重难点01 规律探究型与新定义问题（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“规律探究型与新定义问题”这一中考高频重难点，涵盖数字猜想、数式规律、图形变化、数阵排列、周期探究及新定义运算等核心考点，构建“类型梳理-解题核心-典例精析-变式训练”的知识体系，通过考点分类、方法提炼、真题讲解帮助学生突破B卷填空压轴题。 亮点在于“分层锤炼”设计与“素养导向”教学，如数字规律探究的“一验差值、二联序号”速记口诀，培养学生推理意识，新定义问题通过“新旧知识转化”策略提升模型意识。配套基础巩固与创新拓展练习，结合5分钟方法小结环节，助力学生高效掌握逻辑推理与代数建模能力，教师可据此精准把控复习节奏，实现针对性突破。

第一章 数与式 重难点01 规律探究型与新定义问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 19 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 规律探究型问题 规律探究问题（特别是数字规律探究与新定义结合）是成都中考近三年高频重难考点，主要以B卷填空题（压轴题B22或B23）形式出现，核心考查逻辑推理与代数建模能力。 1、规律探究主要类型 1）数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题。 2）数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容。 3）图形规律型:图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合。 4）数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题。 2、数与式规律探究常考点： 1）常见数列和数阵导：等差、等比、平方 、立方型、递推型（如相邻项差为新数列）、分组建模（如奇偶项分规律）等数列，或三角形数阵、矩形数阵、螺旋数阵等。 解题核心：多维度数阵的行列规律拆解（如行内公差、列间递推），递推数列的“差数列”转化，含符号交替（如）的通项构建。 2）常见代数式（整式、分式、根式）规律：整式展开式（如的项数 、系数规律）、分式裂项（裂差型、裂和型）、二次根式复合形式规律等。 解题核心：结合乘法公式（平方差、完全平方）的代数式规律推导，根式有理化后的规律提炼，分式裂项的 “通式逆推”。 3）周期型数式：数字周期、符号周期、多周期叠加等。 解题核心：数、式的周期变化特征（如数字、符号、运算结果的重复周期），确定周期长度后求解指定项、余数、求和问题、多周期叠加（如符号周期 + 数值周期）的规律拆解，周期起点的判断，结合整除性的周期项计算。 题型01 数字规律探究 数字的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【典例】（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【答案】 【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于，即前2025个数共有组， ∴奇数有个．故答案为：． 【变式】1．（2025·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ． 【答案】 【详解】解：，，，，…，这组数为：，，，…， 这一组数的第个数是，第个数是，故答案为：，． 【变式】2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 【答案】 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：，， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：，故答案为：． 【变式】3．（2025·山东日照·二模）对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则．例如，若…，依此规律进行下去，得到一列数（为正整数），则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，，， ，，，…， ∴，∴．故答案为：． 题型02 单（多）项式规律探究 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键。 2）把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键。 【典例】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是，∴第n个数是，故选：A． 【变式】1．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个代数式为，第2个代数式为， 第3个代数式为，第4个代数式为，第5个代数式为，……， 以此类推，可知，第n个代数式是，故选：A． 【变式】2．（2025·江苏·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为，第个单项式为．故选：B． 【变式】3．（2025·广东·校考一模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，故第n个多项式为，故选：B． 题型03 数阵（或数表）规律探究 求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就是所求的数字了。 例如：（m，n）= 。 【典例】（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】已知，则m的值为 【答案】 【详解】解：， ，，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）由2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…组成的三角形数阵如图所示．则第n行的n个数的和是 ． 【答案】 【详解】解：由三角形数阵得，第n行有n个偶数， 则前行共有正偶数：个， ∴第n行第1个偶数为：， 第行最后一个偶数为：， 第n行的n个数的和是：．故答案为：． 【变式】2．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为 ． 【答案】729 【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0， 前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为（个）， 同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为（个）， 前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为（个）， 前64行中“1”的个数是前32行中“1”的个数的3倍，即前64行中“1”的个数为（个）， 故答案为：729． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）著名数学家华罗庚曾经谈到我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是其中一例．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是 ． 【答案】 【详解】解：第三行的第三个数是，第四行的第三个数是， 第五行的第三个数是，，第行的第三个数是 第行的第三个数是，故答案为：． 题型04 等式规律探究 要求学生通过观察一组等式，发现其中的数字、运算或结构规律，并据此推导出一般性结论或填写后续等式。这类题目考查的是‌观察力、归纳推理能力和数学表达能力‌。 【典例】（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：；… 根据以上规律，解决下列问题：(1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，详见解析 【详解】（1）解：由题意，第五个等式为：；故答案为：； （2）由题意，第个等式为：； 证明：∵左边， 右边，∴左边右边，∴等式成立．故答案为：． 【变式】1．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ；… ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【详解】（1）解：补充航航同学的分析：， ． 补充悦悦同学的分析：图n中有个圆，∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得，解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 【变式】2．（2025·安徽芜湖·一模）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①； ②； ③； ④． (1)请用上面的拆分方法拆分； (2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据） 【答案】(1)(2)．理由见解析(3)见解析 【详解】（1）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③； ④．则； （2）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③； ④．则第个式子为， 理由：∵右边，左边， ∴左边右边，∴成立； （3）解：如图，满足要求. ， 大正方形面积为等于小正方形的面积加两个矩形面积，即. 题型05 图形（固定累加型）规律探究 对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a，在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b(n-1)。 【典例】（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点，第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点，所以第⑥个图中圆点的个数是个，故选：C． 【变式】1．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【答案】 【详解】解：由所给图形可知，当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：；， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个．故答案为：． 【变式】2．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 【答案】120 【详解】解：第1层，用砖1块，新增外围用砖（块）， 第2层，新增外围用砖（块），第3层，新增外围用砖（块）， 第4 层，新增外围用砖（块），所以第层新增外围用砖为块， 所以第16层，新增外围用砖为（块）．故答案为：． 【变式】3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：观察发现：第一个图形有个黑色棋子，第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子，…，第n个图形有个黑色棋子，故答案为：． 题型06 图形（分类累加型）规律探究 首先应观察图形区分图形累加的各部分，分别求出各部分累加规律，再将各部分关系式相加，得到第n项（某项)图形的数量与序数关系式. 【典例】（2025·陕西·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为，化学式为；乙醇中碳原子的数目为，化学式为；丙醇中碳原子的数目为，化学式为，按照此规律，碳原子的数目为的醇的化学式是 ． 【答案】 【详解】解：甲醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； 乙醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； 丙醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为；， 按照此规律，醇中碳原子的数目为，其氢原子的数目为，化学式为， 碳原子的数目为的醇的化学式为．故答案为：． 【变式】1.（2025·重庆·模拟预测）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【答案】B 【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，…… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，，∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28．故选：B． 【变式】2.（2026·江西·模拟预测）跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，醚类的化学式中，氧原子(O)的数目为1，且位于中间，左右两侧所含原子种类相同和数量相等，且氧原子每侧的氢原子(H)的数目比该侧的碳原子(C)数目的2倍多1，故当碳原子(C)的总数目为 (n为正整数)时，醚类的化学式可以表示为.故选：D. 题型07 图形（渐变累加型）规律探究 1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出关系式即可。 2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数，在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系，从而总结规律推导出关系式。 【典例】（2025·山东·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；…… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ． 【答案】 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；…… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为 个． 【答案】40 【详解】解：第1个图案有小黑点（个）；第2个图案有小黑点（个）； 第3个图案有小黑点（个）；第4个图案有小黑点（个）；……； ∴第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）； ∴第6个图案中的小黑点个数为（个）；故答案为：40． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）下列图形都是用同样大小的❤按一定规律组成的，则第（8）个图形中共有❤ 个． 【答案】 【详解】解：由题意得：第1个图形有个❤，第2个图形有个❤， 第3个图形有个❤，第4个图形有个❤，， ∴第个图形有个❤，∴当时，，∴故答案为：． 【变式】3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形；第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形；； 第n个图形中有个三角形．故答案为： 【变式】4．（2025·绵阳·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，故选：B． 题型08 周期型规律探究 【典例】（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵， ∴第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为， 所以经过3次操作后游戏结束； （2）因为，所以，，， ，，， ，，……，由此看出从开始3个一循环， ∵，所以与相同，也就是．故答案为：3； 【变式】1．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，，…，，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：将代入中，得，将代入中，得⋯， 故变化规律为：当n为正整数时，，， ∴，∴，故答案为：2． 【变式】2．（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，；； ；；…， 发现的值是循环出现，周期为3，，故．故答案为：． 【变式】3．（2025·山东济宁·二模）在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是 ． 【答案】63 【详解】解：第一次操作，初始数为36，最大数为63，最小数为36，则最大数与最小数的差为， 第二次操作，初始数为27，最大数为72，最小数为27，则最大数与最小数的差为， 第三次操作，初始数为45，最大数为54，最小数为45，则最大数与最小数的差为，补零后为09， 第四次操作，初始数为09，最大数为90，最小数为09，则最大数与最小数的差为 第五次操作，初始数为81，最大数为81，最小数为18，则最大数与最小数的差为， 第六次操作，初始数为63，最大数为63，最小数为36，则最大数与最小数的差为，……， 以此类推可知，从第一次操作开始，每五次操作位一个循环，操作的结果依次为27，45，09，81，63， ∵，∴将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是63，故答案为：63． 重难点二 新定义问题 新定义问题是成都中考近三年高频重难考点，主要以B卷填空题（压轴题B21或B23）形式出现，核心考查知识迁移与运用能力、信息处理与理解能力。 1、新定义型 1）新定义概念型：解新定义概念型问题，要把握新概念的现实模型，理解新概念的形成过程，以便于正确应用新概念进行分析、解决问题。 2）新定义运算型：把新定义运算转化为一般的实数运算是解这类阅读理解题的关键。 2、新公式型 新公式型问题常见的三种类型 1）新数学公式型：通过材料，给出新的数学公式，根据新的数学公式解决所给问题。 2）新变换法则型：通过材料，给出新的数学变换法则，根据新的变换法则解决所给问题。 3）新规定型：通过材料，给出新的规定，根据新规定解决所给问题。 3、新解题方法型 新解题方法型问题常见的两种类型 1）以例题的形式给出新方法：材料中首先给出一道例题及其解题方法，然后仿照新的解题方法解决与例题类似的问题。这类新方法型题在中考中最为常见，值得关注。 2）以新知识的形式给出新方法：先给出体现一个新解题方法的材料。通过阅读体会新方法的实质，然后用新方法解决相关的问题。 题型01 新定义型问题 1)正确理解新定义运算的含义,认真分析题目中的定义,严格按照新定义的运算顺序进行运算求解,切记不可脱离题目要求。 2)在新定义的算式中,若遇有括号的也要先算括号里面的。 3)材料中的新概念、新运算与我们已学过的概念、运算有着密切的联系,注意“新”“旧”知识之间的联系与转化。 【典例】（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数，则， 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是，故答案为：117，665． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【详解】解：由，得， 则, ∵，，、b、c不全为零，、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而，恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数，即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个，第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为．故答案为：5，． 【变式】2．（成都中考真题改编）在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推，当n为偶数时，；故答案为：． 【变式】3．（2025·重庆·二模）若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是 ．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是 ． 【答案】 ； 【详解】解：设，则，其中、为整数，且，， 则， 整理得：，当最大时，最大， 当，时，，故答案为：； 解：设，则，其中、为整数，且，， 则，， 整理可得：，， ， 整理得：， （为整数），， 整理得：，是完全平方数， ，，且、为整数，，， ，， ，， 整理得：， 又的二倍与的和除以余数为，，， 当时，则，，（不合题意，舍去） 当时，则，，， 综上所述，正整数的值为． 题型02 新公式型问题 新公式应用型阅读题的解题策略： 1）通过对所给材料的阅读，从中获得新的数学公式或某种新的变换法则。 2）分析新公式的结构特征及适用范围。 3）将新公式转化为已学知识，寻找解决问题的突破口，进而利用新公式解决问题。 【典例】（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【详解】解；（1）∵，∴15进行一次变换后得到的数为； ∵，∴15进行二次变换后得到的数为； ∵，∴15进行三次变换后得到的数为2，故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2，∴所有满足条件的n的值之和为，故答案为；11． 【变式】1．（2025·吉林·模拟预测）设，是实数，定义@的一种运算如下：@，则下列结论：①若@，则或；②@@@；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：根据题意得：@，， 整理得：，即， 解得：或，正确； @ @@，@@@，正确； @，@， 得到，则， 把看成关于的一元二次方程，∴， ∴只有时，即只有当时成立，此时，则， ∴存在实数，，满足@；故③错误； @，，则，即， ，的最大值是，此时，解得， @最大时，，故正确．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以 则下列说法正确的是 （ 填正确答案的序号  ） ①；②；③；④若，则， 【答案】①②③④ 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴，∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即，∴，∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴，∴，∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有①②③④．故答案：①②③④． 【变式】3．（2025·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如。(1)证明(2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 【答案】(1)见解析(2)(3)1 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）解：∵，，，， ∴，，， ，……， 以此类推可知，， ∴.故答案为：. （3）解：∵∴ ∵ ∵∴综上所述∴.故答案为：1. 题型03 新解题方法型问题 1）认真阅读题目，理解掌握新的解题方法是解决新问题的关键。 2）体会转化思想在解新方法型阅读题中的作用，理解新方法并进行转化，用我们熟悉的知识来解决新问题。 【典例】（2025·安徽合肥·模拟预测）我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题：(1)观察图形与等式的关系，并填空． ； ； (2)用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 【答案】(1)16，(2) 【详解】（1）解：，；故答案为：16，； （2）证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即． 那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立．故答案为：． 【变式】1．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：；(2)分解因式：． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式】2.（2025·成都·模拟预测末）根据下面材料解决问题． 【材料一】，若，则． 由此得出以下不等式：，当且仅当时有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 【材料二】分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：这样的分式就是真分式；这样的分式就是假分式． 假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如： 【初步尝试】（1）已知，当为____________时，式于的最小值为____________； 【类比运用】（2）已知，且①将化为带分数形式．②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？ 【拓展提升】（3）已知．当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）4；8；（2）①；②时，有最小值，最小值为8；（3）当时，有最大值，最大值为 【详解】（1）由得，， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为8．故答案为：4；8 （2）①， ②由①得 当，即时，有最小值，最小值为8 （3）． 当，即时，有最小值，最小值为5． 当时有最大值，最大值为． 【变式】3.（2025·成都·模拟预测）阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ；问题②：方程的正整数解是 ． 【答案】 ， 【详解】解：，则， ∴，∴，∴， ∵时，，∴没有正整数根， ∴的正整数根是，则方程的正整数解是； ∵，∴，∴， 由是正整数，则是3的倍数，∴设（为正整数），∴，∴， ∵为正整数，∴，且为正整数， 当时，得，得，得（负值舍），则； 当时，得，得，得（负值舍），则； 方程的正整数解是，，故答案为：；，． 1．（2025·江西·二模）将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，按照数的排列规律，第10行第5个数是 【答案】50 【详解】解：根据三角形数阵可知， 第1排，数字有1个，左边第1个为1； 第2排，数字有2个，左边第1个为； 第3排，数字有3个，左边第1个为； 依次类推，第排，数字有个，左边第1个为； 第10排，数字有10个，左边第1个为； 第10行第5个数是，故答案为：． 2（2025·成都·校考一模）1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为 【答案】675 【详解】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现， 又∵，∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．故选：675． 3．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【详解】解：第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：， 第4个式子：，……观察发现，第个式子为，故答案为： 4．（2025·成都·校考二模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2026次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】 【详解】解：∵依次排列的3个数：5，12，10，产生一个新数串：5，7，12，，10 ∴即第一次操作增加， ∵数串：5，7，12，，10操作后产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10 ∴，即第二次操作增加，依次类推，每次操作加5， 则第2026次操作后所有数之和为．故答案是：． 5．（2025·成都·二模）三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则 ． 【答案】 【详解】解：当时， 第一次操作：最大数为1，操作后得到； 第二次操作：最大数为，操作后得到； 第三次操作：最大数为0，操作后得到； 第四次操作：最大数为0，操作后得到； 第五次操作：最大数为，操作后得到； 后续规律：操作进入循环，周期为3， ∵，∴．故答案为：． 6．（2025·成都·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ． 【答案】81 【详解】解：设，则，由题意得：， ∵，∴要使“方减数”最小，需，∴， ∴， 当时， 最小为81．故答案为：81． 7．（2025·四川成都·一模）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【详解】当时，当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时，当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个；…； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个．故答案为：3；． 8．（2025·成都·模拟预测）现有一列数，…，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，则…的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，， ∴，，，，，； ∴每6个数为一循环，且6个数的和为0，； ∴…；故答案为：． 9．（2025·成都·模拟预测）已知是一个各个数位上的数字各不相等的四位正整数，其千位、百位、十位、个位数字分别为，，，，若满足，则称为“奇差数”，那么最大的“奇差数”为 ；若对每一个“奇差数”定义为去掉百位与十位后所得到的两位数，为去掉千位和个位后所得到的两位数，进一步设，若能被整除，则满足条件的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：千位数字，取最大，即最大能取，取．∴， ∵∴，∴最大取，此时，∴这个最大的“奇差数”是 ； 由定义知，，又因为，即 ． ∴ ． 把 代入上式得 ∵能被整除，∴的结果末尾数字是或． 当的结果末尾数字是5时，的末尾数字是0，此时不符合题意， ∴的结果末尾数字是． ∵能被5整除，∴．要使最大，千位尽量大， 当， ．∵，即 ，∴． 为使数大，尽量大，∵数字不同，∴当时， ． 此时，不符合题意，舍去， 当，，，时．此时，不符合题意，舍去， 当，，，时．此时，不符合题意，舍去， 当，，，时．此时，符合题意， ∴最大值为，故答案为：，． 10．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【详解】解：；由题意， 当时，，当时，， 当时，，……，当时，， 又，∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 11．（2025·四川成都·二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，，五种取法，则； 当时，~有种：，，~有2种：，，~有2种，， ~有1种共七种取法，则； 当时，~有种：，，，~有种：，，， ~有种：，，，~有种：，， ~有种：，共九种取法，则； 当时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种，共（种）取法．故答案为：，． 12．（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；…（1）第5个等式为 ；（2）若（a，b为正整数），则 ． 【答案】 【详解】解：；；；； 第5个等式为；根据题中的规律得：的正整数）， ，，，则．故答案为：，． 1．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有 ；若，则 . 【答案】 2和3 14或8 【详解】解：以内的质数有：、、、， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意；所以，以内的质数归一数有和； 由题设可知必为奇数，则为偶数，则有正整数使 或， 或，符合题意，或；故答案为：和；或． 2．（2025·成都·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ，和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为，…… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②．故答案为：①②． 3．（2025·四川成都·二模）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入 次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为 ． 【答案】 5 255 【详解】解：当时，先输入尽量靠中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”，如果错误并提示正确答案比“15”大，再输入“16”则一定正确；所以当时最少输入5次可一定正确． 由题意，当时，输入1次一定能猜中数字： 当时，输入2次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“4”，如果错误并提示正确答案比“4”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字．以此类推， 当时，输入8次一定能猜中数字． 故当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为255，故答案为：5，255． 4．（2025成都·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为 【答案】82 【详解】解：当时，的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为14个； 当时，若b为偶数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或或，共3个； 当，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，若b为3的倍数，则的最大公因数即为3，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或，共2个； 当时，若b不为3的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为4的倍数，则的最大公因数即为4，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有，共1个； 当时，若b为偶数，且b不是4的倍数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为6个； 当时，若b为5的倍数，则的最大公因数即为5，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，若b不为5的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为6的倍数，则的最大公因数即为6，则此时要满足能被整除时，才符合题意，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数且b不能被3整除，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为3个； 当时，若b为奇数且b能被3整除，则的最大公因数即为3，则此时一定能被整除，此时没有符合题意的； 当时，若b为偶数，且b不能被6整除，则的最大公因数即为2，则此时一定能被整除，则或，共2个； 同理当时，此时傅里叶数组的个数为7个；当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个；当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，此时傅里叶数组的个数为2个；当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 综上所述，一共有个，故答案：82． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点01 规律探究型与新定义问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 19 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 规律探究型问题 规律探究问题（特别是数字规律探究与新定义结合）是成都中考近三年高频重难考点，主要以B卷填空题（压轴题B22或B23）形式出现，核心考查逻辑推理与代数建模能力。 1、规律探究主要类型 1）数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题。 2）数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容。 3）图形规律型:图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合。 4）数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题。 2、数与式规律探究常考点： 1）常见数列和数阵导：等差、等比、平方 、立方型、递推型（如相邻项差为新数列）、分组建模（如奇偶项分规律）等数列，或三角形数阵、矩形数阵、螺旋数阵等。 解题核心：多维度数阵的行列规律拆解（如行内公差、列间递推），递推数列的“差数列”转化，含符号交替（如）的通项构建。 2）常见代数式（整式、分式、根式）规律：整式展开式（如的项数 、系数规律）、分式裂项（裂差型、裂和型）、二次根式复合形式规律等。 解题核心：结合乘法公式（平方差、完全平方）的代数式规律推导，根式有理化后的规律提炼，分式裂项的 “通式逆推”。 3）周期型数式：数字周期、符号周期、多周期叠加等。 解题核心：数、式的周期变化特征（如数字、符号、运算结果的重复周期），确定周期长度后求解指定项、余数、求和问题、多周期叠加（如符号周期 + 数值周期）的规律拆解，周期起点的判断，结合整除性的周期项计算。 题型01 数字规律探究 数字的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【典例】（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【变式】1．（2025·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ． 【变式】2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 【变式】3．（2025·山东日照·二模）对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则．例如，若…，依此规律进行下去，得到一列数（为正整数），则 ． 题型02 单（多）项式规律探究 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键。 2）把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键。 【典例】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·江苏·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·广东·校考一模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 题型03 数阵（或数表）规律探究 求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就是所求的数字了。 例如：（m，n）= 。 【典例】（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】已知，则m的值为 【变式】1．（2025·成都·校考一模）由2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…组成的三角形数阵如图所示．则第n行的n个数的和是 ． 【变式】2．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为 ． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）著名数学家华罗庚曾经谈到我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是其中一例．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是 ． 题型04 等式规律探究 要求学生通过观察一组等式，发现其中的数字、运算或结构规律，并据此推导出一般性结论或填写后续等式。这类题目考查的是‌观察力、归纳推理能力和数学表达能力‌。 【典例】（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：；… 根据以上规律，解决下列问题：(1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【变式】1．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ；… ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【变式】2．（2025·安徽芜湖·一模）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①； ②； ③； ④． (1)请用上面的拆分方法拆分； (2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据） 题型05 图形（固定累加型）规律探究 对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a，在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b(n-1)。 【典例】（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【变式】1．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【变式】2．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 【变式】3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 题型06 图形（分类累加型）规律探究 首先应观察图形区分图形累加的各部分，分别求出各部分累加规律，再将各部分关系式相加，得到第n项（某项)图形的数量与序数关系式. 【典例】（2025·陕西·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为，化学式为；乙醇中碳原子的数目为，化学式为；丙醇中碳原子的数目为，化学式为，按照此规律，碳原子的数目为的醇的化学式是 ． 【变式】1.（2025·重庆·模拟预测）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【变式】2.（2026·江西·模拟预测）跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型07 图形（渐变累加型）规律探究 1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出关系式即可。 2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数，在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系，从而总结规律推导出关系式。 【典例】（2025·山东·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；…… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为 个． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）下列图形都是用同样大小的❤按一定规律组成的，则第（8）个图形中共有❤ 个． 【变式】3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【变式】4．（2025·绵阳·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（    ） A． B． C． D． 题型08 周期型规律探究 【典例】（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 【变式】1．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，，…，，则的值为 ． 【变式】2．（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ． 【变式】3．（2025·山东济宁·二模）在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是 ． 重难点二 新定义问题 新定义问题是成都中考近三年高频重难考点，主要以B卷填空题（压轴题B21或B23）形式出现，核心考查知识迁移与运用能力、信息处理与理解能力。 1、新定义型 1）新定义概念型：解新定义概念型问题，要把握新概念的现实模型，理解新概念的形成过程，以便于正确应用新概念进行分析、解决问题。 2）新定义运算型：把新定义运算转化为一般的实数运算是解这类阅读理解题的关键。 2、新公式型 新公式型问题常见的三种类型 1）新数学公式型：通过材料，给出新的数学公式，根据新的数学公式解决所给问题。 2）新变换法则型：通过材料，给出新的数学变换法则，根据新的变换法则解决所给问题。 3）新规定型：通过材料，给出新的规定，根据新规定解决所给问题。 3、新解题方法型 新解题方法型问题常见的两种类型 1）以例题的形式给出新方法：材料中首先给出一道例题及其解题方法，然后仿照新的解题方法解决与例题类似的问题。这类新方法型题在中考中最为常见，值得关注。 2）以新知识的形式给出新方法：先给出体现一个新解题方法的材料。通过阅读体会新方法的实质，然后用新方法解决相关的问题。 题型01 新定义型问题 1)正确理解新定义运算的含义,认真分析题目中的定义,严格按照新定义的运算顺序进行运算求解,切记不可脱离题目要求。 2)在新定义的算式中,若遇有括号的也要先算括号里面的。 3)材料中的新概念、新运算与我们已学过的概念、运算有着密切的联系,注意“新”“旧”知识之间的联系与转化。 【典例】（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【变式】2．（成都中考真题改编）在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为 ． 【变式】3．（2025·重庆·二模）若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是 ．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是 ． 题型02 新公式型问题 新公式应用型阅读题的解题策略： 1）通过对所给材料的阅读，从中获得新的数学公式或某种新的变换法则。 2）分析新公式的结构特征及适用范围。 3）将新公式转化为已学知识，寻找解决问题的突破口，进而利用新公式解决问题。 【典例】（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【变式】1．（2025·吉林·模拟预测）设，是实数，定义@的一种运算如下：@，则下列结论：①若@，则或；②@@@；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大．其中正确的是 ． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以 则下列说法正确的是 （ 填正确答案的序号  ） ①；②；③；④若，则， 【变式】3．（2025·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如。(1)证明(2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 题型03 新解题方法型问题 1）认真阅读题目，理解掌握新的解题方法是解决新问题的关键。 2）体会转化思想在解新方法型阅读题中的作用，理解新方法并进行转化，用我们熟悉的知识来解决新问题。 【典例】（2025·安徽合肥·模拟预测）我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题：(1)观察图形与等式的关系，并填空． ； ； (2)用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 【变式】1．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：；(2)分解因式：． 【变式】2.（2025·成都·模拟预测末）根据下面材料解决问题． 【材料一】，若，则． 由此得出以下不等式：，当且仅当时有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 【材料二】分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：这样的分式就是真分式；这样的分式就是假分式． 假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如： 【初步尝试】（1）已知，当为____________时，式于的最小值为____________； 【类比运用】（2）已知，且①将化为带分数形式．②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？ 【拓展提升】（3）已知．当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【变式】3.（2025·成都·模拟预测）阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ；问题②：方程的正整数解是 ． 1．（2025·江西·二模）将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，按照数的排列规律，第10行第5个数是 2（2025·成都·校考一模）1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为 3．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 4．（2025·成都·校考二模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2026次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 5．（2025·成都·二模）三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则 ． 6．（2025·成都·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ． 7．（2025·四川成都·一模）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 8．（2025·成都·模拟预测）现有一列数，…，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，则…的值为 ． 9．（2025·成都·模拟预测）已知是一个各个数位上的数字各不相等的四位正整数，其千位、百位、十位、个位数字分别为，，，，若满足，则称为“奇差数”，那么最大的“奇差数”为 ；若对每一个“奇差数”定义为去掉百位与十位后所得到的两位数，为去掉千位和个位后所得到的两位数，进一步设，若能被整除，则满足条件的最大值为 ． 10．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 11．（2025·四川成都·二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 12．（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；…（1）第5个等式为 ；（2）若（a，b为正整数），则 ． 1．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有 ；若，则 . 2．（2025·成都·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 3．（2025·四川成都·二模）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入 次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为 ． 4．（2025成都·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $