专题12 全等模型之等直内接等直模型与等直+高分线模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦等腰直角三角形两大核心模型，即等直内接等直模型与等直+高分线模型，通过模型来源梳理、真题现模型、提炼结论、例题运用的系统架构，设计考点梳理、方法归纳、真题训练环节，帮助学生突破几何综合题难点。 亮点在于以模型化思维培养几何直观与推理能力，如通过推导等直内接等直模型中PE=PF及面积关系，引导学生用数学眼光发现规律。设置从基础例题到综合探究题的分层训练，配合真题限时演练，确保高效复习，助力学生提升模型应用能力，教师可依此精准把控复习节奏。

专题12全等模型之等直内接等直模型与等直+高分线模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 9 13 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （2025·重庆·校考二模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：（1）AD=CE；（2）；（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（4）．其中正确的结论有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解： ， ，O是斜边AB的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和 中 ， ， ，AD=CE，故（1）正确； ， ， ， ，故（2）正确； ，S四边形CDOE= ， ∴△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，故（3）正确． ， ， ， ， ， ，故（4）正确；四个答案都正确，故选：A． （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图：∵，，点D是中点， ∴∴， ∴ 又∵ ∴故选：C 例2（2025天津·模拟预测）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②M为中点时，；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，∴是等腰直角三角形， ∵点P为的中点，∴， ∵是直角，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴是等腰三角形，故①正确； ∴，故④正确； ∵随着点E的变化而变化，∴不一定等于，故③错误； ∵M为中点，，∴， ∴，故②正确；故①②④正确，故选：C． 例3（2025·安徽合肥·校考一模）如图等腰直角△ABC中∠C=90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE=90°，DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE=FA；④AD+BE=DE，其中错误结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】不作辅助线，观察图中几个三角形，没有全等三角形，∴①错误；连接CF， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵∠C=90°，∠DFE=90°，∴∠AFD+∠DFC=∠DFC+∠CFE=90°，∴∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF； ∴CE=AD，S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC=S△ACB， 即△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍，∴②正确． ∵AC=BC，∠ACB=90°，F为AB中点，∴CF⊥AB，AF=CF=BF，∠A=45°，∠ACF=45°， ∴AF=CF，由勾股定理得：AC=CF=AF，由（2）知△ADF≌△CEF， ∴AC=AD+DC=CE+CD，∴CD+CE=AF，∴③正确； 易证△BEF≌△CDF，∴CD=BE，在Rt△CDE中， ∵CD=BE，AD=CE，∴，∴④正确；综上所述②③④正确，故选：C． 例4（2025·广西·校考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形面积． 【答案】(1)相等(2)见解析(3)4 【详解】（1）解：相等；∵，D为的中点，，， ∵E，F分别是的中点，∴， ∴，，∴；故答案为：相等； （2）∵，∵D是中点，平分， ，，， 在，； （3）连接，∵四边形是正方形，， 在和中， ， 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 【答案】D 【详解】解：∵，平分，∴， ∵，即，∴，故A选项正确，不符合题意；∵，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵，平分，∴， ∵，∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是等腰直角三角形，H是边的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意； ∵，∴，如图，过点G作于点M， ∵平分，，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故D错误，符合题意；故选：D 例2（2025·黑龙江·校考二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （   ） A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤ 【答案】D 【详解】解：，，， ，，，， 平分，，， ，，故①正确；③错误， 为的中点，，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确； ∵为的中点，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵为的中点，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为菱形，故⑤正确； ∴平分，∴， ∵，∴，∴，故④正确， ∴正确结论的序号为①②④⑤，故选：D． 例3（2026·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，，，， ∵平分，∴， ∴，∴，∴， ∵M为中点，∴，∴， ∴，∴ 在和中， ∴，∴，∴①正确； ∵，∴A、B、D、M四点共圆，∴， ∴，∵，∴平分∴③正确； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴ 过点D作于点H，则，∴， 设，则，∴ ∵ ∴，即，∴；故②正确； ∵，∴ ∴， 过点D作于点P，则，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵∴， ∴∴，故④错误； ∵，，∴，∴， ∵∴，∵，∴，∴，故⑤正确； 综上可知，正确结论是①②③⑤，故选：C 1．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰中，，于点， ∴，，，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：． 2．（25-26九年级上·山东·期中）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且，交于点．有下列结论： ；；；． 其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在等腰直角中，，是斜边的中点， ，，，， 在与中，，，，， ，，故正确，符合题意； ，，，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； ，，， ，即，，故正确，符合题意； 即都正确，正确的有个．故选：D． 3．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，以下结论中： ①是等腰三角形；②；③；④． 正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵平分，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，故②正确； ∵H是边的中点，∴，，∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接，∵， ∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴，故④正确；故选A．    4．（24-25山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①∵是等腰直角三角形，∴，； 在和中，∴；∴，； ∵，∴，∴是等腰直角三角形．故此选项正确； ③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小； 即当时，最小，此时．∴．故此选项错误； ②∵，∴，∴， 当面积最大时，此时的面积最小， ∵，，∴，∴， 此时，故此选项正确； 故正确的有①②，故选：B 5．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （      ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：①如图1所示：∵四边形为正方形，点O为对角线的中点， ∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，故结论①正确；②过点O作交于K，如图2所示： ∵，∴， ∴，由结论①正确得，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴为等腰直角三角形，∴，即，故结论②正确； ③∵，∴，∵，∴， 又∵，∴ 在和中，， ∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，故结论③正确； ④设的中点为M，连接，如图3所示：∵，∴为斜边上的中线， ∴，∴，假设，则， ∴，∴，∴， ∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，∴假设不正确，故结论④不正确； ⑤∵，∴，即，故结论⑤正确； ⑥过点O作交于P，如图4所示： ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得：， ∴，在和中，， ∴，∴，∴，即，故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③⑤⑥，共5个．故选：A． 6．（2025·安徽亳州·二模）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【详解】解：①∵，∴， ∵点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合）， ∴，即，∴，故结论①正确； ②∵，∴在中，， 由勾股定理得：，即，∴，故结论②正确； ③连接，设，如图所示： 在，点D为斜边上的中点，∴， 在中，由勾股定理得：，∴，∴，即， ∵，∴， 当且仅当时，即点E，F分别为的中点时，，此时，则有， 当时，即点E，F不是的中点时，，此时，则有， ∴，且等号可以取到，即最小值为．故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③．故选：A． 7．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在等腰中，，，点D为的中点，点E，F分别在边上（点E，F与点A，B，C不重合），且，连接，下列结论：①可由绕点D逆时针旋转得到；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵在等腰中，，点D为的中点， ∴，，， ∵，∴，∴， ∴， ∴可由绕点D逆时针旋转得到，①正确； 由①得，，∴，∴是等腰直角三角形，②正确； ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴③正确； ∵，∴，∴，∴④正确，综上正确的结论有①②③④，故选：D． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，为斜边的中点，，且在内绕点D转动，分别交边、于点、（点不与点、重合），给出的下面4个结论中正确结论的选项为（   ）（多选题） A． B． C． D．最小值为 【答案】AB 【详解】解：，是等腰直角三角形 点是的中点，， 在和中 是等腰直角三角形，故A正确，符合题意； 在与中 ，故B正确，符合题意； 是等腰直角三角形，当时，最短， 即，故C错误，不符合题意； 当最短时，即最短， 最小值为，故D错误，不符合题意；故选：AB． 9．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，延长至点D，使得，连接，的中线与交于点F，连接，过点B作交于点G．连接，．则下列说法正确的有（ ）（多选题） A． B． C．点G为的中点 D． 【答案】BC 【详解】解：∵，是的中线，∴，， ∴，垂直平分，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，故选项B正确； ∵，，∴，， ∵，∴，∴，， ∵是的中线，∴，∵，，∴，故选项A错误； ∵，，∴，故选项D错误； ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴点G为的中点，故选项C正确；∴说法正确的有，故选：BC． 10．（2025·遵义·校考一模）如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为 【答案】8 【详解】如图，连接，在中，，，， ∴，为的垂直平分线，∴.∴. ∵是的平分线，∴，∴. ∵，∴.∴. ∵平分，，∴.∴. ∵，∴. 在和中，，∴.∴.故答案：8． 11．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④正确的有 ．    【答案】①②③ 【详解】解：如图，，，是等腰直角三角形，    ，是中点，，、都是的余角，， 在与中，，，同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到，是直角，是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则，故③正确； ④，，，，，④错误； 正确结论为①②③．故答案为：①②③． 12．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，正方形中，对角线、交于点O，平分，交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，交于点H，连接，下列结论：①；②；③为等腰三角形；④；⑤． 其中正确的有 （填序号）．    【答案】①②③ 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，，，， ，，， ∴，∴，∵，∴，故①正确； ∴，，∴， ∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，故②正确； ∵，∴， ，∴， ∴，∴为等腰三角形，故③正确； ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④错误； ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，故⑤错误；    综上分析可知，正确的是①②③．故答案为：①②③． 13．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：由题意得，∵四边形是正方形 ∴，，，， ∴，∴，， ∴，∴．∴，故①正确； ∵，∴，∴四边形的面积为： ，故②正确； 如图，连接，∵，∴，，∴， ∴，，∴，∴，故③正确； ∵，∴，，∴四边形周长为， 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小， ∵，，∴，∵，∴， 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确．故答案为：①②③． 14．（2025·山东东营·一模）如图，等腰Rt△ABC中，，于D，的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵，，， ∴，，，∴， ∵BE平分，∴，∴， ∴，∴，故①正确； ∵M为EF的中点，∴，故②正确； 过点F作于点H，∵BE平分，且，∴，故③错误； ∵，∴，∴， 在△FBD和△NAD中∴，∴，故④正确．故答案为①②④ 15．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上（不与端点重合），且，连接、、．设，，．给出下面四个结论：①是等腰直角三角形②③④，上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①④ 【详解】解：，，， 点，分别在直角边，上（不与端点重合）， ，即，故结论②错误； ，在中，，，， 由勾股定理得：，即，故结论③错误； 连接，∵，，点为斜边上的中点， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即：，∴是等腰直角三角形，故①正确； 设，则：，在中，由勾股定理得：， ，，即， ，， 当且仅当时，即点，分别为，的中点时，，此时，即， 当时，即点，不是，的中点时，，此时，即， ，且等号可以取到，故结论④正确．故答案为：①④． 16．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在中，，高、交于点，是的中线，过点作于，连接、．点在边上，且，．下列结论：；平分；是等边三角形；若，则与的面积比为．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：，，， ，是等腰直角三角形，， 在中，，在中，， ，， 在和中，，， ，，，故正确； 如下图所示，过点作，， ，，，， ，平分，平分错误，故错误； 如下图所示，过点作，连接，， ，，，，，， ，， ，，，， ，， ，，，， 是的中线，，，是等边三角形，故正确； 是等边三角形，，，， ，，设，则， 在中，，，，解得：，，， ，，，， 设，则，在，，，解得：，， ，故正确；综上所述，正确的结论有．故答案为：． 17．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知中，，，于，于，与交于点，是的中点，连结交于点，以下结论：①，②，③，④若，则，其中正确的结论有 ．（填正确结论的序号） 【答案】①③④ 【详解】解：①，，， 又，于，，， ，， 又，，∴是等腰直角三角形，， 在和中，，，．故①正确； ②，于，平分，，， 又，，，故②错误； ③，，， ，又，，，故③正确； ④连接，∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是线段的垂直平分线，∴，∴， ∵，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴， ∵，∴，故④正确； 综上，正确的有①③④．故答案为：①③④． 18．（25-26九年级上·广东东莞·期中）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，，则；反之在中，如果，，则，为等腰直角三角形， 在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察线段和之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； (2)观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明； (3)把三角板绕点旋转，点从点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；见解析(2)；见解析(3)能；或或或 【详解】（1）解：，理由如下：如图②，连接， 是等腰直角三角形，P为斜边的中点， ，，， 又，， 在和中，，； （2），理由如下：连接，如图③所示： 同（1）得：，，，； （3）能成为等腰三角形，理由如下： ①当，点E在的延长线上时，如图③所示：则， 又，． ②当，点E在上时，如图④所示：则． ③当时，如图⑤所示：则，； ④当，点E在上时，如图⑥所示：则点E和C重合，； 综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12全等模型之等直内接等直模型与等直+高分线模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 9 13 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （2025·重庆·校考二模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：（1）AD=CE；（2）；（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（4）．其中正确的结论有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 例2（2025天津·模拟预测）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②M为中点时，；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 例3（2025·安徽合肥·校考一模）如图等腰直角△ABC中∠C=90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE=90°，DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE=FA；④AD+BE=DE，其中错误结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4（2025·广西·校考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形面积． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 例2（2025·黑龙江·校考二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （   ） A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤ 例3（2026·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·期中）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且，交于点．有下列结论： ；；；． 其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，以下结论中： ①是等腰三角形；②；③；④． 正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 5．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （      ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（2025·安徽亳州·二模）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 7．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在等腰中，，，点D为的中点，点E，F分别在边上（点E，F与点A，B，C不重合），且，连接，下列结论：①可由绕点D逆时针旋转得到；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，为斜边的中点，，且在内绕点D转动，分别交边、于点、（点不与点、重合），给出的下面4个结论中正确结论的选项为（   ）（多选题） A． B． C． D．最小值为 9．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，延长至点D，使得，连接，的中线与交于点F，连接，过点B作交于点G．连接，．则下列说法正确的有（ ）（多选题） A． B． C．点G为的中点 D． 10．（2025·遵义·校考一模）如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为 11．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④正确的有 ．    12．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，正方形中，对角线、交于点O，平分，交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，交于点H，连接，下列结论：①；②；③为等腰三角形；④；⑤． 其中正确的有 （填序号）．    13．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有 （填序号）． 14．（2025·山东东营·一模）如图，等腰Rt△ABC中，，于D，的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 15．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上（不与端点重合），且，连接、、．设，，．给出下面四个结论：①是等腰直角三角形②③④，上述结论中，正确结论的序号有 ． 16．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在中，，高、交于点，是的中线，过点作于，连接、．点在边上，且，．下列结论：；平分；是等边三角形；若，则与的面积比为．其中正确结论的序号是 ． 17．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知中，，，于，于，与交于点，是的中点，连结交于点，以下结论：①，②，③，④若，则，其中正确的结论有 ．（填正确结论的序号） 18．（25-26九年级上·广东东莞·期中）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，，则；反之在中，如果，，则，为等腰直角三角形， 在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察线段和之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； (2)观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明； (3)把三角板绕点旋转，点从点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $