2)x+ay+4=0与12：(2a-4)x+6y+3a-1=0平行，则实数a的值为() A.0 B.2 C.3 D.2或3 4.已知在等比数列{a}中，4+44=1，a。+a=9,则a4=() 3 B、3 c-1 4 4 D 5.若平面x的一个法向量为=(1,2，-2)，点A(-1,3,0)在平面a内，则点P(2,-1,4)到a的距离为() A.3 n号 e 6.已知圆O:(x-a)+(y+1)=9与圆O2:(x+2a)2+y=4有两个公共点，则实数a的取值范围为() 。9 2W626 B 3’3 c〔 D. 7.已知两个等差数列1,3,5,7,9，，99和2,5,8,11，，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到 大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为() A.750 B.800 C.850 D.832 若容-a01的左，右击点点：是指1-点PQ叫今F卧 8已知，￡是椭圆术+y 则椭圆的离心率e=() 5 A. B.V10 5 D.V10 3 4 1 二、多选题： 9.2,,8为等比数列的前三项，则的可能值为() A.4 B.5 C.-4 D.-5 10.下列结论正确的是（) A.过（名，乃小(：，乃）两点的直线方程为4=出 x-x1 x2-X1 B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1) C.若直线1过(3,1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则1的方程为x+3y-6=0 D.直线x-V3y-1=0的倾斜角为 6 11.已知P为抛物线C:x2=4y上一点，F为C的焦点，直线1的方程为3x+4y+6=0,则下列说法正确的有 () A.若A(3,4),则AP+PF≥5 B点P到直线1的距离的最小值为3 C.点P到直线1与到直线y=-2的距离之和的最小值为2 D.若存在点P,使得过点P可作两条垂直的直线与圆x2+(y-4)2=2相切，则r的取值范围为≥√6 三、填空题： 12.向量a=(-1,x,4)与b=(2x,-8,y)共线，且方向相同，则x+y= 13己知方程x =1表示双曲线，则实数的取值范围是 2+mm+1 14.已知正方体ABCD-ABC,D,的棱长为2，M为侧面ADDA内（含边界）的一个动点，P是线段CC的中 点，若直线PM与平面ADD,A所成的角为T,则点M的轨迹长度为 四、解答题： 15.已知直线1：x-y+1=0与圆C:x2+y2+2x+2y=0交于A,B两点，且∠CAB=45°. (1)求实数a的值；(2)设O为坐标原点，求△OAB的面积. 2 16.己知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足4·a。=42·4,,S,-S3=16 (1)求数列{a}的通项公式： (2)若bn=2"(an-1),求数列{bn}的前n项和Tn. 7奥图，在看四边形ADCD中，AB-&AD-5ADC-90,∠B1D-60P,点EF满是正-号D, 亚=号亚，将△AEF沿E折起至△PEr位置，使得点)不在平面ABCD内. (1)证明：平面PED⊥平面BCDEF; (2)若CD=2W3,PC=5,求平面PEF与平面PBC夹角的余弦值. B 已知椭圆c+广a>b>0)上的点到其有焦点F,0)的最大距 (1)求椭圆C的方程： (2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,过点F的直线1与椭圆交于M,N两点（异于A,B). ①若△AMN的面积为√15，求直线1的方程： ②若直线AN与直线BM交于点P,证明：点P在一条定直线上. 19.己知数列{an}的前n项和为Sn,且4=2,2Sn=(n+1)an,n∈N. (1)求数列{a}的通项公式： 2 (2)令b.= a,a -,数列{bn}的前n项和为Mn,是否存在正整数m,n(2<m<m),使得M,Mm,Mn成等差数 列？若存在，求出，n的值，若不存在，说明理由； 3)记c.=W-1,证明：2+2+2+ 4福州高级中学2025-2026学年高二第一学期数学科期末考模拟试卷参考答案 1.【答案】D【详解】由双曲线的方程可知a=4,b=3,根据渐近线方程公式，得到渐近线方程为y=士 4t. 2【答案】B【详解】因{a,}是等差数列，故4+a:=a,+4。=9,于是S4-14g+a=63. 2 3.【答案B【详解】若直线1：(a-2)x+ay+4=0与2：(2a-4)x+6y+3a-1=0平行，则6(a-2)=a(2a-4), 整理可得(a-2)(a-3)=0,解得a=2或a=3,若a=2,则1：y+2=0与1，：6y+5=0平行，符合题意： 若a=3,则1：x+3y+4=0与1，：x+3y+4=0重合，不合题意：综上所述：a=2 4.【答案】A【详解】因为{am}是等比数列，所以a6+a=(a2+a4)q=q=9，所以q=3, 所号+a号+a=1,部狗a-} 4P13 5.【答案】B【详解】由题意AP=(3,-4,4),所以点P(2,-1,4)到a的距离d= 3 6【答案】c【详解】由题意可得：1<口，0k5,即：1<92+1<25，解得： 2W6,a<26,且a≠0， 3 <a< 3 所以a的取值范围为 7.【答案】B【详解】数列1,3,5,7,9，，99是首项4=1，公差d1=2的等差数列，其通项公式为 an=4+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.数列2,5,8,11，，101是首项b,=2,公差d,=3的等差数列，其通项公 式为bnm=b+(m-1)d2=2+3(m-1)=3m-1.设an=bm，即2n-1=3m-1,化简可得2n=3m. 因为n、m为正整数，所以m必须是2的倍数，设m=2t(t∈N).将m=2t代入bm的通项公式，可得 b=3×2t-1=6t-1,所以新数列的通项公式为c,=6t-1.当t=1时，C=6×1-1=5,所以新数列首项为5. 新数列的公差d=6.令C,≤99，即6f-1≤99,6t<100,t≤50、 二≈16.67，因为t为正整数，所以t最大取16， 3 即新数列有16项根据等差数列求和公式3=G十C）,这里n=16,G=5,G6=6×16-1=95. 2 则36=16x5+92-80. 8.【答案】D【详解】因为P=2PF引，又因为P+PF引=2a, 所Pg-P=号，因为o川-9E则o-c,o-OsFe 在aP5g中.casP0R+cas0k=0,所以+32-cc2+3x- 9 9 一=0，所以 2c×V3c 2cxv3c Eca+c3cE0.所2c文所以95D 9 a3√26 9.【答案】AC【详解】由2，m,8为等比数列的前三项，得m2=16,所以m=-4或m=4. 10,【答案】BD【详解】对于A选项，当=x时，过(x,方小、(x,y)两点的直线方程不能用二=-4表 x-x1 X2-X1 示，A错；对于B选项，设点A(0,2)关于直线y=x+1的对称点为B(a,b),由题意可知，直线AB与直线y=x+1 b-2=-1 垂直，且线段AB的中点在直线y=x+1上，所以， ,解得a=b=1,所以，点(0,2)关于直线y=x+1 b+2 a =+1 2-2 的对称点为(1,1)，B对；对于C选项，若直线1过(3,1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，当直线1过 原点时，设直线I的方程为y=:,可得3弘=1，解得k=} 3·此时，直线1的方程为y=子x,即x3y=0,当直 线1不过原点时，设直线1的方程为+兰=1(m≠0)，即x+3y-3m=0,所以，3+3-3m=0,解得m=2 37m71m 此时，直线1的方程为x+3y-6=0,综上所述，直线1的方程为x-3y=0或x+3y-6=0,C错；对于D选项， 直线x-V5y-1=0的斜率为5，其倾斜角为，D对， 3 6 11.【答案】ABD【详解】对于A,抛物线C:x2=4y,焦点F(0,1),准线m:y=-1, A(3,4),过点P作准线：y=-1的垂线，垂足为9，再过点A作准线：y=-1的垂线，垂足为B, 由抛物线定义可知：AP+PF=4P+PQ≥AB=4-(-1)=5,故A正确： F 对于B,设点P(,y),则x=4y。,由点P到直线1：3x+4y+6=0的距离公式可得： 3 15 d=3x+4+6_3x++6 2 3,故B正确： √9+16 5 对于C,过点P作准线：y=-1的垂线，垂足为Q,过点P作直线n:y=-2的垂线， 垂足为N,过点P作直线1：3x+4y+6=0的垂线，垂足为H,过点F作直线1：3x+4y+6=0的垂线，垂足为G, 由点P到直线1：3x十4+6=0的距离公式可得：G=3x0+41+④=10-2，则点P到直线1与到直线 V9+165 2 y=-2的距离之和为：PH+PN=PH+PQ+1=PH+PF+1≥FG+1=2+1=3,故C错误： 对于D,根据过点P可作两条垂直的直线与圆x+0y-4)'=r2相切，可知MP=√PT+r2, 由于两条切线重直，可如∠PT-开即P-r,所以有r-V, 从而把问题转化为抛物线上存在点P到圆心M的距离为√2r, 先求抛物线上点P(x,)到圆心M(0,4)的距离： MP=√x+(y-4=V4%+片-8%，+16=V以。-22+12≥2V3,当%=2时，M川取到最小值23， 即√2r≥2√3，解得r≥√6，故D正确. 12.【答案】14【详解】因为向量a=（-1,x,4)与b=(2x,-8,y）共线，且方向相同，所以ā=(2>0)，则 (Lx4利=02x8.得到三等-手0.用-2，y=l16,以x+y14 13.【答案】(0，-2)U(-1,+∞)【详解】因为方程、心 y2 =1表示双曲线，所以(2+m)(m+1)>0,解 2+m+1 得m<-2或m>-1,即实数m的取值范围是(-0，-2)儿U(-1,+o) 【餐案)π【详解】以D为原点，DA所在直线为。轴，DC所在直线为y轴，DD所在 为：轴，建立坐标系，易知平面AADD的一个法向量为i=(0,1,0),P(0,2,1)设M(t,0,n),t,n∈[0,2]， n.PM 当直线PM与平面AADD所成的角为乙时， sin 2 √2 4 ，所以 PM Vr+4+(n-1)2 2 tP+(-1)2=4,则点M的轨迹是以E(0,0,1)为球心，2为半径的球，M为侧面ADDA内的一个动 D 点，则点M的轨迹在侧面ADDA内是以E(0,0,1)为圆心，2为半径的劣弧， M 1 设轨迹分别交AD,AD于点M2,M1,可得ME=2,DE=1,cos∠M1ED=。 2 0 则A4E0-AM,D-否，则∠MaM:-号，劣城M4,的长为子2-7 3 15.【小问1详解】圆的方程可化为(x+a)+(y+1)=2+1∴圆心C(-a,-1),半径r=√a2+1 :∠C1B=459∠C4B=∠CBA“∠ACB=90圆心C到直线1的距离d=5, ,即 3 a+刊5后.解得a-子 2 【小问2详解】由(1)4Bl=V2r=V反，O到1的距离d= 1 √2 2 8h44759 ∴.△AOB的面积为 5 28 16.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d≠0，因为4·a。=a2a7,则 (a+4d)(a+5d)=(a+d)(a+16d),整理得d2=2a,d,且d≠0，即d=2a.又因为S,-S=16,则 a4+a=2a+7d=16a1=16,解得4=1，d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1. 【小问2详解】由(1)可知：b,=2"(2n-2)=(n-1)2m1,则Tn=0×22+1x23++(n-2)×2”+(n-1)k2H, 2Tm=0×22+1×24++(n-2)×2+2-1K22.两式相减得-T。=23+24++2H-(-1)22 81-2）--1-2:=(2-w小2-8所以7，=(m-2)-2+8. 1-2 17【小间1详】在△4F中，AB-号AD=24-4∠AK=60 所以EF2=4+16-2×2×4×c0S60°=12，解得EF=2W3,所以EF2+AE2=AF2,AE1EF, 所以DE⊥EF,PE⊥EF,因为PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又因为EFG平 面BCDEF,所以平面PDE⊥平面BCDEF. 【小问2详解】因为DE=3,CD=2W3,∠CDE=90°，所以EC=√21， D 又PE=2,PC=5,所以PE2+EC2=PC2,即PE⊥CE, 又因为PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CEC平面BCDEF,所以PE⊥平面BCDEF, 因为EDC平面BCDEF,，所以PE⊥ED,以E为坐标原点，以EF,D,EP所在直线分别为x,y,2轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2),B(4V3,2,0),C(2V3,3,0),所以 .PB=0 PB=(4V5,2,-2),BC=（-2V51,0）,设平面PBC的法向量为i=(x,y,2）,所以 即 i·BC=0 -E-0取2,4N8,所以n-L2845,县然D-@30为+P吸 -2W3x+y=0 4 的个法的量，片以o位.D6点-2图。平面P阳F与平百PBC的除值为2385/ 61 18【小间1详解】c=La+c=3,所以a=2.又b=d-c=4-1=3,所以椭圆C的方程为女+上 =1: 43 x2,y2 【小问2详解】①设过点F(1L,0)的直线方程为x=四+1，点M(5,5),N(x,）,联立4+方=1，得 x=y+1 -611 -9 (3r+42+6w-9=0,则y+⅓=3r+44=3m+4:则 12(m+山.又因为点4〔-2,0)到直线1的距离d= N=+my+为-44=3m+4 3 V1+m2 令S-0=18T-,解得m- ,所以直线1的方程为3x士V6y-3=0. 3m2+4 3 色南02020.则线My产-2.点线w中2+2， 2 由 整理得+25+2)上-+3y +2 x-2(x-2)y2yy2-2 9 , W新产古+以砂 -61m -9 3 2 -=3 x-2 my y2-y2 3.1 即X+2=3,解得x=4,所以点P在直线x=4上. x-2 19.【小问1详解】因为2Sn=(n+1)a,neN,所以当n≥2时，2Sn1=a-1,两式相减得 2a,=(+1)a,-a,1,即a=” ,n深8aa*马 ×2=21. an-1-2 1 经检验4=2也符合上式，所以an=2n. 【小问2详解】因为b,= 1=11-1 ,所以620x2n-2mn可2ani/ 2 所以 a,dn+ 假设存在正整数，(2<<m),使得 M,4M.成等差数列，则4+M,=2M。,即2=+1 m+13n+1'即m=5-18 +4,显然n+4是18的正约 5 数，又因为n>m>2,所以n+4>6,所以n+4=9或18，当n+4=9,即n=5时，m=3,当n+4=18, 即n=14时，m=4.所以，存在正整数，(2<<m,使得M2,Mm,Mn成等差数列，此时m=3,n=5或 m=4,n=14. 【小向3详解】由题家知，6-2”-1，当m-1时，名-2<3.不等式成立.当2之2，因为 2 2” 2 2-】 11 c(2”-1(2-12-2(2-121-121-12-1' u装+ =1 C 0所u,0,2器若a 6福州高级中学2025-2026学年高二第一学期数学科期末考模拟试卷 解答题评分标准 15.(1)圆的方程可化为(x+a)+(y+1)2=a2+1 圆心C(-a,-1),半径r=√a2+1,… …2分 ,∠CAB=45°，∠CAB=∠CBA∴.∠ACB=90° 二圆心C到直线1的距离d2, ,…4分 即上a+1+V -v@+I. √2 3 解得a= …7分 2)由（1)AB引=√2r=52,…9分 4 O到1的距离d= 1√5 …11分 2 28 5 ∴.△AOB的面积为二， …13分 16.(1)设等差数列{a}的公差为d≠0， 因为4a6=42·47, 则(a+4d)(a+5d)=(a+d)(a+16d), …2分 整理得d2=2u,d,且d≠0，即d=24. …4分 又因为S-S3=16, 则a4+4=2a1+7d=16g=16, 解得☑=1，d=2,… …6分 所以an=1+2(n-1)=2n-1. …7分 (2)由(1)可知：b.=2"(2n-2)=(-1)21, …8分 则T.=0×22+1×23++(n-2)x2"+(-1k2, 2Tn=0×23+1×24++(n-2)x28H+(2-1k2"2 ,…10分 两式相减得-Tn=2+24++2-(n-1)22, 81-2）-m-1y2=2-m2-8 1-2 所以Tn=(n-2）2+2+8.. 15分 17.【小问1详解】在△AEF中，AE=2AD=2,4F=4,∠EAF=60 所以EF2=4+16-2×2×4×c0s60°=12，解得EF=2√5， 所以EF2+AE2=AF2,AE⊥EF,… 2分 所以DE⊥EF,PE⊥EF, 因为PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE, 所以EF⊥平面PDE,… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …4分 又因为EFC平面BCDEF, 所以平面PDE⊥平面BCDEF.… …5分 【小问2详解】因为DE=3,CD=2√3，∠CDE=90°，所以EC=√21， 又PE=2,PC=5,所以PE2+EC2=PC2,即PE⊥CE, 又因为PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CEc平面BCDEF, 所以PE⊥平面BCDEF,因为EDC平面BCDEF,所以PE⊥ED,.7分 以E为坐标原点，以EF,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2),B4V5,2,0,C(2w53,0）, …8分 所以PB=(45,2,-2,BC=（-251,0) i.PB=0「4v3x+2y-2z=0 设平面PBC的法向量为i=(x,y,2),所以 即 BC=0 -2W3x+y=0 取x=1,则y=2W3,z=45,所以元=1,2V3,4V5,…10分 2 显然ED=(0,3,0)为平面PEF的一个法向量， 12分 所以cosa西) 652V32w183 14分 3×√61√6161 平面PEF与平面PBC的余弦值为2183 …15分 61 18.【小问1详解】c=1,a+c=3,所以a=2. 又b2=a2-c2=4-1=3, 所以椭圆C的方程为女+少严 …4分 43 【小问2详解】①设过点F(1,0)的直线方程为x=y+1, 点5，），N飞，)，联立4+3=1，符3m+4F+6w-9=0, x=y+1 -6m -9 则y+为=3m+4%3mr+4 6分 -12(m2+1 则MN=1+mVy+y)'-4y= 3m2+4 3 又因为点A(-2,0)到直线1的距离d= v1+m2 18W1+m2 =5,…8分 3m2+4 解得m=士V6 所以直线1的方程为3x士√6y-3=0, …10分 ②由①知A(-2,0),B(2,0), 则直线B1:y=4(x-2), 】 -2 直线AW:y=,(x+2), x,+2 3 ”2 由 整理得 x+2_(x,+2)4_%+3y ，…13分 y=片x+2) x-2（x-2)2yy2-y2 x2+2 -6m -9 3 0知y+为=3m3十=3m千4得水=0y+小，…14分 9.3 所以号出+3=名+ x-2m,-为，=3， 2+) 21 即+2=3，解得x=4, x-2 所以点P在直线x=4上. …17分 19.【小问1详解】因为2Sn=(n+1)a,n∈N, 所以当n≥2时，2Sm1=n0-1 两式相减得2a.=(n+1)a.-na.-1, 即8=n …2分 a-1n-1 累乘得风=及×8××及×a,-××子21.…4分 x ...x 0n-1an-2 a n-1n-2 1 经检验☑=2也符合上式，所以☑n=2n,…5分 2 【小问2详解】因为五，= aant 所以b.= 320)tm 1 以北合+日 …8分 假设存在正整数l,n(2<m<),使得M,Mm,Mn成等差数列， 则M,+Mn=2Mm, 即2=1+1 m+13n+1 ,即m=5-l8 n+4 4 显然n+4是18的正约数，又因为n>m>2,所以n+4>6, 所以n+4=9或18， 当n+4=9,即n=5时，m=3,当n+4=18,即n=14时，m=4. 所以，存在正整数，n(2<m<m,使得M,Mm,Mn成等差数列， 此时l=3,n=5或=4，n=14,…11分 【小问3详解】由题意知，cn=2”-1, 当n=1时， =2<3,不等式成立 当n≥2， 2”2” 2 2-1 11 因为e(2-1旷2-12-习2-12-可2-12-1 …14分 因为2-1>0，所以2- 1 ，>0,32-1 1 <3, 所以n≥2时，】 <3,综上，3.17纱