第八章 证明（复习课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

单元复习课件 第八章 证明 新教材鲁教版五四制·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 单击此处添加标题 体会观察、实验、归纳等方法的局限性,进一步感受证明的必要性;通过具体实例理解定义、命题、定理的含义,会准确的区分命题的条件和结论,知道如何利用反例可以判断一个命题是错误的;初步感悟公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。 01 回顾对顶角定理、平行线的判定定理和性质定理的证明过程,进一步掌握综合法证明的步骤、格式和方法,积累分析证明思路的经验,发展几何推理能力;初步养成重论据的思维习惯,在解决问题的过程中能进行有条理的思考和表达;能够克服困难,树立学好数学的信心。 02 单元知识图谱 一、定义与命题 1.定义：一般地，对名称或术语的含义加以描述，作出明确规定的句子，就叫做该名称或术语的定义。 2.命题：一般地，对某一件事情作出 的语句叫做命题。命题包含 。 常用句式：······叫做··· 判断 条件和结论 常用句式：如果······，那么······ 真命题： 的命题叫做真命题， 假命题： 的命题叫做假命题 公 理： 的叫做公理 定 理： 的命题叫做定理． 正确 不正确 公认的真命题 经过证明的真命题 考点串讲 一、定义与命题 3.九条基本事实： ①两点确定一条直线； ②两点之间线段最短； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； ⑧三边分别相等的两个三角形全等； ⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（未学） 考点串讲 一、定义与命题 4.证明：演绎推理的过程。 5.定理：同角（或等角）的补角相等 定理：同角（或等角）的余角相等 定理：三角形的两边之和大于第三边 定理：对顶角相等 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据 考点串讲 二、平行线的证明 1.平行线的判定 平行线的 判定方法 图示 文字叙述 符号语言 判定公理   同位角 ,两直线 。 ∵∠1=∠2(已知), ∴a∥b 判定定理1   内错角相等,两直线 . ∵∠2=∠3, ∴a∥b. 判定定理2   同旁内角互补, 。 ∵∠4+∠2=180°, ∴a∥b. 平行于同一条的两直线平行 两直线平行 相等 平行 平行 考点串讲 二、平行线的证明 2.平行线的性质 平行线的性质 图示 文字叙述 符号语言 判定性质1   两直线 ， 同位角   ∵a∥b ∴∠1=∠2 判定性质2   两直线 ， 内错角 。 ∵a∥b ∴∠2=∠3 判定性质3   两直线 ，  同旁内角互补。 ∵a∥b ∴∠4+∠2=180° 相等 平行 相等 平行 平行 考点串讲 题型一、定义与命题 C 1.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 这个语句是（      ） A.定理       B.公理     C.定义     D.只是命题 2.下列语句中，是命题的是    (     ) A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C画AB的垂线 C.同旁内角不互补，两直线不平行 D.连结A、B两点 3.已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（     ）  A.0  B.1个  C.2个  D.3个 C C 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 A 1.给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（  ） A.同位角相等，两直线平行         B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行       D.两直线平行，同位角相等 2.用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（　　） A.同位角相等，两直线平行         B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行       D.平行于同一条直线的两直线平行 B 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 B 【习题3】如图，下列推理及所注明的理由都正确的是（　　） A.因为DE∥BC，所以∠1=∠C（同位角相等，两直线平行） B.因为∠2=∠3，所以DE∥BC（两直线平行，内错角相等） C.因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） D.因为∠1=∠C，所以DE∥BC（两直线平行，同位角相等） 3.如图所示，不能判定AD∥BC的条件是（     ）． A.∠2=∠3     B.∠1=∠4     C.∠DAB+∠ABC=180° D.∠ADC+∠BCD=180° 4.  将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的个数有(     ) . A．1个   B．2个  C．3个   D．4个 3题 4题 C 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 5.请你在横线上填写适当的内容:如图,已知AB∥CD,∠A=∠C,则可推得AD∥BC。理由如下: ∵AB∥CD(已知), ∴∠A+∠D=180°(　　　　　　　 　　)。  ∵∠A=∠C(已知), ∴∠C+∠D=180°(　　　 　)。  ∴AD∥BC(　　　 　 　　　　　)。  同旁内角互补,两直线平行 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 6.已知：如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。 求证：∠1+∠2=180°。 证明：∵a∥b（已知） ∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠3=∠2（对顶角相等） ∴∠1+∠2=180°（等量代换） 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 7.已知：如图，∠1+∠2=180° .求证：∠3=∠4. 证明：∵∠2=∠5（对顶角相等） ∠1+∠2=180°（已知） ∴∠1+∠5=180°（等量代换） ∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等） 题型剖析 总结感悟 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 8(1)问题发现:如图1,直线AB∥CD,点E是AB与CD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的证明过程补充完整: 证明:如图,过点E作EF∥AB. ∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法), ∴EF∥DC(　　　　　　　　 　　　),  ∴∠C=∠CEF( 　　　　　　　　　　).  ∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同上), ∴∠B+∠C= 　　　　　　(等量代换),  即∠B+∠C=∠BEC. 平行于同一直线的两直线平行 两直线平行,内错角相等 ∠BEF+∠CEF 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 (2)拓展探究:如果点E运动到图2所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°-∠BEC. 证明:如图2,过点E作EF∥AB, ∵AB∥DC, ∴EF∥DC, ∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°, ∴∠B+∠C+∠BEC=360°, ∴∠B+∠C=360°-∠BEC 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 (3)解决问题:如图3,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,求∠A的度数. (3)如图3,过点E作EF∥AB, ∵AB∥DC, ∴EF∥DC, ∴∠C+∠CEF=180°,∠A=∠AEF, ∵∠C=120°, ∴∠CEF=180°-120°=60°, ∵∠AEC=80°, ∴∠AEF=80°-60°=20°, ∴∠A=∠AEF=20° 题型剖析 方法技巧 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 处理与平行线有关的问题时,如果图形中没有现成的三线八角,怎么办? 破解之策是添加适当的辅助线,构造所需的三线八角,辅助线绝不是挖空心思的凭空想象,而是在分析到位状态下的“水到渠成”.  题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 ∠P+∠A+∠C=360° ∠P=∠A+∠C 9.如图，AB//CD，分别探究下面四个图中∠P 与∠A，∠C之间的关系. 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 解：∠APC+∠A=∠C.理由如下： 过点 P 作 PE//AB，则∠EPA+∠A=180°. ∵ ∠EPA=∠APC+∠1， ∴ ∠APC+∠1+∠A=180°， ∴ ∠APC+∠A=180°-∠1. ∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠1+∠C=180°，∴ ∠C= 180°-∠1. ∴ ∠APC+∠A=∠C. E 1 题型剖析 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 解：∠A=∠APC+∠C.理由如下： 过点 P 作 PE//AB，则∠1+∠A=180°. ∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°， ∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°. ∴ ∠A=∠APC+ ∠C. E 1 (4) 题型剖析 总结感悟 题型二、平行线的性质与判定的综合应用 题型剖析 题型三、其他定理的应用 70 1．如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB， 若剪刀张开的角为40°， 则∠A＝　     　°．   2.如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点，∠AOE=65°,求∠DOF的度数. B A C D F E O 解： ∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°. ∵∠AOE=65°, ∴∠COE=25°. 又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等）， ∴∠DOF=25°. 题型剖析 题型三、其他定理的应用 3.如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数． 解：∵AB⊥OE （已知）， ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义). ∵∠DOE= 50° （已知）， ∴ ∠DOB=40°(互余的定义). ∴∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）. 又∵OB平分∠DOF， ∴∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）. ∴∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°. ∴∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°. 题型剖析 1.下列四个选项中,不是命题的是(　 　) A.对顶角相等 B.作一个角等于已知角 C.三角形任意两边之差小于第三边 D.如果a=b,a=c,那么b=c 2.下列命题是真命题的是(　 　) A.两直线被第三条直线所截,内错角相等 B.若ab>0,则a>0,b>0 C.同旁内角互补 D.若a∥b,c⊥a,则c⊥b 3.可以用来说明“a2<b2,则a<b”是假命题的反例是(　 　) A.a=4,b=3　　　　B.a=-1,b=2 C.a=2,b=-3　　　　D.a=-2,b=1 B D C 针对训练   4.(2025洛阳期中)要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,可举出一个反例:　　 　　　　　　。  5.“互为相反数的两个数相加得0”改写成“如果……,那么……”的形式为　 。 6.如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=　　　。 70°   锐角是15°,钝角是100°(答案不唯一) 如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得0 针对训练 7.如图,这是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=35°,∠3=155°,则∠2的度数为(　 　) A.50°　　　　B.60°　　　　C.65°　　　　D.55° 8.如图,已知∠1=∠2,AD∥EF,∠D=120°,CA平分∠DCB交EF于点G,有下列结论:①∠DCB=60°;②∠1=∠ACD;③∠AGF=∠D;④与∠1相等的角有2个.其中正确的有(　 　) A.4个　　　　B.3个 C.2个　　　　D.1个   B C 针对训练   9.完成下面的证明: 如图,已知AB∥EF,EP⊥EQ,∠1+∠APE=90°,求证:AB∥CD. 证明:∵AB∥EF, ∴∠APE=　 　(　　　　　　 　　　　),  ∵EP⊥EQ, ∴∠PEQ=　 　, 即∠2+∠3=90°, ∴∠APE+∠3=90°, ∵∠1+∠APE=90°, ∴∠1=　　(　　　　　　　　　　),  ∴　　∥CD(　　　　 　　　　　　),  又∵AB∥EF, ∴AB∥CD(　 　　　　　　　　　).    ∠2 两直线平行,内错角相等 90° ∠3 等量代换 EF 　内错角相等,两直线平行 平行于同一直线的两条直线互相平行 针对训练     10.如图，MN，EF 表示两面互相平行的镜面，光线 AB 照射到镜面 MN 上，反射光线为 BC，此时∠1=∠2；光线 BC 经过镜面 EF 反射后的光线为 CD，此时∠3=∠4.试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由. 解：AB//CD.理由如下： ∵ MN//EF(已知)， ∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等). ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4(已知)， ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4. ∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°， ∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性质)， ∴ ∠ABC=∠BCD(等量代换). ∴ AB//CD(内错角相等，两直线平行). 针对训练 ✅ 知识构建：证明 体会观察、实验、归纳等方法的局限性，进一步感受证明的必要性；掌握综合法证明的步骤、格式和方法，积累分析证明思路的经验，发展几何推理能力。 ✅ 思想方法： 转化与化归思想：以基本事实作为证明的出发点和依据，将复杂的几何问题转化为基于公理和定理的推理过程。 数形结合思想：证明过程中需要在图形上找到对应关系，遵循“图形 - 文字 - 符号”三种语言的转换规则，将几何图形与数量关系相结合。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $