2025-2026学年华东师大版九年级上册数学期末模拟试卷

2025-2026学年上学期期末考试数学试卷模拟卷（一） 一、单选题（共30分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程x2﹣3x＝0的解为(    ) A．＝3，＝﹣3 B．＝﹣3，＝0 C．＝3，＝0 D．＝＝3 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知梯形ABCD，延长两腰BA，CD交于点O，若OB=3OA，连结AC，则（     ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 第4题图 第5题图 第8题图 5．如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．金山银山不如绿水青山，绿水青山就是金山银山，为了绿化荒山，某地区政府提出了森林覆盖计划．已知2020年该地区森林覆盖率已达到，若要在2022年使该地区荒山的森林覆盖率达到．设从2020年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点、分别是、边上的中点，、相交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．北岳恒山位于大同市浑源县，与东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、中岳嵩山并称为中华五岳．如图是恒山景区内一段索道的示意图，若索道上两点间的距离为，这段索道与铅垂方向的夹角，则当缆车沿索道从点处运行到点处时，缆车上升的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 第9题图 第10题图 10．如图，矩形中，F是上一点，，垂足为E，，则长度是（    ） A． B． C． D．1 二、填空题（共15分） 11．若一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 12．新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1门，在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门．某同学从4门再选科目中随机选择2门，恰好选择化学和生物的概率为 ． 13．已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用“”符号连接） 14．如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为，轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则的最小值为 ． 第14题图 第15题图 15．如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）（1） （2）解方程：． 17．（本题9分）如图，在中，，，，为上一点，而且，求的长． 第17题图 第18题图 18．（本题9分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀． (1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是______； (2)若从三张卡片中一次随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“琼琮”和“莲莲”的概率是多少？ 19．（本题9分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0） （1）求抛物线的解析式和顶点E坐标 （2）该抛物线有一点D，使得S△DBC=S△EBC,求点D的坐标. 第19题图 第20题图 20．（本题9分）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，完成以下问题： (1)以点A为位似中心，画四边形，使它与四边形ABCD位似，位似比为2； (2)为_______三角形，若点C的坐标为，则点的坐标为_______； 21．（本题10分）图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度的斜坡行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为． (1)求平台到水平面的垂直距离； (2)求桥墩的高度（参考数据：，，）． 第21题图 第22题图 22．（本题10分）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即），小孔顶点N距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； 23．（本题10分）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现：①线段与线段之间的数量关系是________，②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026年上学期期末考试数学试卷模拟卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C A D B C D 1．B 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则，分别计算得出答案． 【详解】A． 和无法合并，不正确，故此选项不合题意； B． ，正确，故此选项符合题意； C． ，不正确，故此选项不合题意； D． ，不正确，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 2．C 【分析】利用因式分解法解方程. 【详解】x(x﹣3)＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3. 故选C. 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 3．C 【分析】先逐一计算各选项中一元二次方程根的判别式进行判断、辨别． 【详解】解：A．， 选项A不符合题意； B．， 选项B不符合题意； C．， 选项C符合题意； D．， 选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了运用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况的能力，解题的关键是能准确理解并运用以上知识． 4．A 【分析】证明△OAD∽△OBC，得到，则有． 【详解】解：在梯形ABCD中，AD∥BC， 则△OAD∽△OBC， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似得到OD和OC的比值． 5．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A，  B，  D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 6．A 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键． 根据利用频率估计概率可知红球出现的概率为0.25，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：∵经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：A． 7．D 【分析】根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：设从2020年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为，由题意，得： ； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 8．B 【分析】如图，连接DE，由条件知DE为的中位线，得到 利用 还有已知条件计算即可． 【详解】解：如图，连接DE， 、分别是、边上的中点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定以及性质的运用，属于基础题，还涉及三角形中位线，熟练掌握相似三角形判定以及性质是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作于点D，则缆车上升的垂直高度为的长，利用交的余弦值即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 则缆车上升的垂直高度为的长，， 在中，， ， 故选：C． 10．D 【分析】首先利用矩形的性质可以分别求出，然后利用面积公式可以求出，最后利用平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、勾股定理． 11．/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种， ∴恰好选择化学和生物的概率为， 故答案为；。 13． 【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， 故， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 14． 【分析】作Q关于OP的对称点，连接交OP于E，则，过作于M交OP于N，则此时，的值最小，且的最小值的长度，根据勾股定理得到，由三角形的面积公式得到，再证∽， 根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作Q关于OP的对称点，连接交OP于E， 则， 过作于M交OP于N， 则此时，的值最小，且的最小值的长度， 轴于Q，点P的坐标为， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了轴对称最短路线问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 15．或 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．与都是直角三角形，两个三角形相似时，的对应边是或．分两种情形构建方程，分别求解即可． 【详解】解：由题意，Q在上运动最大时间为，P在上运动最大时间为，，，， 分两种情况： ①当时，， 即， 或（舍去）， ； ②当时，， 即， ， 或， 经检验，是分式方程的解，不符合题意，舍去， 当或时，以Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 16．（1） ；（2）， 【分析】本题考查三角函数、一元二次方程解法、实数的混合运算，熟记特殊三角函数的值和选择正确的解方程方法是解题的关键． （1）先化简绝对值和代入特殊三角函数值以及化负指数为正指数，然后根据实数的运算法则计算即可； （2）运用提公因式法解方程即可得到结果． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解：， 或， ，． 17． 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，在中，由，得出，由勾股定理得出，在中，求出，最后由计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，， 即， ，， 在中，， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了树状图求概率，也考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式即可求解； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好选中“琼琮”和“莲莲”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从3个吉祥物图案的卡片中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是， 故答案为：． （2）解：把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、， 画树状图如图： 共有6种等可能的结果，恰好选中“琼琮”和“莲莲”的结果有2种， ∴恰好选中“琼琮”和“莲莲”的概率为． 19．（1）y=(x-3)2-；（3，）；（2）（3-2，）或（3+2，）； 【分析】（1）结合题意，利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，代入A点坐标求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）△DBC和△EBC的底边BC相等，因此只要高相等它们的面积就相等.找出点E的对称点，求出过点E的对称点与x轴平行的直线与抛物线的交点，交点即为所求点. 【详解】解:(1)由题意，设，代入,得 ，故顶点坐标为 （2）∵S△DBC=S△EBC， ∴两个三角形在公共边BC上的高相等， 又点E到BC的距离为， ∴点D到BC的距离也为， 则， 解得x=3±2， 则点D(3−2，)或(3+2，)． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式、二次函数图像及其性质，熟练掌握有关知识是解答本题的关键. 20．(1)见解析 (2)等腰直角， (3) 【分析】（1）根据位似中心的定义，画出位似图形即可； （2）根据网格中的勾股定理求出的三边关系，得到的形状，再根据C的坐标为和点的平移即可得到点的坐标； （3）利用网格先求出的三角函数值，在进行计算即可． 【详解】（1）解：作图如下：四边形即为所求； （2）解：如图可知： ， ∴， ∴为等腰直角三角形； 将点先向下平移2个单位，再向左平移4个单位得到， ∵点C的坐标为， ∴点的坐标为； 故答案为：等腰直角，； （3）解：由图可知： ； ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查位似图形，勾股定理，锐角三角函数，坐标与图形，以及点的平移．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．(1)20米 (2)88米 【分析】（1）作，垂足为H，根据坡度比，设，则，由勾股定理得：，根据求出x的值，即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出米，根据三角函数求出米，即可得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为H，如图所示： ∵， ∴， 设，则， 则由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴（米），（米）， ∴平台到水平面的垂直距离为20米． （2）解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为88米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 22．(1) (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）先求出顶点坐标，，再设大孔抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）求出当时，的值，与进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：大孔抛物线的顶点坐标，，，即，， 设大孔抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以大孔抛物线的解析式为． （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 由（1）得：大孔抛物线的解析式为， 将代入得：， 因为， 所以该巡逻船能安全通过大孔． 23．(1)①；②； (2)成立，证明见解析； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 答案第14页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $