第三章 一次方程与方程组 期末复习专项训练 2025-2026学年沪科版七年级数学上册

2025-2026学年沪科版七年级上学期数学期末 第三章《一次方程与方程组》复习专项训练 一、选择题 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知等式，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，某小区进行项目改造：在一块长18、宽13的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺植草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；则通道的宽是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图是2024年12月的月历表，将工形任意的放入表格数字区，恰能盖住七个数字，则“工”形覆盖的七个数字之和可能是（   ） A．56 B．64 C．105 D．140 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如方程和方程互为“和谐方程”．若无论取何值时，关于的方程（，为常数）与方程都是互为“和谐方程”，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 二、填空题 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 12．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 13．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于x的方程的解是 ． 14．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 16．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为 ． 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”．下图展示了“洛书”中对应的部分数值，则 ． 19．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则 ； 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“2的后移方程”． （1）判断：方程 方程的“1的后移方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“3的后移方程”，则的值为 ． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，所以为一元一次方程的“久久方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号 ； （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“久久方程”，则a的值为 ． 22．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 三、解答题 23．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程（组） (1)解方程：； (2)． 24．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 25．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 26．（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 27．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 28．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学，通过自主学习课本知道了：一般地，任何一个无限纯循环小数都可以写成分数（，是整数，）的形式，如以无限循环小数，，为例： 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题： 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢？无限混循环小数可以化成分数吗？如，，，，分别可以化成什么分数呢？请你参与该学校学习小组同学们的思考，试着解决以上问题． 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是，如果点M、N在数轴上，且满足点M到点A或B的距离与点N到点B或A中另一个点的距离之和等于，我们就称是的和谐点对．例如，如图，点M、N表示的数分别为和4时，，我们称是的和谐点对． 请根据上述材料解决下面问题： (1)点E、F、G表示的数分别为，写出的和谐点对，并说明理由； (2)若点P从点A以每秒4个单位长度向左运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向右运动，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒，当为的和谐点对时，直接写出t的值 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B B C B D B 1．C 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴或，故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故C符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式的性质：①等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、在等式的两边同时加上1得，原变形错误，故此选项不符合题意； B、在等式的两边同时减去1得，在等式的两边同时乘3得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、在等式的两边同时乘6得，原变形正确，故此选项符合题意； D、在等式的两边同时乘6得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出． 先将与分别化为与，再根据关于的方程与的解相同列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， 解得， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 5．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设通道的宽为，，根据长包含3个的长和2个通道宽，宽包含2个长和1个通道宽建立方程组求解． 【详解】解：设通道的宽为，， 由题意得：， 解得：， 答：通道的宽是． 故选B． 6．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设“工”形覆盖的七个数字中最中间的数字为x，则另外六个数分别为，，将七个数相加，可得出七个数字之和为，代入各选项中的值，解之可得出x的值，取x为整数的选项即可． 【详解】解：设“工”形覆盖的七个数字中最中间的数字为x，则另外六个数分别为，， ∴“工”形覆盖的七个数字之和为， A．根据题意得：， 解得：， ∵x不能在第一列， ∴不符合题意，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， ∵x需为整数， ∴不符合题意，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， ∵x不能在第一列， ∴不符合题意，选项C不符合题意； D．根据题意得：， 解得：，选项D符合题意． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求出的解，根据“和谐方程”的定义，两个解互为相反数，可得，将代入可得，再根据无论取何值，等式都成立，可列，，分别求出，的值，进而得到的值． 【详解】解：∵， ∴方程的解为：； ∵两个方程互为“和谐方程”， ∴关于的方程的解为：， 将代入得：， 化简得：， ∵无论取何值，等式都成立， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，确定参数a的值是解题关键．根据题意，先由一元一次方程的解求参数a，即将代入方程中并解得a值；再解含参数a的一元一次方程，即把a值代入方程中，然后按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1等步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程中，得 ， 整理可得 解得 ， 把代入方程中，可得 ， 去分母，得 去括号、移项、合并同类项，得 系数化为1，可得 ． 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为： ． 15．或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 16． 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 17．4 【分析】本题考查了新定义，以及解一元一次方程，理解题目中运算规则是解题的关键． 理解运算法则，进行分类讨论，逐个解出x的值，即可作答． 【详解】解：当，则， ； 当，则， ， 但，这与矛盾， 所以此种情况舍去． 即：若，则有理数的值为4， 故答案为：4． 18．2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据第一行及对角线上的三个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：2． 19．1 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程等知识，首先求出，然后根据题意得到，求出，然后代入解方程即可． 【详解】解得， 根据题意得， ∴ 将代入得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：1． 20． 是 【分析】本题考查解一元一次方程，正确理解“k的后移方程”是解题关键． （1）求出两个方程的解，利用‘后移方程’的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可． 【详解】解：（1）解方程， 得， 解方程， 得， ， 方程是方程的“1的后移方程”； （2）解方程得， 解方程得， 方程是方程的“3的后移方程”， ， ， ． 21． ② 或/47或48 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再验证即可； （2）先解方程，求得或，再求出关于的方程的解，根据题意可分别求得的值． 【详解】解：解得：； 解得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“久久方程”； 故答案为：②； 解：∵， ∴或， 解得：或； 对于，去分母得：， 去括号、移项、合并同类项得：； 由题意，当时，，解得：； 当时，，解得：；     所以或； 故答案为：或． 22．0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握相关解方程（组）的方法． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，计算即可； （2）利用加减消元法，计算即可． 【详解】（1）解：， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 整理可得：， 移项，合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：； （2）解：， 原方程组整理可得， 由可得：， 把代入①，可得：， ∴方程组的解为． 24．售价相对进价应提高的增长率为 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克，这批苹果共b千克，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：售价相对进价应提高的增长率为． 25．两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 26．(1)A 、 B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元 (2)方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车；方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车；方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； (3)购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据 2 辆型汽车、 3 辆型汽车的进价共计 80 万元； 3 辆型汽车、 2 辆型汽车的进价共计 95 万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用 180 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可； （3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：A ， B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元； （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得且为正整数， 解得或或， ∴该公司共有三种购买方案， 方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车； 方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车； 方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； （3）解：当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 由上可得，最大利润为77000 元， ∴购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元． 27．(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 28．(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 29．课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． ；；；；． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，仿照题干中的方法，通过方程形式，即可把无限小数化成整数形式． 【详解】解：课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 方法2：，则． 设，由……可知，……， 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 设，由……可知，…… 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以． 于是，． ，则， 设，由……，所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是． 30．(1)是的和谐点对 (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据和谐点对的意义计算即可； （2）分两种情况考虑：点在P在B点的右侧时；点在P在B点的左侧；根据新定义列出方程即可求解； 【详解】（1）解：是的和谐点对； 因为，且， 则是的和谐点对； （2）解：， 则点Q到达终点A的时间为（秒），点P到达点B的时间为（秒）； 即； 由题意，t秒后点P对应的数为，点Q对应的数为，； 因为为的和谐点对， ∴或； ①当P在B点的右侧时，此时： 若，则， 解得：； 若，则， 解得：（舍去）； ②当P在B点的左侧时，此时： ，则， 解得：； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $