精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

哈尔滨市第三十二中学校 2025-2026学年度（上）学期 高三数学期末试卷 考生须知： 1．考生要认真填写班级和姓名. 2．本试卷共2页，分为两卷，第I卷选择题11小题（共58分）；第II卷非选择题（共92分）.满分150分.考试时间120分钟. 3．试题所有答案必须书写在答题卡上. 4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（单选题，每个小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集概念求出答案. 【详解】. 故选：D 2. 已知复数（虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：D． 3. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式即可求解. 【详解】由可得，，解得. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，代入已知计算求解. 【详解】根据两角和的正切公式， 代入已知可得， . 故选：A. 5. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即可. 【详解】由题意，圆锥的母线， 故其侧面积为 故选：B. 6. 方程的实数根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程与函数的关系，作指数函数与对数函数的图像，可得答案. 【详解】由题意方程的实数根为函数与函数图像交点的横坐标， 对于函数与函数作图如下： 由图可知函数存在唯一交点，则方程存在唯一实根. 故选：B. 7. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求不等式，的解，再求时，的取值，观察各选项确定不满足条件的选项，及满足条件的选项，确定结论. 【详解】令，得或，排除D， 令，得，有两个零点，排除C， 当时，，排除B， 观察可得选项BCD不同时符合以上条件，而选项A符合以上所有条件. 故选：A． 二、选择题（多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分） 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 10. 如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据作差法即可判断BCD，举反例即可判断A. 【详解】对于A，当，故不是递增数列，故A不符合， 对于B，，故是递增数列，故B符合， 对于C,，故为递增数列，,C符合， 对于D,，故为递增数列，D符合, 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若正数满足，则 C. 函数的最小正周期是 D. 半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；利用三角函数的周期公式可判断C；利用扇形的弧长公式可判断D. 【详解】命题“”的否定是“”，故A错误； ，当且仅当时，等号成立，故B正确； 函数的最小正周期，故C正确； 半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知x、y实数，向量，不平行，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量基本定理可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故答案为：. 13. 在中，若，则的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导得，则， 依题意，，解得. 故答案为：1. 四、解答题（共77分） 15. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. 【小问2详解】 如图： ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 17. 如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． （1）求这种“笼具”的表面积； （2）求这种“笼具”的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接,先求出，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种“笼具”的表面积； （2）根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”表面积为. 【小问2详解】 连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体体积． 所以这种“笼具”的体积为. 18. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）的递增区间为、，递减区间为 【解析】 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 19. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.N是的中点，M是的中点. （1）求证平面；（此问传统立体几何方法和空间向量两种方法都可使用） （2）求平面与平面所成二面角余弦值；（此问使用空间向量的方法） （3）求点B到平面的距离.（使用空间向量的方法） 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质可得四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （3）利用空间向量法求解点面距即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，得， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 建立如图空间直角坐标系， 则， 有， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则， 令，得， 所以， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由，平面的一个法向量为， 得， 即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第三十二中学校 2025-2026学年度（上）学期 高三数学期末试卷 考生须知： 1．考生要认真填写班级和姓名. 2．本试卷共2页，分为两卷，第I卷选择题11小题（共58分）；第II卷非选择题（共92分）.满分150分.考试时间120分钟. 3．试题所有答案必须书写在答题卡上. 4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（单选题，每个小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A B. C. D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 方程的实数根的个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 7. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分） 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为 10. 如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若正数满足，则 C. 函数最小正周期是 D. 半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知x、y是实数，向量，不平行，若，则______． 13. 在中，若，则大小为__________. 14. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 四、解答题（共77分） 15. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 17. 如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别正四棱锥和长方体． （1）求这种“笼具”的表面积； （2）求这种“笼具”的体积． 18. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 19. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.N是的中点，M是的中点. （1）求证平面；（此问传统立体几何方法和空间向量两种方法都可使用） （2）求平面与平面所成二面角的余弦值；（此问使用空间向量的方法） （3）求点B到平面的距离.（使用空间向量的方法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $