专题11 三角形中的重要模型之维维尼亚模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“三角形中的维维亚尼模型”专题，覆盖等边三角形内（外）点到三边距离关系、等腰三角形底边动点到两腰距离关系等中考核心考点，通过“定理溯源-模型提炼-真题解析-分层应用”的系统架构，帮助学生梳理等面积法的应用逻辑，突破几何模型综合题难点。 亮点在于“模型化思维”与“分层训练”的结合，如通过等边三角形内点到三边距离和等于高的证明，培养学生几何直观与推理意识，设置“基础模型应用-综合拓展延伸”两级习题，配合中考真题实战演练。教师可依托资料精准定位学生薄弱环节，学生能快速掌握模型条件与结论的转化，有效提升中考几何综合题解题效率。

专题11 三角形中的重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 5 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 8 13 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【详解】解：探究发现：∵，， ∴，∴， ∵，∴；故答案为：，，；． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形，，∴， ∵，∴，，∴， ∵，则，∴， 在中，． ∵将线段绕点逆时针旋转得，∴∴是等边三角形， ∴，则，∴由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设，∵是半圆的直径，∴，∵， 在中，，在中，， ∴，解得：，∴， ∴，∴，∴，∴．∴由探究发现可得：， ∵，∴， ∵，∴． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25九年级上·湖南郴州·培优）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，∵，∴， ∵，，∴点P在的平分线上， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，在中，， 由勾股定理得 ，设、、分别为x、、， ∵，∴， ∴，解得：， ∴，∴， ∴，∴， ∴．故选：C． 例2已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析. 【详解】（1）. 根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即: ∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,∴. （2） 理由如下：∵为等边三角形∴ ∵为边上的高∴ 又∵，，∴∴ （3） 理由如下：如图，连接， ∵为等边三角形，∴ ∵为边上的高，∴ ∵，，，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ 例3（2025·山西临汾·二模）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高． 如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为，，，过点作于点，则． 证明：如图2，设等边的边长为，连接，，， ，，，．⋯． 思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．    任务：(1)请完成该定理证明的剩余部分； (2)请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：___，图4中的数量关系：_____． (3)如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，则点到其他三边的距离之和为_____． 【答案】(1)(2)；(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∴，∴； （2）解：如图3所示，设等边的边长为b，连接， ∴，，，；∵， ∴，∴，∴； 如图4所示，设等边的边长为c，连接， ∴，，，；∵， ∴，∴，∴； （3）解：如图5所示，过点E作于T，过点D作于R，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴，； 在中，，在中，， ∴，∴，同理； 如图5所示，连接，∵，， ∴， ∴，∴； ∵，∴，∴， ∴点到其他三边的距离之和为． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（2025·福建·校考二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过作于， 等腰，，，， ，； ，，，，故选：C． 例2（24-25九年级·山东·期中）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：连接、，如图所示： ∵﹐且，，，， ∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 例3（2025·湖北咸宁·模拟预测）【阅读】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1，h2．连接AM． ∵  ∴ 　　　　　　 【思考】在上述问题中，h1，h2与h的数量关系为： ． 【探究】如图2，当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间有怎样的数量关系式？并说明理由． 【应用】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：，l2：y=－3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述结论求出点M的坐标． 【答案】【思考】h1+h2=h；【探究】h1－h2=h．理由见解析；【应用】所求点M的坐标为（，2）或（－，4）． 【详解】思考即 h1+h2=h． 探究h1－h2=h． 理由．连接, ∵  ∴∴h1－h2=h． 应用在中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，则：A（－4，0），B（0，3）   同理求得C（1，0），， 又因为AC=5，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：1+My=OB，My=3－1=2， 把它代入y=－3x+3中求得：，∴； ②当点M在CB延长线上时，由h1－h2=h得：My－1=OB，My=3+1=4， 把它代入y=－3x+3中求得：，∴， 综上，所求点M的坐标为或． 例4（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】（1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）24；（3） 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，，， ，，，， ，解得； （2）四边形是矩形，，，，， 连接，过点作于，如图所示： 则四边形是矩形，，由折叠的性质得：，， ，，，， 在中，由勾股定理得：，， ，，，， ，，的周长； （3）如图，连接，，，过点作， 为等边三角形，，，， ，， ，，， ，，． 1．（2025·河北·校考一模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵正三角形的边长为2，∴高为2×sin60°＝，∴S△ABC＝×2×＝， ∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，∴S△PBC＝BC•PD，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PF， ∵AB＝BC＝AC，∴S△PBC+S△PAC+S△PAB＝BC•PD+AC•PE+AB•PF＝×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF， ∵S△ABC＝S△PBC+S△PAC+S△PAB，∴PD+PE+PF＝．故选B． 2．（2025·安徽池州·一模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴，，， ∴，∴， ∴， ∴，∴，故选：． 3.（24-25九年级·广东·校考期中）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、、，过B作于点G，    ∵，， ，，∴， ∴．故选：C 4.（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ． 【答案】8 【详解】解：如图，过点E作于Q，连接， ∵四边形是矩形，∴，∴， 由折叠可得，，∴，∴， ∵、，∴， ∵，∴，∵四边形是长方形，∴，． ∵，，∴． 由折叠易知，，，， ∴∴．∴．故答案为：8 5．（2025·江苏扬州·校考二模）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长AB=+1，点P是△ABC内的一个动点，过点P分别作PD，PE，PF分别与边AB，AC，BC垂直，垂足分别为D，E，F，且PD+PE=PF，则点P运动路径的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作∠ACB的平分线CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在线段MH上取一点P，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F． ∵∠A=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵MH∥BC，∴∠AMH=∠B=45°， ∵PD⊥AB，∴∠PDM=90°，∴∠DMP=∠DPM=45°，∴PD=DM， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠A=∠PDA=∠PEA=90°， ∴四边形ADPE是矩形，∴PE=AD，∴PD+PE=DM+AD=AM， ∵CM平分∠ACB，MN⊥BC，MA⊥AC，∴MA=MN，∵PF⊥BC，MN⊥BC，∴PF∥NM， ∵PM∥FN，∴四边形PFNM是平行四边形， ∵∠PFN=90°，∴四边形PFNM是矩形，∴PF=MN， ∴PF=AM，∴PF=PD+PE，∴点P的运动轨迹是线段MH． 设AM=MN=x则BN=MN=x，BM=x，∵AB=+1，∴x+x=+1，∴x=1， 在Rt△AMH中，∵AM=AH=1，∴MH=，∴P运动所形成的图形的长度是．故答案为：． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图所示，以点为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立平面直角坐标系， 设为，过作轴，轴，， ∴，，连接，，，∴， ∴，解得：， ∵到三角形三边的距离和为7，∴，即：，整理得：， ∴点在直线上运动，设直线为， ∴当交于点时，最小，∴，∴， 又∵直线过原点，∴直线为：， 联立，解得：，∴点为，∴最小值为，即：． 7．（2025·重庆九龙坡·校考二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点．求证：．    证明：如图，连接．，，， ，，． ，①______，即． ②______，，③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 【答案】，①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高 【详解】作图如下：证明：如图，连接．，，，    ，，． ，①，即． ②，，③． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 故答案为：①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 8.（24-25九年级上·山东·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用：当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1），理由如下：连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴， ∴，∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴， ∴，∴． 9.（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 理由：过点作于点于点， ∵是等边三角形，，∴， ∴，∴，∴，∴；故答案为：； （2）解：．证明：如图（2），连接，则， ∴，即， 又∵是等边三角形; ； （3）证明：连接， 则， 即 ∵是等边三角形， 两边同时除以2026得，． 10．（2025·河南·一模）[问题情境](1)王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究](2)如图③，当点P在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：． [结论运用](3)如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，求的值． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)4(4)cm 【详解】（1）小明的证明：连接，如图②， ，，，， ，，． 小颖的证明：过点P作，如图2， ，，，， 四边形为矩形，， ，， ，，， ，，， ，，， 在和中，，≌， ，； （2）小明的证明思路：连接，如图③， ，，，， ，； 小颖的证明思路：过点C作，如图③， ，，， 四边形为矩形，， ， ，，， ，，，，， ，，，， 在和中，，≌， ． （3）解：如图④过点E作，四边形是矩形，，， ，，， 由折叠有， ，，，，， ，，，四边形是矩形，， ，，，， ，由问题情景中的结论可得： ，．的值为4． 11.（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． (1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：． (2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长． (3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G，由得，； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 根据折叠可知， 在矩形中，，则， ，即是等腰三角形， 在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得， 在中，，，则， 在四边形中，，则四边形为矩形， ，即； （3）解：延长交于，连接，过点作于， 在四边形中，E为线段上的一点，，，则， 又，，，即是等腰三角形， 由（1）可得，设，，，， 在中，， 在中，，， ，解得，经检验，x=1是方程的解用符合题意， ，即． 12．（24-25九年级上·四川达州·期末）阅读理解题：已知：如图1，中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于D，于E，于F．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下： 小明的思路方法是：过点P作于G（如图2），则可证得四边形是矩形，也可证得，从而得到，，因此得． 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整； (2)如图4，梯形中，，，，E是上任意一点，于M，于N，试利用上述结论求的值． 【答案】(1)见详解(2)2 【详解】（1）证明：小明的思路方法：过点P作于G，如图2， ∵，∴四边形是矩形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，则； 小颖的思路方法：连接， ∵，，，， ∴，∵，∴； （2）解：作，，如图， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， 同理，∴． 13．（2025·重庆·校考一模）如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过C作于D，为AB边上的高过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．      (1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值； (2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)平行四边形的周长为(3) 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， 设到的距离为，则，∴， ∵等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．∴ （2）解：∵四边形是矩形，∴，∴ ∵将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合， ∴，，， ∴∴∴是等腰三角形， 在与中，∴∴， 在中，, 即等腰三角形，腰上的高为，依题意，，∴平行四边形的周长为； （3）解：如图所示，连接 ∴，∴，∵，∴，∴．    14．（2025·江西·校考一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 【答案】(1)55°(2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析 (3)在点P的运动过程中，PM+PN＝CE，理由见解析(4)（6+2）dm 【详解】（1）解：∵∠A=130°，∠B=120°，根据“等邻角四边形”定义可知： ∠C=∠D，∴∠D=(360°−130°−120°)÷2=55°； （2）①证明：∵ED//BC，∴∠EDB=∠DBC， ∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ABD=∠EDB，∴四边形ABDE为等邻角四边形， ②解：△BCD是等边三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD， 设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°， ∵∠A+∠C+∠E=300°，五边形ABCDE内角和为(5﹣2)×180°=540°， ∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240， 在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180， 由联立方程组，解得， ∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，∴△BCD是等边三角形； （3）解：在点P的运动过程中，PM+PN=CE，理由如下：过P作PGCE于G，如图： ∵PMAB，CEAB，PGCE，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°， ∴四边形PMEG是矩形，∴PM=EG，ME//PG，AB//PG，∴∠B=∠GPC， ∵∠B=∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PNCD，∴∠PGC=∠CNP=90°， ∵CP=PC，∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG=PN，∴PM+PN＝EG+CG=CE， 即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE； （4）作BHAD，垂足为H，如图：由(3)中的结论可得：ED+EC=BH， 设DH=xdm，则AH=AD+DH=(3+x)dm，∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°，∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2， ∵AB＝2，AD＝3，BD＝，∴()2﹣x2＝(2)2﹣(3+x)2，解得：x＝1， ∴BH2＝BD2﹣DH2，＝37﹣1＝36，∴BH＝6dm，∴ED+EC＝6， ∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点， ∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE，∴△DEM与△CEN的周长之和 DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝6+2， ∴△DEM与△CEN的周长之和为(6+2)dm． 15.阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接，则，∵等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴，∵， ∴， ∴，∴． 16.【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【详解】数学阅读：证明：如图2，连接，∵，， ， ∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 推广延伸：解：，理由如下：如图3，连接，    ∵， ， ，∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 解决问题：解：（1）联立，得，∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得，∴，∴， 由，得，∴，∴，∴， 在中， ，∴，∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．      图 图 在，，由图②得，∴，∴，∴M点的纵坐标为2， 由，得，∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， ∴，∴M点的纵坐标为4， 由，得，．综上，M点的坐标为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 三角形中的重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 5 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 8 13 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25九年级上·湖南郴州·培优）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 例2已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 例3（2025·山西临汾·二模）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高． 如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为，，，过点作于点，则． 证明：如图2，设等边的边长为，连接，，， ，，，．⋯． 思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．    任务：(1)请完成该定理证明的剩余部分； (2)请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：___，图4中的数量关系：_____． (3)如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，则点到其他三边的距离之和为_____． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（2025·福建·校考二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级·山东·期中）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 例3（2025·湖北咸宁·模拟预测）【阅读】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1，h2．连接AM． ∵  ∴ 　　　　　　 【思考】在上述问题中，h1，h2与h的数量关系为： ． 【探究】如图2，当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间有怎样的数量关系式？并说明理由． 【应用】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：，l2：y=－3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述结论求出点M的坐标． 例4（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】（1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 1．（2025·河北·校考一模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　） A． B． C．2 D． 2．（2025·安徽池州·一模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级·广东·校考期中）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 4.（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ． 5．（2025·江苏扬州·校考二模）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长AB=+1，点P是△ABC内的一个动点，过点P分别作PD，PE，PF分别与边AB，AC，BC垂直，垂足分别为D，E，F，且PD+PE=PF，则点P运动路径的长是 ． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ． 7．（2025·重庆九龙坡·校考二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点．求证：．    证明：如图，连接．，，， ，，． ，①______，即． ②______，，③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 8.（24-25九年级上·山东·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用：当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 9.（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 10．（2025·河南·一模）[问题情境](1)王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究](2)如图③，当点P在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：． [结论运用](3)如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，求的值． 11.（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． (1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：． (2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长． (3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长． 12．（24-25九年级上·四川达州·期末）阅读理解题：已知：如图1，中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于D，于E，于F．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下： 小明的思路方法是：过点P作于G（如图2），则可证得四边形是矩形，也可证得，从而得到，，因此得． 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整； (2)如图4，梯形中，，，，E是上任意一点，于M，于N，试利用上述结论求的值． 13．（2025·重庆·校考一模）如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过C作于D，为AB边上的高过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．      (1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值； (2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积． 14．（2025·江西·校考一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 15.阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h，(1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 16.【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得： 【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $