江西省南康中学2025-2026学年高一上学期数学周测训练卷（二）

江西省南康中学2025～2026学年度第一学期高一数学周末训练（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 2．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对的的部分分，有错选的得0分. 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 10．已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 11．已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若集合，且，则 ． 13．若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 14．已知集合，则 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第15、16题15分，第18、19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 16．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 17．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 18．已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值； 若不存在，请说明理由. 19．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 高一数学周末训练（二）参考答案 1．B【详解】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，集合与的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确；对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误；对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误．故选：B． 2．A【详解】集合，若，则.故选：A 3．C【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 4．B 【详解】由得：， ①若 时， ，此时，，满足 ，符合题意；②若 时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去；③若 时，则有 ，解得 或 ，当 时，， ，满足 ，符合题意； 当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去.综上，实数 的取值集合为 .故选：B 5．A【详解】由题意有：,故选：A. 6．C 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.   已知，，所以需满足. 解不等式，可得.综合可得，又因为前提是，所以取交集得.综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为，故选： C. 7．C【详解】由题意，由解得，所以集合，因为函数的值域为，所以，图中阴影部分所表示的集合是.故选：C． 8．A【详解】时，假设“或”不成立，即有且，当且时，，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立；当时，满足或（这里成立）， 但，不满足，所以由“或”不能推出“”，必要性不成立.则“”是“或”的充分不必要条件.故选：A 9．BC【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误；对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确；对于C，由于，且在，，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确；对于D，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误，故选：BC． 10．ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或，解得或，当时，，不符合集合元素互异性，故舍去，当时，，符合集合元素互异性，故答案为： 13．①②③④⑥⑦. 【详解】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确；又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，所以②，⑥正确，又，所以⑤错误，显然⑦正确，故答案为：①②③④⑥⑦. 14．【详解】由已知集合，所以，所以.故答案为：. 15．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意；②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且．综上所述，实数的取值范围为． 16．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据集合交集的结果，建立不等式组，解得答案； （2）先求出集合的补集，根据包含关系，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 18．（1）， (2)存在，或3或5. 【详解】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 19．(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 学科网（北京）股份有限公司 $