精品解析：甘肃省兰州市第五十一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

兰州五十一中2025~2026学年第一学期期末考试试卷 高二 数学 第Ⅰ卷（58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，若直线的斜率为1，则直线的斜率为 A. B. C. D. 4 2. 抛物线过点，则准线方程为( ) A. B. C. D. 3. 在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. －540 B. －162 C. 162 D. 540 6. 某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（ ） A. 720 B. 120 C. 144 D. 192 7. 若圆与圆的公共弦长为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若两条直线：，：与圆的四个交点能构成长方形，其中一边长度为4，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的虚轴长为6，则的离心率为______. 13. 已知抛物线焦点到准线的距离为1,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为__________ 14. 已知数列中，，，则数列的通项公式为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求 （1）； （2），． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （2）两个唱歌节目不相邻； （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 18. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 19. 已知双曲线过点，左右焦点分别为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； （3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州五十一中2025~2026学年第一学期期末考试试卷 高二 数学 第Ⅰ卷（58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，若直线的斜率为1，则直线的斜率为 A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的斜率为1求出，再由直线的斜率公式求解． 【详解】由题意，则x=–1，所以． 【点睛】本题主要考查了直线两点斜率公式，属于基础题． 2. 抛物线过点，则的准线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程. 【详解】∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴其准线方程为y＝－1. 故选：B. 3. 在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到，，解得答案. 【详解】，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可. 【详解】由，且该双曲线焦点在纵轴， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A 5. 若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. －540 B. －162 C. 162 D. 540 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于展开式各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为 ，故答案为A. 考点：二项展开式的通项公式 点评：本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 6. 某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（ ） A. 720 B. 120 C. 144 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】先排数学，再排体育，最后排剩下的4科，即可得答案. 【详解】由题意可得数学一共有种排法， 体育一共有种排法， 剩下的4科共有种排法， 所以一共有种排法. 故选：D. 7. 若圆与圆的公共弦长为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆方程相减得公共弦的方程为，再根据弦长求解即可. 【详解】当时，两圆是同心圆，没有公共弦，故， 已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为，即， 所以可得：圆心到直线的距离， 又因为两圆的公共弦长为，所以，解得. 故选：B. 8. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 若两条直线：，：与圆的四个交点能构成长方形，其中一边长度为4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】圆心到两直线，的距离相等，由点到直线距离公式得到方程，求得，故，分和两种情况，结合点到直线距离公式求出答案. 【详解】由题意直线与平行，且与圆四个交点构成矩形， 故圆心到两直线，的距离相等，的圆心为原点，半径为， 故，又，所以，故， 若，设原点到直线的距离为， 则，解得，故，解得， 所以； 若，则原点到直线的距离， 即，解得，所以； 综上所述，或. 故选：BD. 11. 已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由双曲线的定义求出，再根据双曲线共渐近线设出双曲线的方程，分焦点在轴上与在轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题可知，解得. 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为. 故选：AC. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的虚轴长为6，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据双曲线虚轴长求出的值，再结合双曲线中的关系求出的值，最后根据离心率公式计算出离心率. 【详解】因为双曲线的虚轴长为6， 所以，， 因为，. 所以的离心率. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为__________ 【答案】2 【解析】 【详解】∵抛物线的焦点到准线的距离为1，∴，设直线与抛物线的交点坐标为，，当直线斜率不存在时，直线方程为，交点坐标为，弦长为，当直线斜率存在时，可设为，联立化简得，∴，故此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为2，故答案为. 点睛：本题主要考查抛物线的定义、方程与性质，考查抛物线中弦长的计算，属于基础题；求过焦点的直线截抛物线所得的弦长主要是通过联立方程组，运用韦达定理结合弦长得解. 14. 已知数列中，，，则数列通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】由，得， 所以，即， 当时，得 ， 所以，当时，适合上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求 （1）； （2），． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）令和，可求得； （2）令与（1）可求得，的值. 【小问1详解】 令，得， 令，得， 所以； 【小问2详解】 令，得， 由（1）知， 所以，， 所以，. 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得， 两式相减得，即，经验证时也成立； （2），利用裂项相消法求和即可得结果. 【小问1详解】 当时，，则，当时，由得，相减得，即， 经验证时也成立，所以数列的通项公式为. 小问2详解】 ， 所以数列的前项和为： 17. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （2）两个唱歌节目不相邻； （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 【答案】(1)；（2）；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论． 试题解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法. 18. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【小问1详解】 依题意，，得，所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 19. 已知双曲线过点，左右焦点分别为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； （3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. （3）利用点差法求得直线的斜率. 【小问1详解】 根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； 【小问2详解】 直线的方程为， 设，由得， ， 所以． 【小问3详解】 设，则， 则两式相减得． 设，则所以， 即， 所以，所以直线OQ斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $