专题03 方程与不等式（组）的B卷专项训练（B卷20+21）（专项训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程（组）与不等式（组） 专题03 方程（组）与不等式（组）的B卷专项训练（20、21） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：一元二次方程（中考地位：B20或B21） 类型1：一元二次方程及根的定义 解｜题｜技｜巧 一元二次方程的根：使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是方程的根（解）。 1．（2025·成都 ·校考二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 2．（2025·成都·校考一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为 3．（2025·成都·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 4．（2025·成都·一模）设是方程的一个实根，则 5．（2025九年级·成都·培优）若方程有一个根是，方程有一个根是，则 ． 类型2：一元二次方程根的判别式及运用 解｜题｜技｜巧 根的判别式除了可以辨别一元二次方程的根的情况，其他它在解决一些特殊代数式的最值的时候也是一把好手哦，特别是本类型第4题，好好感受下哦！ 1．（2025·成都·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围 2．（2025·成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 3．（2025·成都·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 4．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为 类型3：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：当满足①、②时，才能用韦达定理。 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 1．（2025·成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，且，则 ． 2．（2025·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·校考一模）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 4．（2025·四川成都·校考二模）已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则 ． 5．（2025·四川成都·校考一模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 6．（2025·四川成都·校考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ． 7．（2025·成都·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 类型4：构造一元二次方程求代数式的值 1．（2025·湖北·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_______________________； (2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 2．（2025九年级·成都·培优）已知实数分别满足和，那么的值是 ． 3．（25-26九年级上·成都·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 类型5：一元二次方程根的分布（拓展） 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根的分布主要运用二次函数的图象，再结合韦达定理和根的判别式等知识解决相关问题。 1．（25-26九年级上·成都·月考）已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 ． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）已知关于x的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是 ． 3．（2025·湖南长沙·校考一模）对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根；（2）有两个负根；（3）两个根都小于﹣1；（4）两个根都大于；（5）一个根大于2，一个根小于2；（6）两个根都在(0，2)内；（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；（10）一个根小于2，一个根大于4． 类型6：一元二次方程的新定义 1．（2025.成都市九年级上八区联考）定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ． 2．（2025·成都·校考一模）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 3．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 类型7：配方法求值或最值（范围） 解｜题｜技｜巧 配方除了在解一元二次方程可以使用，更重要的是能在代数式求最值或比大小的时候发挥作用。 1．（2025·成都·模拟预测）已知a、b、c满足，，，则 ． 2．（2025·江苏南京·一模）设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 4．（2025·成都·九年级上期中）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值． 类型8：高次方程相关问题 解｜题｜技｜巧 高次方程中主要考查： 1）换元法解方程（特别注意换元要注意等价，即重点关注新元的范围）。 2）一元三次方程的整数解问题，和一元三次方程的根的情况（类比韦达定理）。 1．（2025·成都·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 3．（2024·四川成都·二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 类型9：一元二次方程的其他综合压轴问题 1．（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 3．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 考点二：分式方程（中考地位：B20或B21） 类型1：含参的分式方程根的情况 解｜题｜技｜巧 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围主要类型有：增根、无解、有解、解为正（负）、解为整数等。各类情况中易错点在忽略增根的存在。 1．（2025·成都·模拟预测）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为 ． 2．（2025·成都·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 4．（2025·成都·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 5．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 6．（2025·成都·模拟预测）已知关于的分式方程的解为正整数，关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为 ． 类型2：分式方程的其他综合问题 1．（2025·成都·模拟预测）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则或． 因为，所以关于x的方程的两个解分别为． 利用上面建构的模型，解决下列问题：（1）若方程的两个解分别为．则 （2）已知关于x的方程的两个解分别为，则的值为 2．（2025·成都·模拟预测）对于实数，定义运算，如：．则方程的解为 ． 3．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：，，，⋯⋯， 照此规律，解答下列问题：(1)________；(2)若，求的值；(3)求的最小值． 考点三：不等式（组）（中考地位：B20或B21） 类型1：含参的不等式（组） 解｜题｜技｜巧 已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中待定字母的取值范围问题，首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知条件联系起来求解.这类问题有时要运用方程知识，有时要运用不等式知识.在求解过程中还可以利用数轴进行分析. 1）不等式组解集的边界值对参数的限制（需考虑等号的取舍）； 2）含多个参数时，解集的特征对参数的多重约束； 3）不等式组 “有解 / 无解” 对应的参数范围推导（如 “大大小小无解” 的系数关系）。 1．（2025·成都·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 2．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 3．（2025·成都·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 4．（2025·成都·校考二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 5．（2025·成都·一模）关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为 ． 6．（2025·成都·校考一模）已知关于的不等式组的整数解只有1、2、3，其中都为整数，则的值共有 个。 类型2：不等式的新定义问题 解｜题｜技｜巧 不等式的新定义问题主要有大两类： 1是定义新的概念，根据新概念解决相关问题。 2是定义新方法，如基本不等式（均值不等式）等。 1．（2025·成都·模拟预测）定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 ． 2．（2025·成都·一模）基本不等式的性质：一般地，对于，，我们有，当且仅当时等号成立．例如：若，则，当且仅当时取等号，的最小值等于．根据上述性质和运算过程，若，则的最小值是 3．（2025·成都·九年级上期中）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 类型3：不等式（组）的其他综合问题 1．（2025·四川成都·校考二模）若实数m，n，p满足，且，我们将，，这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ． 2．（2025·成都·模拟预测）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 3．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式．(1)求的值．(2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 考点四：一次方程（组）（中考地位：B20或B21） 类型1：一次方程组的相关运用 1．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 2．（2025·成都·校考一模）若关于x的方程的解为整数，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 3．（2025·成都·模拟预测）已知关于的方程无解，则应满足的条件是 ． 4．（2025·成都·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是 类型2：方程组的解的运用 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）设x，y为实数，且满足，则 （    ）． A． B．1 C． D．2 2．（2025·成都·模拟预测）已知关于的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 ． 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有 组． 4．（2025·成都·校考一模）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为 ． 5．（2025·成都·模拟预测）设a，b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长，当a，b，m满足方程组时，m的值是 ． 类型3：方程（组）的新定义问题 1．（2025·成都·模拟预测）若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中a，b都是正整数，且），那么我们称为正整数k的“欢喜数对”．如：，那么正整数9的“欢喜数对”为．正整数2024的“欢喜数对”为 （请写出所有满足条件的“欢喜数对”）． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 3．（2025·重庆·模拟预测）若一个四位正整数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），称该四位数为“k倍数”．例如，对于四位数3641，∵，所以3641为“3倍数”，若四位数M是“4倍数”，是“倍数”，将M的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数N，N也是“4倍数”，则满足条件的M的最小值为 ，将M的最小值写成两个正整数的平方差，即（a、b均为正整数）为M的一个平方差分解，在M的最小值的所有平方差分解中，当最小时，规定，则的值为 ． 4．（2025·成都·校考二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 类型4：方程（组）的新情景或跨学科问题 1．（2025·成都·校考一模）若中每一个数值只能取，，中的一个，且，求的值 ． 2．（2024·四川成都·校考一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则 ． 3．（2025·湖南湘西·三模）在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”，设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”，如图所示的的正方形网格： ，， 图中格点多边形的面积是21． 已知一个格点多边形的面积为14，且边界上的点数是内部点数的3倍，则 ．    4．（2025·成都·三模）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 1．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中正确的是（   ）（多选题） A．是方程组的解 B．当时，的值互为相反数 C．当时，方程组的解也是方程的解 D．若，则． 3．（2025·成都·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的有 （填正确答案的序号）。①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 5．（2025·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 6．（2025·成都·校考二模）已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 7．（2025·四川成都·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 8．（25-26九年级上·成都·校考期末）若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）中，，于点D，、的长是方程的根，若的面积为40，则 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 11．（24-25九年级上·四川成都·校考期末）已知实数，满足，，则 ． 1．（2025·成都·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 2．（2025·成都·模拟预测）已知关于的方程只有一个实数解，则实数的值为 ． 3．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得，即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以，与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ；当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1；(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；(3)解决问题2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题03 方程（组）与不等式（组）的B卷专项训练（20、21） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：一元二次方程（中考地位：B20或B21） 类型1：一元二次方程及根的定义 解｜题｜技｜巧 一元二次方程的根：使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是方程的根（解）。 1．（2025·成都 ·校考二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：将代入，得，即， ∵，∴，故答案为：1． 2．（2025·成都·校考一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，∴，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：3． 3．（2025·成都·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵a是方程的一个根，∴， ∴，故答案为： 4．（2025·成都·一模）设是方程的一个实根，则 【答案】2024 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴，∴，， ∴，故答案为：2024． 5．（2025九年级·成都·培优）若方程有一个根是，方程有一个根是，则 ． 【答案】8或0 【详解】解：∵方程有一个根是，方程有一个根是， ∴，，两式相加得：，解得：；故答案为：或． 类型2：一元二次方程根的判别式及运用 解｜题｜技｜巧 根的判别式除了可以辨别一元二次方程的根的情况，其他它在解决一些特殊代数式的最值的时候也是一把好手哦，特别是本类型第4题，好好感受下哦！ 1．（2025·成都·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， 且，解得：．故答案为： ． 2．（2025·成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 【答案】2 【详解】解：根据题意得：，整理得：，， 方程是一元二次方程，， 等式两边同时除以得：，则．故答案为：2． 3．（2025·成都·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 【答案】4 【详解】解：方程，解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得， 此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个．故答案为：． 4．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为 【答案】-3 【详解】解：设，则，∴，整理，得：． ∵存在实数a，b满足，∴关于b的一元二次方程有解， ∴，∴，解得：， ∴，即的最小值为．故答案为：-3． 类型3：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：当满足①、②时，才能用韦达定理。 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 1．（2025·成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，且，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ，，，，， ．故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，∴即， ∴，故答案为：． 3．（2025·四川成都·校考一模）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴，故答案为：． 4．（2025·四川成都·校考二模）已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则 ． 【答案】 【详解】根据题意得 ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 5．（2025·四川成都·校考一模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， ，，解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意；的值为，故答案为：． 6．（2025·四川成都·校考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，四边形是边长为5的菱形，对角线交于O， ∴，， 设，在中，由勾股定理得，∴， ∵菱形的对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍， ∴分别是关于x的一元二次方程的两根，∴，， ∵，∴， ∴，即，解得或； 又∵，即，∴故答案为：． 7．（2025·成都·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，，，∴，， ∴， ∵，∴，∴，∴，则的最大值是，故选：B 类型4：构造一元二次方程求代数式的值 1．（2025·湖北·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_______________________； (2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，，(2)或(3)15 【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，∴或 ①当时，令，，∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴，此时； ②当时，，此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴，故． 2．（2025九年级·成都·培优）已知实数分别满足和，那么的值是 ． 【答案】2或16 【详解】解：分两种情况：当时，，，， 又，，a和b是方程的两个根， ，，， 当时，； 故答案为：2或16． 3．（25-26九年级上·成都·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1)(2)2 【详解】（1）解：，实数m、n满足，， ∴、 可看作方程的两根，， ； （2）解：∵、， ∴将，看作是方程得两实数根； ， 而，，即c的最大值为2． 类型5：一元二次方程根的分布（拓展） 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根的分布主要运用二次函数的图象，再结合韦达定理和根的判别式等知识解决相关问题。 1．（25-26九年级上·成都·月考）已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：令方程的两根为，则， 根据题意，若，则，∴． ∴，，解得故答案为： 2．（25-26九年级上·浙江·期中）已知关于x的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，方程的两个根满足：，， ∵抛物线开口向上，∴时y随x增大而减小，时y随x增大而增大， ∴， ∴，故答案为：； 3．（2025·湖南长沙·校考一模）对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根；（2）有两个负根；（3）两个根都小于﹣1；（4）两个根都大于；（5）一个根大于2，一个根小于2；（6）两个根都在(0，2)内；（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；（10）一个根小于2，一个根大于4． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在符合此条件的；（4）；（5）；（6）不存在符合此条件的；（7）或；（8）不存在符合此条件的；（9）不存在符合此条件的；（10）． 【详解】当有两个实数根时， 其根的判别式，即，解得或， 设， 则此二次函数的对称轴为，且其与轴的交点的横坐标即为方程的根， （1）当方程有两个正根时，则当时，，且二次函数的对称轴大于0， 即，解得，又或，； （2）当方程有两个负根时，则当时，，且二次函数的对称轴小于0， 即，解得，又或，； （3）当方程的两个根都小于时，则当时，，且二次函数的对称轴小于， 即，此不等式组无解，则不存在符合此条件的； （4）当方程的两个根都大于时，则当时，，且二次函数的对称轴大于， 即，解得，又或，； （5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时，则当时，， 即，解得，又或，； （6）当方程的两个根都在内时，则当和时，，且二次函数的对称轴在内， 即，解得，又或，不存在； （7）当方程的两个根有且仅有一个在内时，则当时的值与时的值的乘积小于0， 即，解得或， 又或，或； （8）当方程的一个根在内，另一个根在内时， 则当时，；当时，；当时，；当时，， 即，此不等式组无解，则不存在符合此条件的； （9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时， 则当时，，且二次函数的对称轴大于0， 即，此不等式组无解，则不存在符合此条件的； （10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时，则当和时，， 即，解得，又或，． 类型6：一元二次方程的新定义 1．（2025.成都市九年级上八区联考）定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ． 【答案】14或8或18或9 【详解】解：∵，∴ ，，， ①当时，是方程的两根，，方程无解； ②当时，是方程的两根，，方程有解； ③当时，是方程的两根，，方程无解； ④当时，是方程的两根，，方程有解； ⑤当时，是方程的两根，，方程有解； ⑥当时，是方程的两根，，方程有解； 综上可知：或或或 ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 综上可知：的值为14或8或18或9．故答案为：14或8或18或9． 2．（2025·成都·校考一模）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)②③(2)或． 【详解】（1）解：①， ∵，∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵，∴，则方程是“完美方程”； ③，∵，∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵是关于的“完美方程”，∴，∴原方程为． ∵是此“完美方程”的一个根，∴，即，解得：或． 3．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①(2)的值为18(3)代数式的值为或 【详解】（1）的根为，，，是“倍根方程”； 的根为，，，不是“倍根方程”；故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ，解得；经检验，符合题意，的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”，或，即或， 当时，；当时，；代数式的值为或． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 【答案】或 【详解】根据题意，得，整理得， 解得．经检验，是原方程的根，故答案为：或． 类型7：配方法求值或最值（范围） 解｜题｜技｜巧 配方除了在解一元二次方程可以使用，更重要的是能在代数式求最值或比大小的时候发挥作用。 1．（2025·成都·模拟预测）已知a、b、c满足，，，则 ． 【答案】3 【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：， 即，∴， ∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3． 2．（2025·江苏南京·一模）设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ， ，，，即．故选：A． 3．（2025·四川成都·一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 【答案】14 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得，； ∵，∴的最小值是14，故答案为14． 4．（2025·成都·九年级上期中）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)4；是(2)12(3)(4)(5)当时，的最小值为9 【详解】（1）4是“平和数”， 理由：因为；29是“平和数”， 理由：因为．故答案为：4(答案不唯一)，是； （2）故答案为：12； （3） ．故答案为：； （4）；由题意得：， （5），∴当时，的最小值为9． 类型8：高次方程相关问题 解｜题｜技｜巧 高次方程中主要考查： 1）换元法解方程（特别注意换元要注意等价，即重点关注新元的范围）。 2）一元三次方程的整数解问题，和一元三次方程的根的情况（类比韦达定理）。 1．（2025·成都·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 【答案】 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ， ，解得 或 ，由于 ，故舍去 ，∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和，故斜边长为．故答案为 ． 2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 【答案】①1、－1、7、－7；②该方程有整数解， x=3是该方程的整数解 【详解】解：①由阅读理解可知： 该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数． ②该方程有整数解． 方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0 进行验证得：x=3是该方程的整数解． 3．（2024·四川成都·二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 【答案】 14 【详解】解：关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，， 方程可以写成，即：， ，， ，，即：， 即：，，或或， ，，，，故答案为：；14． 类型9：一元二次方程的其他综合压轴问题 1．（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴之间共有个或个整数， ∵6个连续的整数满足， ∴， 当时，间有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或 当时，上有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的3个整数为，，无整数解； 当时，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或， 当，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，无整数解； 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解 或，无整数解 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无解， 综上所述，或或，则或或， ∴，或；∵是正整数，∴故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【详解】解：，一组数的积要小于， ，，相乘的这一组数最多只能有个， ，相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个，当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时，， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个，当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数，没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个，当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，，，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 3．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴，∴，，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即，，，又，，，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即，解得：，不符合题意，舍去，，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时，即，，， 又，的最小值为，即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意；故选：A． 考点二：分式方程（中考地位：B20或B21） 类型1：含参的分式方程根的情况 解｜题｜技｜巧 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围主要类型有：增根、无解、有解、解为正（负）、解为整数等。各类情况中易错点在忽略增根的存在。 1．（2025·成都·模拟预测）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为 ． 【答案】，且 【详解】解：由题意得，解方程，得， ∴，且，解得，且，故答案为：，且． 2．（2025·成都·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【详解】解：去分母得，由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得，故答案为：2． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【详解】解：，去分母：方程两边同时乘以，得： ，，，， 原方程无解，是原方程的增根，由，，，，故答案为：． 4．（2025·成都·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【详解】解：分式方程去分母得：，解得：， 根据题意得：且，解得：且，故答案为：且． 5．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：方程两边同时乘以，得，解得：， ∵解为负数，∴，∴， 当时，，∴且，故答案为：且． 6．（2025·成都·模拟预测）已知关于的分式方程的解为正整数，关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式①得，，∴不等式组的解集为， ∵关于y的不等式组有且仅有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得，， 关于x的分式方程的两边都乘以得，，解得， ∵分式方程的解为正整数，∴整数， 由于分式方程的增根为，∴，∴， ∴所有符合条件的整数的和为，故答案为：． 类型2：分式方程的其他综合问题 1．（2025·成都·模拟预测）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则或． 因为，所以关于x的方程的两个解分别为． 利用上面建构的模型，解决下列问题：（1）若方程的两个解分别为．则 （2）已知关于x的方程的两个解分别为，则的值为 【答案】 1 【详解】解：（1）由材料可知：，，∴；故答案为：． （2）∵∴；∴ ∴或 ∴或 ∵∴ ∴故答案为：1． 2．（2025·成都·模拟预测）对于实数，定义运算，如：．则方程的解为 ． 【答案】无解 【详解】解：∵，∴，解得：， 经检验是原方程的根据，∴原方程的解为． ∵，∴方程无解故答案为：无解． 3．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：，，，⋯⋯， 照此规律，解答下列问题：(1)________；(2)若，求的值；(3)求的最小值． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：，故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ，，，，⋯⋯，∵，∴．解得，． 经检验是方程的解，且符合题意．∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，，∴ ∵，∴时，的最小值是． 考点三：不等式（组）（中考地位：B20或B21） 类型1：含参的不等式（组） 解｜题｜技｜巧 已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中待定字母的取值范围问题，首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知条件联系起来求解.这类问题有时要运用方程知识，有时要运用不等式知识.在求解过程中还可以利用数轴进行分析. 1）不等式组解集的边界值对参数的限制（需考虑等号的取舍）； 2）含多个参数时，解集的特征对参数的多重约束； 3）不等式组 “有解 / 无解” 对应的参数范围推导（如 “大大小小无解” 的系数关系）。 1．（2025·成都·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：线段能构成三角形，， ，由②得，关于的不等式组有解， 不等式组的解集为，则，即， 为整数，可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为，故答案为：． 2．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ∵解不等式①得：，解不等式②得：，∴， 又∵关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，∴，故答案为：． 3．（2025·成都·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得， 不等式组有解，，故答案为：． 4．（2025·成都·校考二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式②得：， ∵原不等式组无解，∴，故答案为：． 5．（2025·成都·一模）关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为 ． 【答案】10 【详解】解：解①得：解②得：， ∵关于的不等式组的解集为，∴，∴ 则正整数有1，2，3，4，∴，故答案为：10 6．（2025·成都·校考一模）已知关于的不等式组的整数解只有1、2、3，其中都为整数，则的值共有 个。 【答案】72 【详解】解：解不等式，得；解不等式，得； ∵不等式组的整数解是1、2、3，∴，∴ ∵都为整数，∴有9个整数，有8个整数， ∴的值共有：（个），故答案为：72． 类型2：不等式的新定义问题 解｜题｜技｜巧 不等式的新定义问题主要有大两类： 1是定义新的概念，根据新概念解决相关问题。 2是定义新方法，如基本不等式（均值不等式）等。 1．（2025·成都·模拟预测）定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 ． 【答案】 【详解】解： 解：由①得，由②得， 原不等式组的解集为， 解集是一个对称集，，解得：；故答案为：． 2．（2025·成都·一模）基本不等式的性质：一般地，对于，，我们有，当且仅当时等号成立．例如：若，则，当且仅当时取等号，的最小值等于．根据上述性质和运算过程，若，则的最小值是 【答案】8 【详解】解： 所以的最小值是，故答案为：8． 3．（2025·成都·九年级上期中）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6(2)(3)(4)4 【详解】（1）解：当时，，∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，，∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6；故答案为：4，6； （2）解：∵且，∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立，∴的最小值，即； （4）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 类型3：不等式（组）的其他综合问题 1．（2025·四川成都·校考二模）若实数m，n，p满足，且，我们将，，这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：，，，， 令，，，，，， ，，，， ，，， 将，，这三个数中最小的一个数记为t，则，，， ，解得：，t的最大值为，故答案为： 2．（2025·成都·模拟预测）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵，∴，解得，， ∴的最大值为，∴，∴， 解得，，∴的最大值为，同理，的最大值为， ∴的最大值为，故答案为：． 3．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式．(1)求的值．(2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 【答案】(1)12(2)，， 【详解】（1）解：， 根据题意得：是的一个因式， ∴，即，是方程的解， ∴，得：，即的值为12； （2）解：∵，∴， ∵，∴，解得， ∵a，c为大于1的正整数，∴，4，5，6，7，但，a也是正整数， ∴，，将，代入①得，，解得． 考点四：一次方程（组）（中考地位：B20或B21） 类型1：一次方程组的相关运用 1．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【详解】解：当时，原方程化为，解得：； 当时，原方程化为，解得：，不符合题意； 当时，原方程化为，此时方程无解； 当时，原方程化为，解得：； 综上，原方程的解为或，共个，故选：C． 2．（2025·成都·校考一模）若关于x的方程的解为整数，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】36 【详解】，移项得：， 合并同类项，，系数化为1，得， ∵方程的解为整数，或， 解得或26或或10，．故答案为：36． 3．（2025·成都·模拟预测）已知关于的方程无解，则应满足的条件是 ． 【答案】 【详解】解：去分母得，合并同类项，得，解得， 当时，方程无解．故答案为：． 4．（2025·成都·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是 【答案】 【详解】；移项得， ∵关于的方程有负根，∴∴．故答案为：． 类型2：方程组的解的运用 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）设x，y为实数，且满足，则 （    ）． A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】解：设，则原方程化为，， 得：，即， ∴， ∵， ∴，∴，∴．故选：D． 2．（2025·成都·模拟预测）已知关于的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 ． 【答案】2 【详解】解：把代入方程，把代入方程，得，解得， 当时，．故答案为：2． 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有 组． 【答案】10 【详解】解：∵x，y，z为正整数，且，∴， ∵，∴，∴． 当时，原方程等价于，则，即， 解得或或或或． 同理，可得还有解为：， 则满足的解共10组．故答案为：10． 4．（2025·成都·校考一模）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为 ． 【答案】130 【详解】解： ，①+②，得3a+4b+5c＝130，可得出a＝10﹣，c＝20﹣， ∵a，b，c为三个非负实数，∴a＝10﹣≥0，c＝20﹣≥0，∴0≤b≤20， ∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b， ∴当b＝0时，W＝130﹣2b的最大值为130，故答案为：130． 5．（2025·成都·模拟预测）设a，b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长，当a，b，m满足方程组时，m的值是 ． 【答案】5或 【详解】解：①若a是腰长，b是底边，则，即， ∵a，b，m满足方程组， 把代入得，解得：， ，不符合三角形任意两边之和大于第三边，∴舍； ②若b是腰长，a是底边，则，即， ∵a，b，m满足方程组， 把代入得，解得：，∴， ，符合三角形任意两边之和大于第三边，∴； ③若，则a、b是腰，则，解得， ∴第三边为：，∴符合三角形任意两边之和大于第三边，∴；故答案为：5或． 类型3：方程（组）的新定义问题 1．（2025·成都·模拟预测）若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中a，b都是正整数，且），那么我们称为正整数k的“欢喜数对”．如：，那么正整数9的“欢喜数对”为．正整数2024的“欢喜数对”为 （请写出所有满足条件的“欢喜数对”）． 【答案】或/或 【详解】解：∵， ∴，解得：，∴正整数2024的“欢喜数对”为； 同理可得：也是正整数2024的“欢喜数对”．故答案为：或． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【详解】解：A、由题意，得，解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则，，少考虑一种情况，故选项B错误； C．，，， 当为整数时，，，，当时，解得：， ，符合题意； 当时，解得：，，符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 当时，解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ，，即， 对任意有理数，都成立，，故选项D正确．故选：B． 3．（2025·重庆·模拟预测）若一个四位正整数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），称该四位数为“k倍数”．例如，对于四位数3641，∵，所以3641为“3倍数”，若四位数M是“4倍数”，是“倍数”，将M的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数N，N也是“4倍数”，则满足条件的M的最小值为 ，将M的最小值写成两个正整数的平方差，即（a、b均为正整数）为M的一个平方差分解，在M的最小值的所有平方差分解中，当最小时，规定，则的值为 ． 【答案】 6663 / 【详解】解：设，则， ∵四位数M是“4倍数”，N也是“4倍数”，∴，，∴， ∴，则， ∵是“倍数”，∴分两种情况： 当时，， ∵，∴，即，∴， ∵y、d为整数，∴不存在满足条件的y、d值； 当时，， ∴，即，∴，则， ∴，则，当时，，，此时； 当时，，，此时；当时，，，此时； 当时，，，此时，故M的最小值为6663； 由题意，，又a、b为正整数，∴当最小时为1 ， ∴，则，∴，故答案为：6663；． 4．（2025·成都·校考二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【答案】 【详解】解：由导出整式的定义可知，∴，解得． 由于的解为负数，则，且或，解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即综上所述，．故答案为：． 类型4：方程（组）的新情景或跨学科问题 1．（2025·成都·校考一模）若中每一个数值只能取，，中的一个，且，求的值 ． 【答案】 【详解】设有个取，个取，有 ，解得 ， 所以原式．故答案为：． 2．（2024·四川成都·校考一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则 ． 【答案】 【详解】根据题意得：，解得： ，，故答案为： 4．（2025·湖南湘西·三模）在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”，设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”，如图所示的的正方形网格： ，， 图中格点多边形的面积是21． 已知一个格点多边形的面积为14，且边界上的点数是内部点数的3倍，则 ．    【答案】24 【详解】解：根据题意得故答案为： 4．（2025·成都·三模）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 【答案】13 【详解】解：根据题意得：，解得：，．故答案为：13． 1．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴，∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，，∴，，∴， ∵，∴，选项D结论错误，符合题意．故选：D． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中正确的是（   ）（多选题） A．是方程组的解 B．当时，的值互为相反数 C．当时，方程组的解也是方程的解 D．若，则． 【答案】BCD 【详解】解：解方程组得， A、当时，则，解得，不符合，故不合题意，故不是方程组的解，本选项错误； B、当时，，，，的值互为相反数，本选项正确； C、当时，方程组的解为，满足方程，本选项正确； D、当时，，解得， ∵，∴，∴，，即，本选项正确。故选：BCD 3．（2025·成都·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的有 （填正确答案的序号）。①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． 【答案】①③④ 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得，，，故②错误； ③若，则,，，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有，解得，，当时，不合题意， 当时，，， 当时，得,则，此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【详解】解：把代入，得：， ∵，∴，即：， ，得：， ∵方程组有解，∴，∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：；故答案为：． 5．（2025·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 【答案】且 【详解】解：，化简得：， ∵，即，∴，解得：， ∵有实数根，∴，解得：， ∴综上且，故答案为：且． 6．（2025·成都·校考二模）已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 【答案】 【详解】解：设方程的一个根为，则是方程的一个根， ∴①，，即②， 得，解得或， 当时，代入①，得，不符合题意，舍去； 当时，代入①，得，得；综上，；故答案为：． 7．（2025·四川成都·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：是方程的根，，即， ，故答案为：． 8．（25-26九年级上·成都·校考期末）若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵为方程的实数根，∴，即， ∴ ∵方程的两个实数根为，，∴， ∴．故答案为：． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）中，，于点D，、的长是方程的根，若的面积为40，则 ． 【答案】16 【详解】解：如图， ∵、的长是方程的根，∴，； ∵的面积为40，∴；∴； ∵，∴， ∵，∴，∴； ∴，∴．故答案为：16． 10．（24-25九年级上·四川成都·校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【答案】 【详解】方程有两个实数根，， ，解得：； 原方程的两个实数根为、，，，，， ，，，且，整理得，， ∵，∴， ∵，∴解得：．故答案为：，． 11．（24-25九年级上·四川成都·校考期末）已知实数，满足，，则 ． 【答案】或2 【详解】解：实数，满足，， 可将，看作是方程的根， 当时，， 当时，由根与系数关系可得，，整理代入， ，故答案为：或2． 1．（2025·成都·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，，∴①③正确，②不正确； ∵，∴④不正确，故答案为：①③． 2．（2025·成都·模拟预测）已知关于的方程只有一个实数解，则实数的值为 ． 【答案】或或． 【详解】解： 去分母得：，整理得：　　① 当方程①有两个相等的实数根时，，解得， ∴，解得：，检验：满足题意； 当方程①有两个不相等的实数根时，，解得： 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴解得：另一个根，检验：当时，满足题意； 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴，解得：另一个根，检验：当时，满足题意； 综上，或或． 3．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得，即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以，与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ；当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1；(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；(3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例：(2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【详解】（1）解：小明的猜想不正确．反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以，由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有，此时，，所以； 当时，必有，此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $