重难点01 与方程、不等式（组）有关的参数问题（B卷21）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦方程（组）与不等式（组）参数问题，覆盖不等式组含参（有解无解、整数解）、分式方程含参（增根、解的正负）、一元二次方程含参（根的判别式、韦达定理）等中考核心考点，通过“考点梳理-方法指导-真题典例-变式训练”流程，帮助学生构建知识体系，突破参数问题难点。 亮点在于分层设计“固根基-拓能力”练习，结合2025年各地模拟真题，通过分式方程增根分类讨论培养推理意识，不等式组整数解数轴分析提升抽象能力。特设“典例精讲+即时变式”环节，教师可依托资料精准把控复习节奏，助力学生高效掌握参数问题解题策略，提升中考应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 重难点01 与方程（组）、不等式（组）有关的参数问题（B21） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 23 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 与方程（组）、不等式（组）有关的参数问题 1、不等式（组）含参问题的解题步骤： ①将参数当成“常数”解出不等式组；②“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。 注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是x的值。 2、分式方程含参问题 1）有增根 含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法： ①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)； ②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数； 2）无解与有解 含有参数的分式方程无解求参数的一般方法： ①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；②讨论整式方程无解的情况：1）当a=0时，方程满足无解；2）当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。 当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。 3）解为正或负数等 用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 （1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围。 4）整数解问题 先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。 注：所有分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。 3、一元二次方程与一次方程（组）含参问题： 1）一元二次方程主要借助判别式和韦达定理根据具体情况解决即可。 2）一次方程（组）含参中的有解、无解、整数解问题也需要适当关注。 不等式（组）含参型 题型01 不等式与方程组含参结合问题 【典例】（2025·成都·校考一模）已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是 ；（）如果，且，那么的最大值为 ． 【变式】1．（2025·成都·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 题型02 不等式组含参之有解、无解 【典例】（2025·湖南娄底·二模）若不等式组的解集不是空集（即有解），则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式】1.（2025·成都·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可） 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）关于x的不等式组无整数解，则实数a的取值范围是 ． 题型03 不等式组含参之已知解集 【典例】（2025·成都·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【变式】（2025·广东·校考三模）已知不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式】（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值 ． 题型04 不等式组含参之整数解个数 【典例】（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·四川成都·校考一模）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ． 【变式】2．（24-25九年级下·上海·期中）关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有 对． 【变式】3．（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 题型05 不等式组含参之新定义 【典例】（2025·成都·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 【变式】1．（2025·成都一模）对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是 ； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是 ． 【变式】2．（24-25九年级·福建漳州·自主招生）定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围 ． 题型06 其他不等式（组）含参 【典例】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·黑龙江绥化·一模）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 分式方程含参型 题型01 分式方程含参之增根与无解、有解 【典例】（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【变式】1．（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【变式】2．（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式】3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 题型02 分式方程含参之解为正数或负数等 【典例】（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【变式】2．（2025·成都·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【变式】3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 题型03 分式方程含参之整数解 【典例】（2025·成都·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【变式】1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）若整数a使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 题型04 分式方程与不等式含参综合问题 【典例】（2025·重庆大渡口·二模）若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【变式】1．（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【变式】2．（2025·重庆开州·二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【变式】3．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 一元二次方程与一次方程（组）含参型 题型01 一元二次方程含参之已知方程的根 【典例】（25-26九年级上·成都·校考期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 【变式】1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）关于的一元二次方程有一个解为0，则 ． 题型02 一元二次方程含参之已知根的个数 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可） 【变式】2．（25-26九年级上·重庆江津·月考）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ． 【变式】3．（2025·成都·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ． 题型03 一元二次方程含参之已知根表达式 【典例】（2024·四川成都·一模）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为、，且，则的值为 ． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·月考）已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为 ． 【变式】2．（2025九年级·成都·培优）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式】3．（2025九年级上·成都·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 一次方程有解与无解、整数解 【典例】（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26九年级上·重庆·期中）如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【变式】2．（24-25九年级下·广东·月考）已知关于的方程有负整数解，且关于的不等式有正整数解，则整数的所有可能的取值之积为 ． 题型05 二元一次方程组有解与无解 【典例】（24-25九年级下·成都·期中）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【变式】1．（24-25九年级下·成都·月考）在二元一次方程组中，若这个方程组没有解，则k的值是 . 【变式】2．（24-25九年级下·成都·期中）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是 ． 题型06 不等式（组）、方程（组）与函数含参综合问题 【典例】（2025·四川成都·一模）关于的不等式组有解，则关于的二次函数的顶点所在象限是 ． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期中）若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数为 ． 【变式】2．（2025·成都·一模）抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4，方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【变式】3．（24-25九年级上·成都·期末）关于x的分式方程的解为整数，且关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则符合条件的所有整数m的和为 ． 1．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25九年级下·成都·期中）若关于的不等式的解是不等式的解的一部分，则的取值范围是 ． 3．（2025·成都·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 4．（2025·四川成都·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 5．（24-25九年级上·成都·月考）关于的二次函数与轴有交点，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）已知k为整数，关于x的分式方程解也为整数，且关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的k值为 ． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 9．（25-26九年级上·成都·月考）已知关于的一元二次方程满足．若一元二次方程的两实根为，，且，则之间的数量关系为 ． 10．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 1．（2025·四川成都·模拟预测）若整数使得关于的分式方程有整数解，且使得二次函数的值恒为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 3.（2025·四川成都·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 4．（24-25九年级下·成都·期中）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是    ． 5．（24-25九年级上·成都·月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 重难点01 与方程（组）、不等式（组）有关的参数问题（B21） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 23 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 与方程（组）、不等式（组）有关的参数问题 1、不等式（组）含参问题的解题步骤： ①将参数当成“常数”解出不等式组；②“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。 注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是x的值。 2、分式方程含参问题 1）有增根 含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法： ①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)； ②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数； 2）无解与有解 含有参数的分式方程无解求参数的一般方法： ①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；②讨论整式方程无解的情况：1）当a=0时，方程满足无解；2）当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。 当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。 3）解为正或负数等 用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 （1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围。 4）整数解问题 先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。 注：所有分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。 3、一元二次方程与一次方程（组）含参问题： 1）一元二次方程主要借助判别式和韦达定理根据具体情况解决即可。 2）一次方程（组）含参中的有解、无解、整数解问题也需要适当关注。 不等式（组）含参型 题型01 不等式与方程组含参结合问题 【典例】（2025·成都·校考一模）已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是 ；（）如果，且，那么的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：， 得：， 得：，系数化为得：， 把代入方程得：，解得：，， ，，解得：，故答案为：； 解：，，， 又，，，， 的最大值是，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解，∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴，∴解得：，故答案为． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数，∴，解得：，∴，则， ∵，即，∴，∵，∴b的范围是，则， ∴，解得，∴，即，故答案为：． 题型02 不等式组含参之有解、无解 【典例】（2025·湖南娄底·二模）若不等式组的解集不是空集（即有解），则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：， 解不等式①得：，解不等式②得：， ∵不等式组的解集不是空集，∴， 当时，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上，的取值范围为或．故选：C． 【变式】1.（2025·成都·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：， 解：由①得：，由②得：， 原不等式组无解，；故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：若关于的一元一次不等式组无解，则， 的值可以是，故答案为：答案不唯一． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）关于x的不等式组无整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由不等式，得， （1）当不等式有解时，解不等式得：，∴，解得：； （2）当不等式无解时，，解得：；综合（1），（2）可得：． 题型03 不等式组含参之已知解集 【典例】（2025·成都·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【答案】． 【详解】解：由，得到，即，已知不等式组的解集为， 则第一个不等式的解集必须包含第二个不等式的解集， 因此的取值范围应满足．故答案为：． 【变式】（2025·广东·校考三模）已知不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：，解①得，，解②得，， 由数轴特点得到公共部分为不等式的解集，即， ∴，解得，，∴，故选：D ． 【变式】（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解，得，解，得， ∵不等式组的解集为，∴，解得 ．故选：A． 【变式】（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值 ． 【答案】3 （答案不唯一） 【详解】解：不等式组，由①得：， ∵不等式组的解集为，∴．故答案为：3 （答案不唯一）． 题型04 不等式组含参之整数解个数 【典例】（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式①得；解不等式②得 则不等式组的解集为；∵不等式组只有4个整数解∴整数解是，，，1． ，解得；故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·校考一模）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由，可得． ∵原不等式组的整数解仅有5个，∴,解得：．故答案为：． 【变式】2．（24-25九年级下·上海·期中）关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有 对． 【答案】6 【详解】解：不等式组， 由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为：， 整数解只有1和2，则有：，解得：， 当和均为整数时，或或，或，∴整数对有对．故答案为：6 ． 【变式】3．（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：解不等式组，解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或；故答案为：或． 题型05 不等式组含参之新定义 【典例】（2025·成都·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：解方程，得：，解方程，得：， 由，得：，由，得：， 均是不等式组的解，且，，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都一模）对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是 ； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 （4，2） 【详解】解：（1）∵a=4>3，∴=b-1=3-1=2，∴点（4，3）的纵变点是（4，2）故答案为：（4，2）． （2）∵ ①当a≤3时，，∴解得：； ②当时，，∴，∴无解 综上所述，的取值范围是．故答案为：． 【变式】1．（24-25九年级·福建漳州·自主招生）定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴①， ②， 由不等式①，得：，由不等式②，得：，∴ ∵m恰好有个整数解，∴，解得：；故答案为：． 题型06 其他不等式（组）含参 【典例】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式的解都能使不等式成立，∴当，即时 不等式，，， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立，所以满足条件． 当，即时不等式其解为． 因为的解都能使成立，所以． 解不等式：，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式：，结合前提，得到． 综合以上三种情况．故答案为：． 【变式】1．（2025·黑龙江绥化·一模）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 解不等式①得：；解不等式②得： ∴不等式组的解集为：；故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得，；解不等式得，， 所以不等式组的解集为：，则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以，解得．故答案为：． 分式方程含参型 题型01 分式方程含参之增根与无解、有解 【典例】（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或/1或 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时满足原方程无解； 当，即时，解得， ∵原方程无解，∴是原方程的增根， ∴，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 综上所述，或，故答案为：或． 【变式】1．（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【答案】3 【详解】解：，去分母，得：， ∵方程有增根，∴，∴， ∴，∴；故答案为：3 【变式】2．（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或3 【详解】解：方程去分母，得：，整理，得：； ∵方式方程无解，①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：，解得：；故答案为：1或3． 【变式】3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且且，解得且，故选：C． 题型02 分式方程含参之解为正数或负数等 【典例】（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】，且 【详解】解： 根据分式方程的解为负数可得，且，即， 解得，且，故答案为：，且． 【变式】1．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且，解得：且，故答案是：且． 【变式】2．（2025·成都·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：去分母，得，解得：，分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数，∴， 解得：，且．故答案为：且． 【变式】3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：；．解得． ∵方程的解的取值范围为，∴，∴． ∵分母不能为，即，把代入得，解得． ∴的取值范围是且，故选：C． 题型03 分式方程含参之整数解 【典例】（2025·成都·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数，∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个．故答案为：3． 【变式】1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且解得或， 即方程的解为正整数的个数是2，故选：B 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）若整数a使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】1或5 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数解， ∴，解得：， ∵，∴，解得：， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴且，解得：且，∴且， ∵是整数，∴或5，故答案为：1或5． 题型04 分式方程与不等式含参综合问题 【典例】（2025·重庆大渡口·二模）若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】 【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：， ∵关于的不等式组至多有两个偶数解， ∴，解得：，解分式方程， ，， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴且，∴的值为或 符合条件的整数的值的和为，故答案为：． 【变式】1．（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】16 【详解】解：， 解①得：，解②得：， 关于的一元一次不等式组无解，，解得，解方程得， 关于的分式方程的解为非负整数，且，是偶数， 解得且，是偶数，且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：16． 【变式】2．（2025·重庆开州·二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【详解】解： 两边同时乘以6得：解得：，，解得：， 因为一元一次不等式组的解集为，所以，解得：； 通分得到：解得：， 因为分式方程的解为整数，所以且，解得：且， 所以满足条件的整数为：，，2，3，4，5， 它们的和为：，故答案为：． 【变式】3．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】5 【详解】解：分式方程的两边都乘以得：，解得， ，，， 方程的解为正数，，且； ，解不等式①得：，解不等式②得：， 不等式组的解集为，．且 整数的和为；故答案为：5． 一元二次方程与一次方程（组）含参型 题型01 一元二次方程含参之已知方程的根 【典例】（25-26九年级上·成都·校考期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 【答案】2 【详解】解：把代入得：，解得：，故答案为：2． 【变式】1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的根， ∴，∴代数式的值为5．故选：B． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）关于的一元二次方程有一个解为0，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解为0， ∴将代入方程，得，解得或， 又∵该方程为一元二次方程，∴二次项系数，即，∴．故答案为． 题型02 一元二次方程含参之已知根的个数 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得．故选：C 【变式】1．（2025·成都·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：方程的判别式为， 由于有两个不相等的实数根，故，即，解得， 因此，整数p可以取 2、1、0 等，故答案为：2． 【变式】2．（25-26九年级上·重庆江津·月考）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ． 【答案】30 【详解】解：解不等式组可得， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为4，3，2，∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，解得：∴a的范围是， ∴整数a的值为9、10、11，它们的和为30．故答案为30． 【变式】3．（2025·成都·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则，且判别式，即，解得， 故的最小值为．故答案为：． 题型03 一元二次方程含参之已知根表达式 【典例】（2024·四川成都·一模）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为、，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程为， ∴，，，∴，， ∵，即，∴，解得：或， 当时，原方程为．，∴符合题意， 当时，原方程为．，∴不符合题意，应舍去，故答案为：． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·月考）已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解∶∵，是关于的方程的两个实数根，∴， ∵，即， ∴，整理得：，解得：或5． 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意；故答案为：． 【变式】2．（2025九年级·成都·培优）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于的方程的两根分别为和，∴，， ∵，∴，则， ∴，∴，则，故选：C． 【变式】3．（2025九年级上·成都·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程的根为，，由根与系数关系，，， 代入不等式，得，化简得，，， 又方程有实根，判别式，．综上，，故选． 题型04 一次方程有解与无解、整数解 【典例】（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， ∵方程无解，∴，解得，故选A． 【变式】1．（25-26九年级上·重庆·期中）如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【详解】解：由题意得：当时，关于的方程有解，解得，故选：C． 【变式】2．（24-25九年级下·广东·月考）已知关于的方程有负整数解，且关于的不等式有正整数解，则整数的所有可能的取值之积为 ． 【答案】24 【详解】解：关于x的方程的解为， ∵关于x的方程有负整数解，∴，解不等式，得， ∵关于x的不等式有正整数解，∴， ∴且、 是整数， ∴， ∴符合条件的所有a的值的积是．故答案为：24． 题型05 二元一次方程组有解与无解 【典例】（24-25九年级下·成都·期中）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ，得， 即∴， ∵无论m为何值，方程组都有解，∴，即，且，∴．故答案为：6 【变式】1．（24-25九年级下·成都·月考）在二元一次方程组中，若这个方程组没有解，则k的值是 . 【答案】-6 【详解】解：②×3+①得，，即， ∵已知方程组无解，∴，∴，故答案为：-6． 【变式】2．（24-25九年级下·成都·期中）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是 ． 【答案】且． 【详解】解：∵关于，的方程组无解， ，得，∴，解得：且，故答案为：且． 题型06 不等式（组）、方程（组）与函数含参综合问题 【典例】（2025·四川成都·一模）关于的不等式组有解，则关于的二次函数的顶点所在象限是 ． 【答案】第三象限 【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，， ∴原不等式组的解集是，∴，解得， ∴二次函数的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴关于的二次函数的顶点所在象限是第三象限，故答案为：第三象限 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期中）若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数为 ． 【答案】2，1，0，，． 【详解】解：整数使得关于的一元二次方程有实数根， ，，解得且， 由，解得，故，因为最多有6个整数解，所以， 综上所述，整数可以为2，1，0，，．故答案为：2，1，0，，． 【变式】2．（2025·成都·一模）抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4，方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵抛物线的对称轴是直线，∴，即． ∵抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4， ∴该抛物线与x轴两个交点的坐标分别为，， 将点的坐标代入，得，∴方程可转化为． ∵方程有两个不相等的实数根，，且， ∴． 将方程转化成g关于x的函数为． 把代入，得； 把代入，得． 当时，解得；当时，无解． 综上可知，a的取值范围是．故答案为：． 【变式】3．（24-25九年级上·成都·期末）关于x的分式方程的解为整数，且关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】13 【详解】解：去分母得，整理得，当时，， 为整数，，，，，为3，1，4，0，5，，8， ，，解得，的值为3，1，4，0，5，，， 关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 且，解得且，的值为0，1，3，4，5， 符合条件的所有整数的和为．故答案为：13． 1．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：，由①得，，由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或，解得或，故选：． 2．（24-25九年级下·成都·期中）若关于的不等式的解是不等式的解的一部分，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由不等式可知，，解得或， 不等式，即解得， 不等式的解是不等式的解的一部分， ，即．故答案为：． 3．（2025·成都·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， a的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一）． 4．（2025·四川成都·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【详解】解：去分母，得，解得， ∵关于x的分式方程有增根，∴，∴，解得，故答案为：． 5．（24-25九年级上·成都·月考）关于的二次函数与轴有交点，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，且 ，解得，且 ， 分式方程去分母得，解得且， 分式方程的解为整数，，且即， 解得，满足条件的的值为， 所有满足条件的整数的值之和为：，故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）已知k为整数，关于x的分式方程解也为整数，且关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的k值为 ． 【答案】5 【详解】解：由分式方程可得，且， ∵一次函数不经过第四象限∴，即 又∵、都为整数，且∴或或又∵∴故答案为： 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 【答案】 【详解】解：∵两实数根，， ∴，，由 ， 代入得 ，即 ， 化简得 ，即，解得 ，， 又判别式 ，即 ， 故 不符合，舍去， 符合，故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】解：，，得：，即， ∵方程组有解，∴，即，不等式组，整理得， ∵不等式组有且只有个整数解，∴，解得， ∴符合条件的整数m的值的和为，故答案为：． 8．（25-26九年级上·成都·月考）已知关于的一元二次方程满足．若一元二次方程的两实根为，，且，则之间的数量关系为 ． 【答案】或 【详解】解：∵方程的两实根为，，∴，， 又∵，∴，∴， ∵，∴，整理得： ，∴或， ∴之间的数量关系为或．故答案为：或． 10．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，(2)(3)存在， 【详解】（1）解：解不等式①得：，解不等式②得：， ∴不等式组的解集为，∴，整点为，故答案为：；，； （2）解：解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，，∴，解得：，∴， 当时，即时，， ∵，，，∴，解得，,∴ 当时，方程组解为：，满足题意，综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为，∴，不符合， 当时，不等式的解集为，∵，∴，解得：， 当时，不等式的解集为，∴，解得：， 当，不等式的解集为，∴，解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解，综上所述：， ∴为，解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，∴，解得：． 1．（2025·四川成都·模拟预测）若整数使得关于的分式方程有整数解，且使得二次函数的值恒为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】15 【详解】解：二次函数的值恒为非负数， ，解得：，解分式方程得：, ,,、均为整数，时，；时，；时，； 所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：15． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得，∴∴，解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，，∴，解得， ∴整数，，，，和为．故答案为：19． 3.（2025·四川成都·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为， 不等式组有解且最多有4个整数解，，解得：， ∵，分式方程去分母得：，解得：，且，∴， 分式方程的解为整数，或， 则满足题意整数之和为．故答案为：． 4．（24-25九年级下·成都·期中）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是    ． 【答案】22 【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，， 关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解， 这两个整数解是3，4，，，解方程得， 关于 y 的方程的解是负整数，或或或或或， 或4或5或6或8或14，符合条件的所有整数为和， ，符合条件的所有整数 a 的和是，故答案为：． 5．（24-25九年级上·成都·月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则，解得：，此时， ∴，解得：，∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ，解得：，或， 当时，，∵，设，则不在的范围内， ∴，解得， 当时，原方程为：，解得，，， 两个根都在的范围内，不符合题意； 当时，原方程为：，解得，，， 不在的范围内，符合题意；因此， 当时，，∵，∴不在的范围内， ∴，解得无解， ∴的取值范围为或，故答案为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $